Davide Lombardo

La détermination effective des points entiers d'une courbe algébrique
affine est un problème encore largement ouvert. Cependant, plusieurs
méthodes ont été proposées pour équations de formes particulières ; la
théorie des formes linéaires en logarithmes de Baker permet notamment de
traiter le cas des équations hyperelliptiques $y^2 = f(x)$. D'un point
de vue géométrique, celles-ci peuvent être vues comme des courbes
hyperelliptiques projectives dont on a enlevé un point (resp. deux
points) fixé (resp. échangés) par l'involution hyperelliptique.

Dans un travail en commun avec Pietro Corvaja et Umberto Zannier, nous
étudions le cas le plus simple pour lequel l'effectivité n'est pas
connue en général : les courbes projectives de genre 2 dont on a enlevé
un seul point non spécial. En particulier, nous montrons qu'il existe un
sous-ensemble dense de l'espace de modules des courbes projectives
lisses de genre 2 avec un point marqué pour lequel il est possible de
déterminer de façon effective les points $S$-entiers sur (tout modèle
$S$-entier de) la courbe affine correspondante, pour n'importe quel
corps de nombres. La méthode combine un critère de Bilu, la construction
de revêtements étales de la courbe, et l'étude des spécialisations de
torsion des sections des schémas abéliens.