Dans cet exposé je vais discuter une inégalité isopérimétrique qui fait intervenir le rayon intérieur des ensembles de Følner inspiré par un résultat de A. Zuk. Je donnerai ensuite des applications en passant par les marches aléatoires à la cohomologie $\ell^p$ réduite en degré 1 (un résultat qui se traduit par l'absence de fonction harmonique à gradient $\ell^p$).