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\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 - Année universitaire 2008-2009}


\vspace{0,5cm} 
\begin{center}
\textbf{\Large Feuille d'exercices 2}
\end{center}

\exercice

D\'{e}terminer si les fonctions suivantes sont des formes bilin\'eaires/semi-lin\'{e}aires, et dans l'affirmative, si elles sont sym\'{e}triques/hermitiennes.

\begin{enumerate}
\item $b:\R^2\times \R^2\rightarrow \R$,
  $b(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},
  \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} )=x_1y_2+x_2y_2$.


\item $b: \rr^3\times \rr^3\to \rr, b(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix})=x_1y_3+x_1x_2$

\item $b:\R^2\times \R^2\rightarrow \R$,
  $b(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},
  \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} )=x_1y_2+x_2x_1$.
  
\item $\varphi: \cc^3\times \cc^3\to \cc, \varphi(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix})=\overline{x}_1y_3+\overline{x}_2+y_1y_2$
  
\item $b:\R_n[X]\times \R_n[X]\rightarrow \R$,
  $b(P,Q)=P'(1)Q(0)+Q'(1)P(0)$,

\item $b : C([a,b], \R)\times C([a,b],\R)\rightarrow \R, b(f,g)=
\int_a^b f(x)g(x)dx.$

\item $\varphi : C([a,b], \C)\times C([a,b],\C)\rightarrow \C, \varphi(f,g)=
\int_a^b \overline{f(x)}g(x)dx.$


\item $\varphi : C([a,b], \C)\times C([a,b],\C)\rightarrow \C, \varphi(f,g)=
\int_a^b f(x)\overline{g(x)}dx.$


\end{enumerate}

\exercice 

Pour chacune des formes
bilin\'eaires suivantes, calculer sa matrice $M_1$ 
dans la base $B_1$ et sa matrice $M_2$ dans la base $B_2$ Calculer
$P$, la matrice de passage de $B_2$ \`{a} $B_1$, et v\'erifier que 
$M_2= {^t}P M_1 P$.
\begin{enumerate}
\item $\phi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$
\[\phi(\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}y_1\\y_2\end{matrix}\right)
)=x_1y_2+3y_1x_2\quad,\quad
B_1=\{\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right), 
\left(\begin{matrix}0\\ 1\end{matrix}\right)\},
B_2=\{\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right), 
\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)\}.\]
\item  $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \mathbb{R}$
\[\phi(P,Q)= P(2)Q(1)\quad,\quad
B_1=\{1,X,X^2\}, B_2=\{1, (X-1), (X^2-3X+2)\}.\]
\item  $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \mathbb{R}$
\[\phi(P,Q)= \int_0^1P(x)Q(1-x)dx\quad,\quad
B_1=\{1,X,X^2\}, B_2=\{1, (X-1), X^2-X\}.\]
\end{enumerate} 
 
\exercice
Soient $\varphi$ et $\psi$ deux formes lin\'eaires d\'efinies sur le
$\cc$-espace vectoriel $E$.   
\begin{enumerate} 
\item D\'emontrer que l'application 
$$b:E\times E \rightarrow \cc, (u,v)\mapsto\varphi(u)\psi(v)+\varphi(v)\psi(u)$$ est
  une forme bilin\'eaire sym\'etrique, et que la forme 
  $$h:E\times E \rightarrow \cc, (u,v)\mapsto\overline{\varphi(u)}\psi(v)+\overline{\psi(u)}\varphi(v)$$ est
  semi-lin\'{e}aire hermitienne. 
  
\item D\'emontrer que l'application $$\Psi:E\times E \rightarrow \cc,(u,v)\mapsto\varphi(u)\psi(v)-\varphi(v)\psi(u)$$ est
  une forme bilin\'eaire v\'{e}rifiant $$\Psi(v,u)=-\Psi(u,v)\mbox{ pour tout }u,v\in E.$$
  
\item Supposons que $E=\R^3$ et que, pour tout $x\in\R^3$,
  $\varphi(x)=y_1^t x$, $\psi(x)= y_2^t x$, o\`u $(y_1,y_2)\in\R^3$ 
sont deux
  vecteurs colonnes fix\'{e}s. Donner les matrices de $b$ et $\Psi$ dans la base
  canonique de $\R^3$. 
\end{enumerate}



