Titre du séminaire
Résumé
En 1929, dans une volonté de généralisation du théorème de Lindemann-Weierstrass, C.L. Siegel introduit la notion de E-fonctions et développe une méthode de transcendance pour étudier leurs valeurs en des points algébriques. Cette méthode connait un premier aboutissement majeur avec le théorème de Siegel-Shidlovskii, en 1959, qui établit l'égalité des degrés de transcendance entre des E-fonctions liées par un système différentiel et leurs valeurs en un point régulier. Ces résultats ont connu des développements récents : au début des années 2000, des travaux de Y. André sur la nature des singularités de ces équations permettent à F. Beukers d'obtenir une amélioration significative du théorème de Siegel-Shidlovskii. Ce résultat va permettre à T. Rivoal et S. Fischler d'obtenir, en 2024, deux résultats majeurs :
1) Une valeur de E-fonction définie sur un corps de nombres K est soit transcendante, soit dans K.
2) Aucune valeur de E-fonction n'est un U-nombre.
Dans cet exposé nous décrirons les obstacles qui jalonnent le chemin qui mène du théorème de Siegel-Shidlovskii à ces deux résultats. L'approche que nous présentons diffère de celle proposée par T. Rivoal et S. Fischler et fait l'objet d'un travail commun avec B. Adamczewski.
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