Itération des fonctions continues, unicité de développements en base non entière et un ensemble de suites binaires.

Si l'on développe le nombre 1 en base 10 sous la forme

1 = 0, a1 a2 a3...

où les ai sont dans l'intervalle [0, 9], le développement est unique (tous les ai valent 9).
Que se passe-t-il si on remplace la base 10 par une base non entière ? > 1 ? L'exemple
où ? est le nombre d'or montre qu'il n'y a pas nécessairement unicité.

Dans un article paru dans American Mathematical Monthly en 1998, V. Komornik et
P. Loreti s'intéressent au plus petit nombre réel ? dans l'intervalle ]1,2[ tel que le nombre 1
admette un développement unique en base ? : 1 = 0, t1 t2 t3..., où les ti sont égaux à 0 ou 1.
Ils prouvent en particulier que la suite (tn)n>0 est la suite de Thue-Morse.

En fait ce résultat est une reformulation d'un résultat de M. Cosnard et de l'auteur (1983)
obtenu dans le cadre de l'étude des itérations des fonctions continues unimodales, via un
certain codage des << suites de tricotage >> (kneading sequences) associées aux orbites
des points de l'intervalle.

Plus précisément les deux études sont fondées sur l'étude de l'ensemble de suites binaires ?
défini par

? := {A, suite binaire telle que, pour tout k > 0, A_ < dkA < A}

où A_ est la suite obtenue en remplaçant dans A les 0 par des 1 et les 1 par des 0, où d
représente le << décalage >> (shift) sur les suites, et où < est l'ordre lexicographique.

Nous évoquerons les propriétés combinatoires, arithmétiques et fractales de l'ensemble ?,
ainsi que les applications de ces propriétés aux problèmes évoqués ci-dessus.