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\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 - Ann\'{e}e universitaire 2008-2009}


\vspace{0,5cm} 
\begin{center}
\textbf{\Large Feuille d'exercices 1}
\end{center}
\exercice 

Pour chaque espace vectoriel $V$, dire si oui ou non la famille
$F$ d'\'el\'ements de $V$ est une base de $V$. 

$(1) V=\R^3, F=\{ \left(\begin{array}{c}1\cr -1\cr -1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}1\cr 0\cr 1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}2\cr 2\cr 6\end{array}\right)\}$


$(2) V=\R^3, F=\{ \left(\begin{array}{c}1\cr 1\cr 0\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}1\cr 0\cr 1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\cr 1\cr 1\end{array}\right)\}$

$(3) V=\{\left(\begin{array}{c}x\cr y\cr z\end{array}\right)\mid x+y+z=0\},F=\{\left(\begin{array}{c}1\cr -1\cr 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\cr 0\cr -1\end{array}\right)\}$


$(4) V=\R_2[X], F=\{X^2-3X+1, X^2+3X-4, 2X^2+2X-4\}$

$(5) V= \R_2[X], F=\{ (X-1)^2, (X-1), 1\}.$
 
Lorsque $F$ est bien une base, donner les coordonn\'ees du
vecteur $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ (pour 1,2 et 3) ou du
polyn\^ome $a+bX+cX^2$ (pour 4 et 5) par rapport \`a F.

\exercice
Pour chaque espace vectoriel $V$, dire si oui ou non la partie
$S\subset V$ est un sous-espace vectoriel.
\begin{enumerate}
\item $V=\R^3$, $S=
\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\R^3|x+y-z=0\}$
\item $V=\R^3$, $S=
\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\R^3|x+y-z=1\}$
\item $V=\mathcal{C}^2([0,1], \R)$,  $S=
\{f\in \mathcal{C}^2([0,1], \R)|f''+f'=0\}$
\item $V=\R_3[X]$, $S=\{P\in \R_3[X]| (P(3))^2=P(2).\}$.
\end{enumerate}
\exercice
Pour quelles valeurs de $k$ le syst{\`e}me\\
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
kx+y=1  \\
x+ky=1  \\
\end{array}
\right.\]
\halign{#&#\cr
         admet-il$\ $ & a) aucune solution~?\hfill\cr
         &b) une solution unique~?\hfill\cr
         &c) une infinit{\'e} de solutions~?\hfill\cr}
\vskip20pt
\exercice
Calculer le noyau et l'image de chaque matrice.
\[\left(\begin{matrix}{-2}&{1}&{1}\\{1}&{-2}&{1}\\{1}&{1}&{-2}
\end{matrix}\right)\mbox{ }\mbox{ }
\left(\begin{matrix}{1}&{-1}&{1}\\{-1}&{1}&{-1}\\{1}&{-1}&{1}
\end{matrix}\right)\]


\exercice
Montrer que les trois fonctions suivantes forment une famille li\'ee
dans l'espace $C^0(\R;\R)$ des fonctions continues de $\R$ dans $\R$ : 
$$x\mapsto\cos(x-1) \quad,\quad x\mapsto\cos x \quad,\quad
x\mapsto\cos(x+1).$$ 

\exercice Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \rr$ $n$ r\'{e}els distincts. Montrer que les fonctions $$x\mapsto e^{\alpha_i x},i=1,\ldots,n$$
sont lin\'{e}airements ind\'{e}pendantes dans l'espace vectoriel $C^0(\R;\R)$.


\exercice
Soit $V=\{ P\in\R_n[X] \mid P(1)=0 \}.$

Montrer que $V$ est un $\rr$-espace vectoriel.
Calculer la dimension de $V$ et en pr\'{e}ciser une base.

\exercice
\begin{enumerate}
\item 
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$\theta''+\omega^2\theta=0$. 
Montrer que l'ensemble des fonctions du $\R$-espace
vectoriel 
$C^2(\R;\R)$ solutions de cette \'equation forme un sous-espace
vectoriel de $C^2(\R;\R)$. En donner une base et la dimension. 
\item On  consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$\theta''+\omega^2\sin{\theta}=0$. Est-ce que 
l'ensemble des fonctions du $\R$-espace
vectoriel 
$C^2(\R;\R)$ solutions de cette \'equation forme un sous-espace
vectoriel de $C^2(\R;\R)$? 
\end{enumerate}

\exercice 

Nous consid\'erons $\mathbb{C}$ en tant que 
$\mathbb{R}$-espace vectoriel. Quelle est sa dimension? En pr\'eciser
une base.

\exercice

Soient $P_0, \ldots,P_n$ ($n\in\N$) des polyn\^omes non nuls de
$\R[X]$ tels que pour tout $0\leq i\leq n$, le degr\'e de $P_i$ est
$i$. D\'emontrer que la famille $(P_i)_{i=0\ldots n}$ forme une base
du sous-espace vectoriel $\R_n[X]$ constitu\'e par les polyn\^omes de
degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$. 

