Les sous-groupes approximatifs des groupes localement compacts forment une famille d’ensembles aux propriétés spectaculaires. Ils apparaissent naturellement dans des contextes variés comme la théorie locale des groupes localement compacts (5ème problème de Hilbert, Lemme de Margulis), les propriétés de trou spectral, ou encore dans l’étude des pavages apériodiques, des quasi-cristaux et des nombres de Pisot due à Meyer.

Dans de nombreuses situations il est possible d’établir des résultats de structure précis pour les sous-groupes approximatifs. Cela s’illustre par exemple par la structure des sous-groupes approximatifs fermés des espaces euclidiens ou encore des groupes linéaires résolubles. Nous nous intéresserons rapidement aux méthodes permettant la démonstration de ces deux résultats ; puis nous considérerons les réseaux approximatifs (sous-groupes approximatifs discrets de co-volume fini) de SL_n(k), n \geq 3 et montrerons qu’ils correspondent aux sous-ensembles de matrices ayant des nombres de Pisot pour coefficients, généralisant ainsi le théorème d’arithméticité de Margulis.