Martin Averseng

Cet exposé concerne l'étude spectrale d'opérateurs de Schrödinger de la forme L(h) = -h^{^2} \Delta + V, dans le régime semiclassique h -> 0, lorsque le potentiel V est à valeurs complexes. Je présenterai deux résultats dans ce cadre :   (i) En dimension 1, une estimation, lorsque h -> 0, de l'écart exponentiellement petit (de l'ordre de exp(-S/h) où S > 0) entre les deux plus petites valeurs propres de L(h) en module, lorsque V est un potentiel "double-puits". Le résultat est une généralisation naturelle des travaux de Harell, Simon, Helffer et Sjöstrand concernant l'effet tunnel dans les années 1980. (ii) En dimension 2, une propriété de localisation, pour h -> 0, des "états fondamentaux" (i.e., les fonctions propres associées aux valeurs propres minimales en module) de L(h) sur un domaine Omega, lorsque V = i x_1. Plus précisément, les états fondamentaux se concentrent au point du bord où la coordonnée x_1 est minimale, et ce, dans un voisinnage de taille h^{2/3} dans la direction normale, et h^{1/2} dans la direction tangentielle. Les deux démonstrations ont pour point commun de faire intervenir des estimations de la résolvante (L(h) - z)^{-1}. C'est notamment sur cet aspect que l'exposé se concentrera : comment de telles estimations peuvent être obtenues dans ce cadre non auto-adjoint (en d'autres termes : comment "contourner" le théorème spectral). Dans le cas de (i), l'idée est d'exploiter des résultats disponibles pour l'oscillateur harmonique complexe, et dans le cas de (ii), de construire une approximation de la résolvante à l'aide du calcul symbolique pour les opérateurs pseudo-différentiels à symbole opérateur.   Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Nicolas Frantz (LAREMA, Angers), Nicolas Raymond (LAREMA, Angers) et Frédéric Hérau (LMJL, Nantes).