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\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 - Année universitaire 2009-2010}


\vspace{0,5cm} 
\begin{center}
\textbf{\Large Feuille d'exercices 3}
\end{center}


\exercice
D\'{e}montrer que les applications suivantes sont des produits scalaires:

$(1)$ $\varphi : C([a,b], \R)\times C([a,b],\R)\rightarrow \R, \varphi(f,g)=
\int_a^b f(x)g(x)\omega(x){\rm d }x,$ 

o\`{u} $\omega\in C([a,b],\rr),\omega(x)>0$ pour tout $x\in\rr$.

$(2)$ $\varphi : C([a,b], \C)\times C([a,b],\C)\rightarrow \C, \varphi(f,g)=
\int_a^b \overline{f(x)}g(x){\rm d}x.$

$(3)$ $\varphi: \rr_n[X]\times\rr_n[X]\to\rr, (P,Q)\mapsto \ds\sum_{i=0}^n P(a_i)Q(a_i)$, 

o\`{u} $a_0,\ldots,a_n\in\rr$ sont des r\'{e}els distincts.

$(4)$ $\varphi: {\rm M}_n(\rr)\times {\rm M}_n(\rr)\to \rr, (M,N)\mapsto {\rm Tr}(M^t N)$.

$(5)$ $\varphi : C([a,b], \R)\times C([a,b],\R)\rightarrow \R, \varphi(f,g)=
\int_0^1 xf(x)g(x){\rm d}x.$

(Attention au raisonnement. Il y a un souci en $x=0$ !) 


\exercice
D\'{e}terminer si les applications suivantes sont des produits scalaires.

$(1)$ $\varphi: \rr^3\times \rr^3\to \rr,(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3\end{pmatrix})\mapsto
x_1y_1+2x_2y_2+9x_3y_3$

$(2)$ $\varphi:\cc^2\times \cc^2\to \cc, (\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}), \overline{x}_1y_2+\overline{y}_2x_1-2(\overline{x}_1y_1+\overline{y}_1x_1)$

$(3)$ $\varphi: \rr_n[X]\times\rr_n[X], (P,Q)\mapsto \ds\sum_{i=1}^n P(a_i)Q(a_i)$, 

o\`{u} $a_1,\ldots,a_n\in\rr$ sont des r\'{e}els distincts.

$(4)$ $\varphi: {\rm M}_n(\rr)\times {\rm M}_n(\rr)\to \rr, (M,N)\mapsto {\rm Tr}(MN)$.


\exercice Soit
$A=\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)$. 

Montrer que l'application $$b:\rr^2\times \rr^2\to \rr, (X,Y)\mapsto X^t A Y$$
est un produit scalaire. 

Utiliser l'algorithme de Gram-Schmidt pour trouver une base $b$-orthonorm\'{e}e.


\exercice

Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser dans
$\mathbb{R}^3$ avec son produit scalaire usuel la base 
$e_1=\left(\begin{matrix}1\\1\\-1\end{matrix}\right)$,
$e_2=\left(\begin{matrix}1\\-1\\1\end{matrix}\right)$ et
$e_3=\left(\begin{matrix}-1\\1\\1\end{matrix}\right)$. Si 
$e'_1, e'_2, e'_3$ est la nouvelle base, montrer que la matrice de
passage correspondante est triangulaire.

\exercice

Pour chaque espace euclidien $V$ muni d'un produit scalaire $\phi$,
appliquer la m\'ethode de Gram-Schmidt \`a la famille $F$, afin de
produire une base orthonom\'ee pour le sous-espace $W$ engendr\'{e} par $F$. Calculer la
projection orthogonale de $v\in V$ sur $W$.
\begin{enumerate}
\item $V=\R^3$, $\phi$= produit scalaire canonique, $F=
\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$,
$v=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.
\item  $V=\R^4$, $\phi$= produit scalaire canonique, $F=
\left(\begin{matrix}1\\1\\0\\0\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}1\\0\\-1\\1\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}0\\1\\1\\1\end{matrix}\right)$
$v=\left(\begin{matrix}1\\1\\1\\1\end{matrix}\right)$.
\item $V=\R^3$, $\phi(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix})=
3x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+3x_3y_3$, $F=
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$,
$v=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. 
\item $V=\R_3[X]$, $\phi(P,Q)=\int_{-1}^1P(x)Q(x)dx$, $F=1,X,X^2$,
  $v=X^3$.
\item  $V=\R_3[X]$, $\phi(P,Q)=\int_{0}^1P(x)Q(x)dx$, $F=1,X,X^2$,
  $v=X^3$.
\end{enumerate}

\exercice 
Soit $\mathcal{C}([-1, 1],\R)$ de fonction continues \`a valeurs r\'eelles sur l'intervalle
$[-1, 1]$. Nous munissons cet espace du produit scalaire 
\[\langle f,g\rangle= \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx.\]
\begin{enumerate}
\item Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt \`a fin de produire une
  base orthonorm\'ee pour le sous-espace
  $\R_3[X]\subset\mathcal{C}([-1, 1], \R)$.
  
