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{\vspace{.2cm}\textbf{Exercice\addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }
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\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 - Ann\'{e}e universitaire 2010-2011 
\hskip .5cm Feuille d'exercices 1}

\vskip .3cm 
On notera ici $\R[X]_n$ le $\R$-espace vectoriel des polyn\^omes de
degr\'e $\le n$. 

\exercice 
Pour chaque espace vectoriel $V$, dire si la famille
$F\subset V$ est une base de $V$. Lorsque c'est le cas, 
d\'eterminer les coordonn\'ees d'un vecteur donn\'e de $V$ par rapport \`a
$F$.

\begin{enumerate}
\item $V=\R^3,~ F=\bigr((1,-1,-1), (1,0,1),(2,2,6) \bigl)$
\item $V=\R^3,~ F=\bigr((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\bigl)$
\item $V=\{ (x,y,z)\in\R^3\mid x+y+z=0\},~ F=\bigr( (1,-1,0),(1,0,-1)\bigl)$
\item $V=\R[X]_2,~ F=(X^2-3X+1, X^2+3X-4, 2X^2+2X-4)$
\item $V= \R[X]_2,~ F=((X-1)^2, (X-1), 1).$
\end{enumerate} 

\exercice
Pour chaque espace vectoriel $V$, dire si la partie
$S\subset V$ est un sous-espace vectoriel :
\begin{enumerate}
\item $V=\R^3$, $S=
\{ (x,y,z)\in\R^3|x+y-z=0\}$
\item $V=\R^3$, $S=
\{(x,y,z)\in\R^3|x+y-z=1\}$
\item $V=\mathcal{C}^2([0,1], \R)$,  $S=
\{f\in \mathcal{C}^2([0,1], \R)|f''+f'=0\}$
\item $V=\R[X]_3$, $S=\{P\in \R[X]_3\;|\;(P(3))^2=P(2).\}$.
\end{enumerate}

\exercice
Pour quelles valeurs de $k$ le syst{\`e}me 
$ \left\{ \begin{array}{ll}
kx+y=1  \\
x+ky=1  \\
\end{array}
\right.$ admet-il :

\hskip .5cm a) aucune solution \ \ \   
b) une solution unique \ \ \   
c) une infinit{\'e} de solutions ?

\exercice Soit $f$ et $g$ les endomorphismes de $\R^3$ dont les matrices par
rapport \`a la base canonique sont 
$\left(\begin{matrix}{-2}&{1}&{1}\\{1}&{-2}&{1}\\{1}&{1}&{-2}
\end{matrix}\right)\mbox{ }$ et $
\left(\begin{matrix}{1}&{1}&{-1}\\{-1}&{-1}&{1}\\{1}&{1}&{-1}
\end{matrix}\right)$

Calculer le noyau et l'image de $f$ et de $g$.

\exercice
Montrer que les trois fonctions $\cos(x-1),\, \cos x$ et $\cos(x+1)$
forment une famille li\'ee dans l'espace $C^0(\R;\R)$ des fonctions continues
de $\R$ dans $\R$. 


\exercice Soient $n$ r\'{e}els distincts $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$. 
Montrer que les fonctions $\, e^{\alpha_i x}, \, i=1,\ldots,n$
sont lin\'{e}airements ind\'{e}pendantes dans l'espace vectoriel $C^0(\R;\R)$.


\exercice
Soit $V=\{ P\in\R[X]_n \mid P(1)=0 \}$. 

Montrer que $V$ est un $\R$-espace vectoriel.
Calculer la dimension de $V$ et en pr\'{e}ciser une base.

\exercice Soit $E=C^2(\R;\R)$ le $\R$-espace vectoriel des fonctions
deux fois continuement d\'erivables.
\begin{enumerate}
\item 
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$y'+5y=0$. 
Montrer que l'ensemble $S$ des fonctions de $E$ solutions de cette 
\'equation est un sous-espace vectoriel de $E$. 
En donner une base. 
\item On  consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$y'=y^2+1$. 
L'ensemble $\Sigma$ des fonctions de $E$ solutions de 
cette \'equation est-il un sous-espace vectoriel de $E$ ? 
\end{enumerate}

\exercice 
Nous consid\'erons $\C$ en tant que $\R$-espace vectoriel. 
Quelle est sa dimension ? En pr\'eciser une base.

\exercice
Soit $n\in\N$ et $P_0, \ldots,P_n$ des polyn\^omes non nuls de
$\R[X]$ tels que pour tout $0\leq i\leq n$, le degr\'e de $P_i$ est
$i$. D\'emontrer que la famille $(P_i)_{i=0\ldots n}$ forme une base
du sous-espace vectoriel $\R[X]_n$ constitu\'e par les polyn\^omes de
degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$. 

