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\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 - Ann\'{e}e universitaire 2009-2010, 
\hskip .5cm Feuille d'exercices 4}


\vspace{0,5cm} 
Dans tout ce qui suit, $f,g:\rr\to\cc$ seront des fonctions $2\pi$-p\'{e}riodiques continue par morceaux.

\exercice Soit $f$ la fonction d\'efinie par $f(x)=\cos^3x+\sin^3x$.

$1)$ Lin\'eariser $f$, c'est-\`a-dire exprimer $f$ \`a l'aide des 
$\cos kx$, $\sin kx$, $k=1,2,3$.  

$2)$ En d\'eduire les coefficients de Fourier $a_k(f)$ et $b_k(f)$ de $f$
pour tous les entiers $k\ge 0$.   

\exercice

$1)$ On suppose que $f$ est paire. Montrer que $b_n(f)=0$ pour tout $n\geq 1$.

$2)$ On suppose que $f$ est impaire. Montrer que $a_n(f)=0$ pour tout $n\geq 0$.

{\bf Le r\'{e}sultat de cet exercice est \`{a} retenir!!}


\exercice
Soit $b\in]0,\pi[$. On consid\`{e}re la fonction $f$ $2\pi$-p\'{e}riodique, paire, d\'{e}finie sur $[0,\pi]$ par:

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll}1&\mbox{ si }&0\leq x<b \cr 
\frac{1}{2} & si & x=b \cr
0 & \mbox{ si }b<x\leq\pi
\end{array}\right.$$

$1)$ Etudier bri\`{e}vement la continuit\'{e} et la d\'{e}rivabilit\'{e} de $f$.

$2)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de $f$.

$3)$ En d\'{e}duire la valeur de $\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{2n+1}$ et de $\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{sin(n\pi/4)}{n}$.

\exercice
Si $z=x+iy\in\cc$, on rappelle que l'on a $$e^z=e^x e^{iy}=e^x(\cos(y)+i\sin(y)), {\rm ch}(z)=\frac{e^z+e^{-z}}{2},{\rm sh}(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2i}$$ 

$${\rm th}(z)=\frac{ {\rm sh}(z)}{{\rm ch}(z)}, {\rm coth}(z)=\frac{1}{{\rm th}(z)}.$$

Soit $a\in\cc$. Soit $f$ l'unique fonction paire $2\pi$-p\'{e}riodique telle que $$f(x)={\rm ch}(ax) \mbox{ pour tout }x\in [0,\pi].$$

$0)$ D\'{e}terminer les solutions de l'\'{e}quation ${\rm sh}(z)=0$.

$1)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de $f$.

$2)$ En d\'{e}duire l'\'{e}galit\'{e} $$\pi{\rm coth}(\pi a)=\frac{1}{a}+\sum_{n\geq 1}\frac{2a}{a^2+n^2}\mbox{ pour tout }a\in\cc,a\notin i\pi\mathbb{Z}.$$
\vfill\eject
\exercice 

$1)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de la fonction $f$ $2\pi$-p\'{e}riodique impaire telle que $$f(x)=x(\pi-x)\mbox{ pour tout }x\in[0,\pi].$$

$2)$ En d\'{e}duire la valeur de $\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^6}$.

\exercice


$1)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de la fonction $f$ $2\pi$-p\'{e}riodique telle que $$f(x)=\vert x \vert \mbox{ pour tout }x\in[-\pi,\pi[.$$

$2)$ En d\'{e}duire la valeur des s\'{e}ries $$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4},\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^4}.$$

\exercice

$1)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de la fonction $f$ $2\pi$-p\'{e}riodique telle que $$f(x)=\vert \cos(x) \vert \mbox{ pour tout }x\in[-\pi,\pi[.$$

$2)$ Calculer $\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{1}{4n^2-1}$.



\exercice 
On suppose $f$ et $g$ $C^1$ par morceaux.
Pour tout $x\in\rr$, on pose $$(f*g)(x)=\int_0^{2\pi } f(t)g(x-t){\rm d}t.$$

$1)$ V\'{e}rifier que $f*g$ est $2\pi $-p\'{e}riodique. On admettra que $f*g$ est $C^1$ par morceaux.

$2)$ Montrer que $c_n(f*g)=c_n(f)c_n(g)$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.



\exercice
Soit $k\geq 1$ un entier. On suppose que $f$ est de classe $C^k$ sur $\rr$.

$1)$ Montrer que $c_n(f^{(k)})=(in)^k c_k(f)$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.

$2)$ En d\'{e}duire qu'il existe $M\geq 0$ tel que $$\vert c_n(f)\vert\leq\frac{M}{n^k}\mbox{ pour tout }n\in\mathbb{Z},n\neq 0.$$

$3)$ En d\'{e}duire alors que pour tout $1\leq m\leq k-1$, on a $$f^{(m)}(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}i^k n^kc _n(f)e^{-inx}\mbox{ pour tout }x\in\rr.$$



\end{document}
