Ouverts de sortie du mouvement brownien et fonctions harmoniques bornées dans des variétés à courbure très négative

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On s'intéresse à des variétés simplement connexes à courbure très
négative, où le problème de Dirichlet n'a pas de solution mais il existe tout de même des fonctions harmoniques bornées non constantes. Plus précisément, on étudie un exemple de variété où le mouvement brownien converge vers un point à l'infini du bord géométrique en suivant asymptotiquement une courbe dans une famille à deux paramètres. On montre ensuite que les fonctions harmoniques bornées sont en bijection avec les fonctions bornées sur l'ensemble des paramètres.