\exercice
D\'{e}terminer si les matrices suivantes sont inversibles, et si oui, calculer leur inverse.

$$\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \cr 1 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \cr 1 & 1& 1\cr 1&1&1\end{array}\right),\begin{pmatrix}1&1&1\cr 1&2&4\cr 1& 3& 9\end{pmatrix}$$ 

\exercice
Diagonaliser dans $\rr$ les matrices suivantes:

$$\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \cr -1 &-4 \end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \cr 1 & 1& 1\cr 1&1&1\end{array}\right),\begin{pmatrix}-1&0&0\cr 7&2&-2\cr 2& 0& 1\end{pmatrix}.$$
 
\exercice
Calculer le d\'{e}terminant $\left\vert\begin{array}{cccc}1&1&1&1\cr 1&-1&2&3\cr 1&1&4&9\cr 1&-1&8&27\end{array}\right\vert$.  


\exercice. Pour chaque application, indiquer
 si oui ou non elle
est lin\'{e}aire. Si oui, en donner le noyau et
l'image.
\begin{enumerate}
\item La fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ donn\'ee par
  projection sur l'axe des $x$.
\item La fonction de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ donn\'ee par 
$f(\left(\begin{matrix}{x}\\{y}\\{z}\end{matrix}\right))
=\left(\begin{matrix}{x+y}\\{y-z}\\{z+1}\end{matrix}\right)$.
\item  La fonction de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ donn\'ee par 
$f(\left(\begin{matrix}{x}\\{y}\\{z}\end{matrix}\right))
=\left(\begin{matrix}{x+y}\\{y-z}\\{x+z}\end{matrix}\right)$.
\item La fonction de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ donn\'ee par
rotation d'un angle $\theta$ autour de l'origine.
\item Une sym\'etrie dans le plan par rapport \`a une droite. (Traiter
  s\'epar\'ement le cas o\`u la droite passe par l'origine).
\item La fonction $\phi$ qui envoie $C^\infty([0,1],\mathbb{R})$
 sur lui-m\^eme donn\'ee par   
\[\phi(f)=f'.\]
Nous rappelons que  $C^\infty([0,1],\mathbb{R})$ est l'espace de
fonctions sur l'intervalle $[0,1]$ \`a valeurs dans $\R$ qui sont
d\'erivables \`a tous ordres. 
\item La fonction $\phi:\R_3[X]\rightarrow \R_4[X]$ donn\'ee par
  $\phi(P)=P'-XP$. 
\end{enumerate}

\exercice
Dans les cas $1,3,4,5$ de l'exercice pr\'{e}c\'{e}dent, \'{e}crire la matrice repr\'{e}sentative de $f$ dans la base canonique.
Dans le cas $7$, \'{e}crire la matrice repr\'{e}sentative de $f$ dans la base $1,X,X^2,X^3$.


\exercice
Soient $a_0, a_1,\ldots,a_n\in \rr$ $n+1$ r\'{e}els distincts. 
Montrer que l'application $$f:\R_n[X]\to \R^{n+1}, P\mapsto (P(a_0),\ldots, P(a_n))$$ 
est un isomorphisme d'espaces vectoriels. 

Qu'en est-il de l'application $$g:\R_n[X]\to \R^n, P\mapsto (P(a_1),\ldots,P(a_n)) ?$$ 

\exercice
Montrer que les ensembles $$\mathcal{A}_n=\{ M\in{\rm M}_n(\rr)\mid M^t=-M\}\mbox{ et }\mathcal{S}_n=\{ M\in{\rm M}_n(\rr)\mid M^t=M\}$$
sont des $\rr$-espaces vectoriels, et calculer leur dimension (difficile). 

Montrer que l'on a ${\rm M}_n(\rr)=\mathcal{A}_n\oplus \mathcal{S}_n$.

\exercice
Soit $V=\mathcal{F}(\rr;\rr)$ l'espace vectoriel des fonctions $f:\rr\to \rr$. Soit $\mathcal{P}$ le sous-ensemble des fonctions paires, et $\mathcal{I}$ le sous-ensemble des fonctions impaires.

Montrer que $V=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.


\exercice 
Soit $V$ le sous-espace vectoriel de $\rr^3$ engendr\'{e} par les vecteurs $\left(\begin{array}{c}1\cr -1\cr 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\cr 0\cr -1\end{array}\right)$.

Trouver un suppl\'{e}mentaire $W$ de $V$ dans $\rr^3$, c'est-\`{a}-dire un sous-espace $W$ tel que $$\rr^3=V\oplus W.$$

\exercice
Soit $V$ un $K$-espace vectoriel ($K=\rr$ ou $\cc$), et soit $p:V\to V$ une application lin\'{e}aire v\'{e}rifiant $$p\circ p=p.$$
Montrer que l'on a $$V=\ker(p)\oplus {\rm Im}(p)\mbox{ et } {\rm Im(p)}=\ker({\rm Id}_V-p).$$

\exercice
Trouver un exemple d'application lin\'{e}aire $f:V\to V$ telle que $\ker(f)$ et ${\rm Im}(f)$ ne soient pas en somme directe.

\end{document}