\exercice

Soit $\Phi$ une forme bilin\'eaire d\'efinie sur $E\times E$
  o\`u $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $A$ une
  matrice repr\'esentant $\Phi$ dans une base $\mathcal{B}$
  fix\'ee. Montrer que l'application \[\Psi:E\times E \rightarrow \R\]
  d\'efinie par $\Psi(u,v)=\Phi(v,u)$ est une forme bilin\'eaire et 
  pr\'eciser, en fonction de $A$, sa matrice dans la base 
  $\mathcal{B}$. Montrer que $\Psi$ est sym\'etrique 
  (resp. antisym\'etrique) si et seulement si $A$ l'est. 

\exercice
Soit $(a,b,c)\neq 0,0,0)$, et soit $$f_{a,b,c}:\rr^3\to \rr,\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\mapsto ax+by+cz.$$ Soit 
$$\varphi:\rr^3\times \rr^3\to \rr, (u,v)\mapsto f_{a,b,c}(u\wedge v).$$
Montrer que $\varphi$ est bilin\'{e}aire et calculer sa matrice repr\'{e}sentative dans la base canonique. 

\exercice

Soit $b:V\times V\to K$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique, et soit $h:V\times V\to K$ une forme semi-lin\'{e}aire hermitienne. Montrer les relations suivantes:

$(1)$ $\ds\frac{1}{2}(b(x+y,x+y)-b(x,x)-b(y,y))=b(x,y)$  

$(2)$ $\ds\frac{1}{4}(b(x+y,x+y)-b(x-y,x-y))=b(x,y)$

$(3)$ $\ds\frac{1}{2}(h(x+y,x+y)-h(x,x)-h(y,y))={\rm Re} h(x,y)$ 

$(3)$ $\ds\frac{1}{2}(h(x-iy,x-iy)-h(x,x)-h(y,y))={\rm Im} h(x,y)$ 

$(4)$ $\ds\frac{1}{4}(h(x+y,x+y)-h(x-y,x-y))={\rm Re} h(x,y)$

$(5)$ $\ds\frac{1}{4}(h(x-iy,x-iy)-h(x+iy,x+iy))={\rm Im} h(x,y)$.




\exercice

Soit $b:V\times V\to K$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique. Pour une partie $S$ de $V$, on pose 
$$S^\perp=\{ x\in V \mid b(x,s)=0 \mbox{ pour tout }s\in S\}.$$

$(1)$ Montrer que $S^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $V$.

$(2)$ Pour chaque forme bilin\'eaire 
$b$ ci-dessous, montrer que $b$ est sym\'etrique,
et calculer le rang de $b$.

Calculer \'{e}galement $V^\perp$ et $S^\perp$.

\begin{enumerate}
\item $b: \R^3\times \R^3\rightarrow \R$,
  $b(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix})=x_1y_1+x_2y_1+x_1y_2$,
$S=\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}|x+y+z=0\}$.
\item $b : \R_3[X]\times \R_3[X]\rightarrow \R, (P,Q)\mapsto P'(0)Q(0)+P(0)Q'(0)$, $S=\R_2[X]$.
\end{enumerate}  

\exercice
D\'emontrer que, pour toute forme bilin\'eaire sym\'etrique 
$b$ sur un espace
vectoriel $E$, pour tous sous-espaces vectoriels $W,U$, nous avons
les propri\'et\'es suivantes. 
\begin{enumerate}
\item $(U+W)^\perp=(U^\perp)\cap (W^\perp)$.
\item $(U\cap W)^\perp\supset U^\perp +W^\perp$.
\end{enumerate}
 Donner un exemple d'une forme bilin\'eaire de rang 1 sur 
$\mathbb{R}^2$ et des sous-espaces $U,W\subset \mathbb{R}^2$ tels que
\[(U\cap W)^\perp\neq U^\perp+W^\perp.\]


\exercice
Soient $A,B\in{\rm M}_n(\rr)$ des matrices $n\times n$. Montrer que, si pour tout
$X, Y\in \mathbb{R}^n$ on a $X^tAY=X^tBY$,
alors $A=B$.
\end{document}