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\arabic{exercice}.} }
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\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 \ \ 2010-2011 
\hskip 3cm Feuille d'exercices 3}

\vskip .4cm 
On rappelle que $C([a,b],\R)$ (resp. $C([a,b],\C)$ d\'esigne l'espace des fonctions
continues \`a valeurs r\'eelles (resp. complexes) d\'efinies sur l'intervalle $[a, b]$.

\exercice D\'emontrer que chaque application $\varphi $ de la liste suivante est un produit 
scalaire (hermitien dans le deuxi\`eme cas) :

\begin{enumerate}

\item $\varphi : C([a,b], \R)\times C([a,b],\R)\rightarrow \R,~ \varphi(f,g)=
\int_a^b s(x)f(x)g(x)\, dx$ 
o\`{u} $s\in C([a,b],\R)$ avec $s(x)>0$ pour tout $x\in[a,b]$.

\item $\varphi : C([a,b], \C)\times C([a,b],\C)\rightarrow \C,~ \varphi(f,g)=
\int_a^b \overline{f(x)}g(x)\, dx.$

\item $\varphi: (P,Q)\in\R[X]_n\times\R[X]_n\mapsto 
\ds\sum_{i=0}^n P(a_i)Q(a_i)\in\R$ 
o\`{u} $a_0,\ldots,a_n$ sont des r\'{e}els distincts.

\item $\varphi: {\rm M}_n(\R)\times {\rm M}_n(\R)\to \R, (M,N)\mapsto {\rm Tr}(^t\! MN)$.
\end{enumerate}

\exercice
D\'{e}terminer si les applications suivantes sont des produits scalaires.
\begin{enumerate}
\item $\varphi: \R^3\times \R^3\to \R,~
\varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1y_1+2x_2y_2+9x_3y_3$

\item $\varphi:\C^2\times \C^2\to \C,~
\varphi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=
\overline{x}_1y_2+\overline{y}_2x_1-2(\overline{x}_1y_1+\overline{y}_1x_1)$

\item $\varphi: (P,Q)\in\R[X]_n\times\R[X]_n\mapsto 
\ds\sum_{i=1}^n P(a_i)Q(a_i)\in\R$ 
o\`{u} $a_1,\ldots,a_n$ sont des r\'{e}els distincts.

\item $\varphi: (M,N)\in{\rm M}_n(\R)\times {\rm M}_n(\R)\mapsto {\rm Tr}(MN)\in\R$.
\end{enumerate}

\exercice
Pour chaque forme quadratique $q$ de la liste, on appelle $b$ sa forme polaire. 

\hskip .5cm a) Appliquer \`a $q$ la r\'eduction de Gauss. 

\hskip .5cm b) En d\'eduire la signature, le rang de $q$ et une base $b$-orthogonale. 
%(orthonormale si c'est possible). 

\begin{enumerate}
\item $q:\R^2\rightarrow \R$,~ $q(x,y)=x^2+xy+3y^2$,
\item $q:\R^2\rightarrow \R$,~ $q(x,y)=xy$,
\item $q:\R^3\rightarrow \R$,~ $q(x,y,z)=x^2-2y^2+xz+yx $,
\item $q:\R^3\rightarrow \R$,~ $q(x,y,z)=xy-yz$,
\item $q:\R[X]_2\rightarrow \R$,~ $q(P)=P(1)P(2)+P(1)P(0)$.
\end{enumerate}



\exercice
Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser dans
$\R^3$ avec son produit scalaire usuel la base 
$e_1=(1,1,-1)$,
$e_2=(1,-1,1)$ et
$e_3=(-1,1,1)$. Si 
$e'_1, e'_2, e'_3$ est la nouvelle base, montrer que la matrice de
passage correspondante est triangulaire.

\exercice
Pour chaque espace $V$ muni d'un produit scalaire $\phi$ :

\hskip .5cm a) Appliquer la m\'ethode de Gram-Schmidt \`a la famille $\F$, afin de
produire une base orthonorm\'ee pour le sous-espace $W$ engendr\'{e} par $\F$.

\hskip .5cm b) Calculer la projection orthogonale de $v\in V$ sur $W$.

\begin{enumerate}
\item $V=\R^3$, $\phi$= produit scalaire usuel, 
$\F=((1,0,-1),(1,-1,0))$,
$v=(1,1,1)$.

\item  $V=\R^4$, $\phi$= produit scalaire usuel, 
$\F=(u_1,u_2,u_3)$, $v=(1,1,1,1)$ o\`u 

$u_1=(1,1,0,0),u_2=(1,0,-1,1),u_3=(0,1,1,1)$.

