Le produit infini $prod_{k=0}^infty (1+ix^{2^k})$, relié à  la
suite de Thue-Morse comptant les chiffres d'un entier binaire,
possède un joli développement en fraction continue de
type Jacobi. Pour le montrer, on est amené à  étudier
une curieuse catégorie (formée de matrices récursives)
qui a également des liens avec les automates finis et leurs groupes.