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\parindent 0ex \parskip 1ex

\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}

\def\ds{\displaystyle}
\def\ssun{\ds\sum u_n}
\def\ssvn{\ds\sum v_n}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ee{\mathrm{e}}

\renewcommand\ge{\geqslant}
\renewcommand\le{\leqslant}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{large}
\begin{bf}
UJF 2009-2010 L2 UE MAT244 

\medskip

\begin{center}
Contr\^ole continu du Mercredi 24 Mars 2010

\end{center}
\end{bf}
\end{large}

\medskip

\emph{Horaire : 14h-15h30. Une attention particulière sera portée à la
  clarté de la rédaction. En particulier, on demande de justifier les
  réponses et de toujours expliquer, même rapidement, les calculs utilisés.}

\bigskip

\textbf{Question de cours}

???
\medskip
\medskip

\textbf{Exercice 1} 

Alg\`ebre lin\'eaire ???
\medskip
\medskip

\textbf{Exercice 2}

Soit $B_1=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de l'espace vectoriel $E=\R^3$ et
$s\in\R$. On consid\`ere la forme bilin\'eaire $b_s$ qui s'exprime dans les
coordonn\'ees canoniques par 
$$b_s(x,y)=x_1y_1+2x_2y_2+(2+s)x_3y_3-(x_1y_2+x_2y_1)+(x_1y_3+x_3y_1).$$  

1) D\'eterminer la matrice $M_1$ de $b_s$ dans la base canonique $B_1$.

On pose
$$\varepsilon _1=e_1,~~\varepsilon _2=e_1+e_2,~~\varepsilon _3=-2e_1-e_2+e_3$$

2) Montrer que $B_2=(\varepsilon _1,\varepsilon _2,\varepsilon _3)$ est
une base de $E$.

3) Calculer la matrice $M_2$ de $b_s$ dans la base $B_2$.

3)a) En d\'eduire en fonction de $s$ le rang de $b_s$.

3)b) En d\'eduire que $b_1$ est un produit scalaire.

4) D\'eterminer l'orthogonal $P$ pour $b_1$ du vecteur $e_3$. 

5) Appliquer \`a la base $B_3=(e_3,e_2,e_1)$ le proc\'ed\'e
d'orthogonalisation de Schmidt pour $b_1$.

\end{document}

