Escaliers et binômes

Dans cet exposé, je vais expliquer une généralisation du développement du binôme de Newton. On verra ce que sont les polynômes en $ q $ $ \\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right](q)$, dont la valeur en $1$ vaut le coefficient binomial $ \\binom{n}{k} $ et on les utilisera pour le problème combinatoire suivant.

Je me déplace sur une grille $ \\mathbf{Z} \\times \\mathbf{Z} $ et je considère tous les escaliers obtenus par $ k $ déplacements à droite et $ (n-k) $ déplacements vers le haut, dans un ordre ou dans un autre. Que peut-on dire des aires sous les $ \\binom{n}{k} $ escaliers ainsi formés?