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\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}

\def\ds{\displaystyle}
\def\ssun{\ds\sum u_n}
\def\ssvn{\ds\sum v_n}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ee{\mathrm{e}}

\renewcommand\ge{\geqslant}
\renewcommand\le{\leqslant}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{large}
\begin{bf}
UJF 2009-2010 L2 UE MAT244 

\medskip

\begin{center}
Contr\^ole continu du Vendredi 30 Avril 2010, Amphi A1 et A2

\end{center}
\end{bf}
\end{large}

\medskip

\emph{Horaire : 15h15-16h15. Une attention particulière sera portée à la
  clarté de la rédaction. En particulier, on demande de justifier les
  réponses et de toujours expliquer, même rapidement, les calculs utilisés.}

\bigskip

\textbf{Question de cours}

Herv\'e

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\medskip

\textbf{Exercice 1, Salim} 

 Soit $\phi$ la forme bilin\'eaire d\'efinie sur $\mathbb R^3$ par $$
\phi(x,y)=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3$$
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer la matrice $J$ qui repr\'esente $\phi$ dans la base canonique de $\mathbb R^3$.
\item
\begin{enumerate}
 \item Soit $e_1=\pmatrix{3\cr 2\cr 2}$, $e_2=\pmatrix{2\cr 2\cr 1}$ et $e_3=\pmatrix{2\cr 1\cr 2}$.

Montrer que $\mathcal C=\{e_1,e_2,e_3\}$ est une base de $\mathbb R^3$.
\item D\'eterminer la matrice qui repr\'esente $\phi$ dans la nouvelle base $\mathcal C$.
\item En d\'eduire que $\forall X,\; Y\in\mathbb R^3$ on a $$\phi(PX,PY)=\phi(X,Y)$$
o\`u $P$ est la matrice de passage de la base canonique vers la base $\mathcal C$.
\end{enumerate}
\item Soit $q$ la forme quadratique associ\'ee \`a $\phi$ 
(c'est \`a dire $q(X)=\phi(X,X)$)
\begin{enumerate}
\item Calculer $q(X_0)$ o\`u $X_0=\pmatrix{1\cr 1\cr 0}$
\item Pour $n\in\mathbb N$, on pose $X_n=P^n. X_0$
\begin{enumerate}
\item Calculer $X_1$ et $X_2$.
\item Calculer $q(X_1)$ et $q(X_2)$.
\end{enumerate}
\item Calculer, pour $n\in\mathbb N$, $q(X_n)$.
\end{enumerate}
\item En d\'eduire qu'il y a une infinit\'e de solutions de l'\'equation de Fermat 
$$x^2+y^2=z^2\mbox{ avec }x, y\mbox{ et } z\in\mathbb N
$$
\end{enumerate}

\medskip
\medskip

\textbf{Exercice 2}

Soit $E=\R_n[X]$ l'espace des polyn\^omes de degr\'e $\le n$ \`a coefficients
r\'eels. 

On pose $b(P,Q)=\frac{1}{2}\int_{-1}^1(P(x)Q(-x)+P(-x)Q(x))dx$

1) V\'erifier que $b$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.

On note $F=\{P\in E|P(x)=P(-x),\forall x\in\R\}$ et  
$G=\{P\in E|P(x)=-P(-x),\forall x\in\R\}$ 
respectivement les sous-espaces vectoriels des polyn\^omes pairs et impairs.

2) Montrer que $E$ est la somme directe de $F$ et de $G$.

3) V\'erifier que $F$ et $G$ sont $b$-orthogonaux.

On note $q(P)=b(P,P)$ la forme quadratique dont $b$ est la forme
polaire.

4) Montrer que $q$ est d\'efinie positive sur $F$ et 
d\'efinie n\'egative sur $G$.

On suppose \`a partir d'ici que $n=3$.

5) En utilisant 2) et 3), expliquer pourquoi il existe une base
$b$-orthogonale $B=(P_1,P_2,P_3,P_4)$ avec chacun des $P_i$ dans $F$ ou
$G$.

6) D\'ecrire explicitement les sous-espaces $F$ et $G$. En d\'eduire leurs
dimensions.

7) En exprimant $q(P)$ dans les coordonn\'ees $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ par
rapport \`a $B$ (c'est \`a dire $P=x_1P_1+x_2P_2+x_3P_3+x_4P_4$ ) d\'eduire de
4) et 6) la signature de $q$ et le rang de $b$.

8) Retrouver ce r\'esultat en exprimant $q(P)$ dans les coordonn\'ees 
$(a_0,a_1,a_2,a_3)$ par rapport \`a la base canonique $B_0$ 
(c'est \`a dire $P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3$ ) puis en appliquant la
r\'eduction en carr\'es de Gauss.  




\end{document}


Soit $B_1=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de l'espace vectoriel $E=\R^3$ et
$s\in\R$. On consid\`ere la forme bilin\'eaire $b_s$ qui s'exprime dans les
coordonn\'ees canoniques par 
$$b_s(x,y)=x_1y_1+2x_2y_2+(2+s)x_3y_3-(x_1y_2+x_2y_1)+(x_1y_3+x_3y_1).$$  

1) D\'eterminer la matrice $M_1$ de $b_s$ dans la base canonique $B_1$.

On pose
$$\varepsilon _1=e_1,~~\varepsilon _2=e_1+e_2,~~\varepsilon _3=-2e_1-e_2+e_3$$

2) Montrer que $B_2=(\varepsilon _1,\varepsilon _2,\varepsilon _3)$ est
une base de $E$.

3) Calculer la matrice $M_2$ de $b_s$ dans la base $B_2$.

3)a) En d\'eduire en fonction de $s$ le rang de $b_s$.

3)b) En d\'eduire que $b_1$ est un produit scalaire.

4) D\'eterminer l'orthogonal $P$ pour $b_1$ du vecteur $e_3$. 

5) Appliquer \`a la base $B_3=(e_3,e_2,e_1)$ le proc\'ed\'e
d'orthogonalisation de Schmidt pour $b_1$.