\exercice
D\'{e}terminer si les matrices suivantes sont inversibles, et si oui, 
calculer leur inverse : 
$$\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \cr 1 & 1\end{array}\right), 
\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \cr 1 & 1& 1\cr
1&1&1\end{array}\right),
\begin{pmatrix}1&1&1\cr 1&2&4\cr 1& 3& 9\end{pmatrix}.$$ 

\exercice Les matrices suivantes sont diagonalisables sur $\R$. 
Les diagonaliser. 

\centerline{$\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \cr -1 &-4 \end{array}\right), 
\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \cr 1 & 1& 1\cr1&1&1\end{array}\right),
\begin{pmatrix}-1&0&0\cr 7&2&-2\cr 2& 0& 1\end{pmatrix}$.
}

\exercice
Calculer le d\'{e}terminant 
$\left\vert\begin{array}{cccc}
1&1&1&1\cr 
1&-1&2&3\cr 
1&1&4&9\cr
1&-1&8&27
\end{array}\right\vert$.  
 

\exercice Pour chaque application, indiquer si elle est lin\'{e}aire. 
Si oui, en donner le noyau et l'image et, si cela a un sens, la matrice
par rapport \`a des bases que l'on choisira.

\begin{enumerate}

\item La fonction $p:\R^2\to\R$ donn\'ee par la premi\`ere
coordonn\'ee dans la base canonique de $\R^2$. 
\item L'application $f:\R^3\to\R^3$ donn\'ee par $f(x,y,z)=(x+y,y-z,z+1)$.
\item L'application $g:\R^3\to\R^3$ donn\'ee par $g(x,y,z)=(x+y,y-z,x+z)$.
\item La rotation $r:\R^2\to\R^2$ d'angle $\theta$ autour de l'origine.
\item Une sym\'etrie $s:\R^2\to\R^2$ dans le plan par rapport \`a une
droite affine $D$. (Traiter s\'epar\'ement le cas o\`u la droite $D$ 
passe par l'origine).
\item L'application $\phi$ qui envoie $C^\infty([0,1],\mathbb{R})$
dans lui-m\^eme donn\'ee par $\phi(f)=f'$.

Nous rappelons que  $C^\infty([0,1],\mathbb{R})$ est l'espace de
fonctions sur l'intervalle $[0,1]$ \`a valeurs dans $\R$ qui sont
d\'erivables \`a tous ordres. 
\item L'application $\phi:\R[X]_3\rightarrow\R[X]_3$ donn\'ee par 
$\phi(P)=P'-XP$. 

\end{enumerate}

\exercice
Soient $n+1$ r\'{e}els distincts $a_0, a_1,\ldots,a_n$.  
Montrer que l'application 
$$f:P\in\R[X]_n\mapsto (P(a_0),\ldots, P(a_n))\in\R^{n+1}$$ 
est un isomorphisme d'espaces vectoriels. 

Qu'en est-il de l'application 
$g: P\in\R[X]_n\mapsto (P(a_1),\ldots,P(a_n))\in \R^n$ ? 

\exercice On consid\`ere le $\R$-espace vectoriel $E={\rm M}_n(\R)$ des
matrices carr\'ees d'ordre $n$ \`a coefficients r\'eels. La transpos\'ee
d'une matrice carr\'ee $M$ est not\'ee $^t\! M$.

Montrer que $\mathcal{A}_n=\{ M\in{\rm M}_n(\R)\mid ^t\!\!\!\! M=-M\}
\mbox{ et }\mathcal{S}_n=\{ M\in{\rm M}_n(\R)\mid ^t\!\!\!\! M=M\}$
sont des sous-espaces vectoriels et calculer leur dimension (difficile). 

Montrer que l'on a ${\rm M}_n(\R)=\mathcal{A}_n\oplus \mathcal{S}_n$.

\exercice
Soit $V=\mathcal{F}(\R;\R)$ l'espace vectoriel des fonctions $f:\R\to \R$.
Soit $\mathcal{P}$ le sous-ensemble des fonctions paires, et $\mathcal{I}$ le sous-ensemble des fonctions impaires.

Montrer que $V=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.


\exercice 
Soit $V$ le sous-espace vectoriel de $\R^3$ engendr\'{e} par les vecteurs
$(1,-1,0),(1,0,-1)$.

Trouver un suppl\'{e}mentaire $W$ de $V$ dans $\R^3$, 
c'est-\`{a}-dire un sous-espace $W$ tel que 
$\R^3=V\oplus W$.

\exercice
Soit $V$ un $K$-espace vectoriel ($K=\R$ ou $\C$) et soit 
$p:V\to V$ une application lin\'{e}aire v\'{e}rifiant $p\circ p=p$. 
Montrer que l'on a 
$V={\rm Ker}(p)\oplus {\rm Im}(p)\mbox{ et } {\rm Im(p)}={\rm Ker}({\rm id}_V-p)$.

\exercice
Trouver un exemple d'application lin\'{e}aire $f:V\to V$ telle que 
${\rm Ker}(f)$ et ${\rm Im}(f)$ ne soient pas en somme directe.

\end{document}
