Gary Martinez

Pour une T-variété X, on définit la complexité comme la différence
entre la dimension de X et celle du tore T. Les T-variétés de
complexité nulle sont les variétés toriques, lesquelles peuvent être
décrites à l’aide d’une donnée combinatoire appelée éventail, lorsque
le tore T est déployé. Entre 2006 et 2008, sur un corps algébriquement
clos de caractéristique nulle, Altmann, Hausen et Süß ont développé
une théorie combinatoire décrivant les T-variétés de complexité
supérieure, généralisant ainsi la description classique des variétés
toriques. Les objets combinatoires correspondants sont appelés
diviseurs polyédraux propres (pour les T-variétés affines) et
éventails divisoriels (pour les variétés non affines).

Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation de cette théorie
au cas des corps arbitraires. Nous verrons d’abord que la construction
d’Altmann et Hausen s’applique telle quelle lorsque le tore agissant
est déployé. Comme tout tore algébrique devient déployé après une
extension galoisienne finie, on peut alors décrire, en toute
généralité, les T-variétés sur un corps quelconque en ajoutant à la
donnée combinatoire une structure de descente galoisienne appropriée.
Nous verrons ces résultats en suivant des exemples.