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Sara Checcoli

Petite hauteur et degrés locaux (travail en commun avec A. Fehm)
Jeudi, 16 Décembre, 2021 - 10:00
Résumé : 

Un ensemble de nombres algébriques possède la propriété de Northcott (N) s'il ne contient qu'un nombre fini d'éléments de hauteur de Weil bornée. Alors que pour les corps de nombres la propriété (N) suit immédiatement
du théorème de Northcott, établir sa validité pour une extension infinie des rationnels est, en général, un problème difficile.

Cette propriété a été introduite en 2001 par Bombieri et Zannier, qui ont soulevé la question de savoir si elle est valable pour les corps à degrés locaux uniformément bornés. Ils ont également remarqué que, pour une extension galoisienne (éventuellement infinie) des rationnels ayant degrés locaux bornés en (au moins) un premier, la propriété (N) est impliquée par la divergence d'une certaine somme, mais ils ont suggéré que ce phénomène ne se produit que pour les corps de nombres. En 2011, Widmer a donné un critère pour qu'une extension infinie des rationnels ait la propriété (N) basé sur certaines conditions de croissance des discriminants des sous-extensions finies du corps.

Dans cet exposé, je présenterai plusieurs résultats obtenus dans ce contexte avec Arno Fehm. En particulier, nous montrons l'existence d'extensions galoisiennes infinies des rationnels pour lesquelles la somme considérée par Bombieri et Zannier est divergente et auxquelles le critère de Widmer ne s'applique pas. Nous montrons également l'existence de corps sans la propriété (N) et ayant degrés locaux (non uniformément) bornés en tous les nombres premiers. Ce dernier résultat est un corollaire d'un théorème de Fili sur les nombres $p$-adiques de petite hauteur, dont, si le temps le permet, je présenterai une version effective. 

Thème de recherche : 
Théorie des nombres
Salle : 
4
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