Davide Lombardo

La théorie de Kummer classique concerne la situation suivante : soient $K$ un corps de nombres et $\alpha ∈ K^*$ un nombre algébrique qui n’est pas une racine de l’unité.

Pour tout $n ≥ 2$, le groupe $G_n = \operatorname{Gal} (K(\zeta_n, \sqrt[n]{\alpha})/K(\zeta_n))$ s’identifie de façon naturelle à un sous-groupe de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et un théorème classique montre que – pour un $\alpha$ fixé – l’indice $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : G_n )$ est borné uniformément lorsque n varie. De façon équivalente,
il existe une constante $d(\alpha) > 0$ telle que pour tout n ≥ 2 on a l’inégalité $[K\left( \zeta_n , \sqrt[n]{\alpha} \right)/K(\zeta_n )] ≥ d(\alpha)n$.

Une généralisation naturelle de cette situation s’obtient en considérant un groupe algébrique commutatif $A$ défini sur $K$, un point rationnel $\alpha ∈ A(K)$ d’ordre infini, et l’extension relative $[K \left( A[n], \frac{1}{n}\alpha  \right) : K(A[n])]$, le cas classique correspondant à $A = \mathbb{G}_m$.

Je vais discuter le cas où $A$ est une courbe elliptique $E$ et je vais montrer que si $E$ est définie sur $\mathbb{Q}$ (et sous une hypothèse minimale sur $\alpha$) le degré $[ \mathbb{Q} \left( E[n],\frac{1}{n}\alpha \right) : \mathbb{Q}(A[n])]$ est $≥ cn^2$ , où $c$ est une constante absolue, indépendante de $E$ et de $\alpha$.