Stéphane Baseilhac

Les algèbres d'écheveaux des surfaces sont, en topologie quantique, un des principaux outils pour construire et étudier les invariants des variétés de dimension 3. Ces algèbres ne sont pas commutatives en général, et sont définies par des présentations de nature combinatoire, ce qui rend leur étude très difficile; par exemple, leurs représentations irréductibles de dimension finie ne sont aujourd'hui pas toutes connues. Le but de cet exposé est d'introduire les algèbres de modules quantiques, qui sont issues de la théorie des invariants pour les groupes quantiques, et permettent de généraliser les algèbres d'écheveaux à tout groupe de Lie complexe semisimple, ainsi que démontrer un grand nombre de propriétés structurelles de ces algèbres; notamment, que ce sont des domaines Noethériens, dont les spécialisations aux racines de l'unité sont des ordres d'algèbres centrales simples dont on sait calculer le degré (et donc la dimension maximale des représentations irréductibles). Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Matthieu Faitg et Philippe Roche. Dans la première moitié de l'exposé je présenterai les algèbres d'écheveaux des surfaces, quelques unes de leurs propriétés les plus remarquables, et les problèmes qu'elles suscitent.