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Estimées $C^k$ pour l'équation $overlinepartial$ sur les domaines concaves de type fini.

Mardi, 21 Mars, 2006 - 15:00
Prénom de l'orateur : 
William
Nom de l'orateur : 
ALEXANDRE
Résumé : 

Au cours de cet exposé, nous allons nous intéresser à la régularité de l'équation $overlinepartial$ dans le cadre des domaines concaves de type fini. Plus précisément, nous allons montrer le théorème suivant.

egin{theorem}mlabel{010304-06}
Soit $Dsubset ç^n$ un domaine convexe borné à bord lisse de type fini $m$ et $q=1,ldots, n-2$.\
Il existe un voisinage ${cal U}$ du bord de $D$ et un opérateur linéaire
$T_q:C_{0,q}({cal U}setminus D)
ightarrow C_{0,q-1} ({cal U}setminusoverline D)$ tel que pour tout $kin
n$ et toute forme $overlinepartial$-fermée $fin C^k_{0,q}({cal U}setminus D)$ à support inclus dans ${cal U}setminus D$, nous avons \
$i)$ $overlinepartial T_qf=f$,\
$ii)$ $T_qf$ appartient à $C_{0,q-1}^{k+frac1m} ({cal U}setminus D)$ et il existe $c_k>0$ indépendant de $f$, telle que $|T_qf|_{k+frac1m,{cal U}setminus D}leq c_k|f|_{{k,cal U}setminus D}$.
end{theorem}

Pour obtenir ce genre d'estimées, nous utilisons un opérateur intégral. Comme cela a été fait pour les domaines strictement pseudoconvexes et les domaines strictement convexes (c'est à dire des domaines de type 2), nous allons échanger le rôle des variables dans le noyau de l'opérateur intégral utilisé pour étudier la régularité de l'équation $overlinepartial$ pour les domaines convexes de type fini. Cependant le comportement au bord des nouveaux noyaux n'est plus le même si bien que l'opérateur que l'on obtient ne permet même pas de montrer le théorème pour $k=0$ ! Pour remédier à cela, il faut modifier les noyaux intégraux et notamment la fonction de support de K. Diederich et J.E. Fornae ss qui sert à les définir. Elle perdra alors son holomorphie ce qui générera un terme résiduel dans la formule d'homotopie. Il faudra alors étudier la régularité de ce terme et résoudre l'équation $overlinepartial$ pour lui aussi.

Institution de l'orateur : 
Université du Littoral
Thème de recherche : 
Analyse
Salle : 
04
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