\item Trouver des r\'{e}els $a,b,c$ tels que $\int_{-1}^1 (e^x-ax^2-bx-c)^2{\rm d}x$ soit minimale.
\end{enumerate}

\exercice
Soit $\RR_2[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degré inférieur
ou égal à deux, on considère sur $\RR_2[X]$ la forme quadratique qui à
un polyn\^ome associe son discriminant : 
$$\begin{matrix}\Delta\colon \RR_2[X]\to \RR \\
P(X)=aX^2+bX+c\mapsto \Delta(P)=b^2-4ac\end{matrix}$$

\begin{enumerate}
\item Montrer $\Delta$ est une forme quadratique et donner sa forme polaire.
\item Donner la matrice de la forme polaire $b$ dans la base
  $\cF_0=\{1,X,X^2\}$. 
\item Montrer que pour tout polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ de $\RR_2[X]$,
  on peut écrire : 
$$\Delta(P)=b^2+(a-c)^2-(a+c)^2.$$
\item Montrer que la famille de vecteurs $\cF_1=\{\frac 1 2
  (X^2-1),X,\frac 1 2 (X^2+1)\}$ est une base de $\RR_2[X]$. 
\item Donner la matrice de passage de la base $\cF_0$ à la base $\cF_1$.
\item Donner les coordonnées du polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ dans la
  base $\cF_1$. 
\item Donner la matrice de la forme polaire $b$ dans la base $\cF_1$.
\item Exprimer $\Delta(P)$ en fonction des coordonnées de $P$ dans la
  base $\cF_1$. 
\item Donner le rang et la signature de $\Delta$.
\end{enumerate}



\exercice
Pour chaque cas, montrer que l'application consid\'{e}r\'{e}e est une forme quadratique, et lui
appliquer la r\'eduction de Gauss:

\begin{enumerate}
\item $q: \R^2\rightarrow \R$, $q(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix})=
x^2+xy+3y^2$,
\item $q: \R^2\rightarrow \R$, $q(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix})=xy$,
\item $q: \R^3\rightarrow \R$,
  $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})
=x^2-2y^2+xz+yx $,
\item  $q: \R^3\rightarrow \R$,
  $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=xy-yz$,
\item $q: \R^3\rightarrow \R$,
  $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=x^2+2xy+y^2+yz$,
\item $q:\R_2[X]\rightarrow \R$, $q(P)=P(1)P(2)+P(1)P(0)$.
\end{enumerate}
En d\'eduire leur signature, leur rang, et donner dans chaque cas une
base $q$-orthogonale (orthonormale lorsque cela est possible). Pour
les formes 1, 2 et 3, calculer la forme polaire
de $q$.

\exercice

Pour chaque matrice sym\'etrique suivante, d\'eterminer les valeurs
propres et une matrice orthogonale $P$ de changement de base qui la
diagonalise :

\[A_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\mbox{ }\mbox{
}
A_2=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&1\end{pmatrix}\mbox{ }\mbox{
}A_3= \begin{pmatrix}5&-1&2\\-1&5&2\\2&2&2\end{pmatrix}\mbox{ }\mbox{
}.\]
\newline
\exercice 
\newline\newline
R\'eduire les formes quadratiques suivantes avec des
changements de base orthogonaux.
\begin{enumerate}
\item
  $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz$.
\item $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=2x^2+4y^2+z^2+4xy-
2\sqrt{2}xz+4\sqrt{2}yz$.
\end{enumerate}

\exercice 

Trouver le genre des coniques suivantes :
\begin{enumerate}
\item $x^2-xy+y^2-3x+2y-1=0$
\item $3x^2+5xy+2y^2+2x+y-1=0$
\end{enumerate}

\exercice

Trouver les \'equations r\'eduites dans des rep\`eres orthonorm\'ees
des coniques suivantes. 

\begin{enumerate}
\item $x^2-xy+y^2+x+y=0$,
\item $xy+2x+y=0$,
\item $x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0$,
\item $4x^2+12xy+9y^2-8x-12y-5=0$,
\item $5x^2-6xy+5y^2+2x-14y+13=0$,
\item $15x^2+24xy+15y^2+30x-24y+20=0$,
\item $15x^2-16xy-15y^2-62x-44y-13=0.$ 
\end{enumerate}


\end{document}