\item $V=\R^3$, 
$\varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=
3x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+3x_3y_3$, 
$\F=((1,0,0),(0,1,0))$,
$v=(0,0,1)$. 
%\item $V=\R[X]_3$, $\phi(P,Q)=\int_{-1}^1P(x)Q(x)dx$, $\F=(1,X,X^2)$,
%  $v=X^3$.
\item  $V=\R[X]_3$, $\phi(P,Q)=\int_{0}^1P(x)Q(x)dx$, $\F=(1,X,X^2)$,
  $v=X^3$.
\end{enumerate}

\vfill\eject

\exercice 
Soit $C([-1, 1],\R)$ (l'espace des fonctions continues \`a valeurs 
r\'eelles d\'efinies sur l'intervalle $[-1, 1]$) muni du produit scalaire 
$\ds\langle f,g\rangle= \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx$.
\begin{enumerate}
\item Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt afin de produire une
base orthonorm\'ee pour le sous-espace
$\R[X]_2\subset C([-1, 1], \R)$.
  
\item Trouver des r\'eels $a,b,c$ tels que l'int\'egrale 
$\int_{-1}^1 (e^x-ax^2-bx-c)^2 \,dx$ soit minimale.
\end{enumerate}

\exercice
Soit $\R[X]_2$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur
ou \'egal \`a deux, on consid\`ere sur $\R[X]_2$ l'application 
$\Delta$ qui \`a un polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ associe son discriminant
$\Delta(P)=b^2-4ac$.

\begin{enumerate}

\item Montrer $\Delta$ est une forme quadratique et donner sa forme polaire.

\item Donner la matrice de la forme polaire $b$ dans la base canonique  
$\B_0=(1,X,X^2)$. 

\item Montrer que pour tout polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ de $\R[X]_2$,
on peut \'ecrire : 
$$\Delta(P)=b^2+(a-c)^2-(a+c)^2.$$

\item Montrer que la famille de vecteurs 
$\B_1=(\frac 1 2  (X^2-1),X,\frac 1 2 (X^2+1))$ est une base de $\R[X]_2$. 

\item Donner la matrice de passage de la base $\B_0$ \`a la base $\B_1$.

\item Donner les coordonn\'ees du polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ dans la
base $\B_1$. 

\item Donner la matrice de la forme polaire $b$ dans la base $\B_1$.

\item Exprimer $\Delta(P)$ en fonction des coordonn\'ees de $P$ dans la
base $\B_1$. 

\item Donner le rang et la signature de $\Delta$.

\end{enumerate}


\exercice
Pour chaque matrice sym\'etrique suivante, d\'eterminer les valeurs
propres et une matrice orthogonale $P$ de changement de base qui la
diagonalise :
\[A_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\mbox{ }\mbox{
}
A_2=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&1\end{pmatrix}\mbox{ }\mbox{
}A_3= \begin{pmatrix}5&-1&2\\-1&5&2\\2&2&2\end{pmatrix}.\]

\exercice 
R\'eduire les formes quadratiques suivantes avec des
changements de base orthogonaux.
\begin{enumerate}
\item
  $q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz$.
\item $q(x,y,z)=2x^2+4y^2+z^2+4xy-2\sqrt{2}xz+4\sqrt{2}yz$. (à revoir : infaisable)
\end{enumerate}

\exercice 
Trouver le genre des coniques suivantes :
\begin{enumerate}
\item $x^2-xy+y^2-3x+2y-1=0$
\item $3x^2+5xy+2y^2+2x+y-1=0$
\end{enumerate}

\exercice
Trouver les \'equations r\'eduites dans des rep\`eres orthonorm\'ees
des coniques sui\-vantes. 

\begin{enumerate}
\item $x^2-xy+y^2+x+y=0$,
\item $xy+2x+y=0$,
\item $x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0$,
\item $4x^2+12xy+9y^2-8x-12y-5=0$,
\item $5x^2-6xy+5y^2+2x-14y+a=0$ selon le paramètre $a$,
\item $15x^2+24xy+15y^2+30x-24y+20=0$,
\item $15x^2-16xy-15y^2-62x-44y-13=0.$ 
\end{enumerate}


\end{document}

\newline
\exercice Soit
$A=\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)$. 

Montrer que l'application $$b:\R^2\times \R^2\to \R, (X,Y)\mapsto X^t A Y$$
est un produit scalaire. 

Utiliser l'algorithme de Gram-Schmidt pour trouver une base $b$-orthonorm\'{e}e.


