Benoit Dagallier

Lorsqu'un modèle de physique statistique possède une transition de phase lorsqu'un paramètre, par exemple la température, varie ; on s'attend à observer à la température de transition un ralentissement de toute dynamique raisonnables (Langevin, Glauber...) utilisée pour l'échantillonner. La vitesse de convergence de la dynamique est typiquement mesurée à l'aide d'inégalités fonctionelles telles que l'inégalité de log-Sobolev. Dans le même temps, on ne s'attend pas, dans de nombreux cas, à ce que ces dynamiques ralentissent avant la transition de phase.
Etablir cet absence de ralentissement rigoureusement n'a été fait que dans de rares cas : si des bornes sont bien connues à haute température, elles requièrent de bonnes propriétés de l'énergie du modèle qui ne peuvent en général être valables jusqu'à une transition de phase, dont la définition implique l'énergie libre plutôt que l'énergie. Cette difficulté existe même dans le cas le plus simple des modèles de champ moyen.
Je montrerai cependant dans l'exposé que, dans le cas du champ moyen, il existe une manière simple de relier la vitesse de convergence de la dynamique à des propriétés de l'énergie libre, permettant en particulier d'atteindre la température critique pour certains modèles. La preuve n'implique pas d'étudier la dynamique. Elle repose sur une décomposition de la mesure décrivant le modèle inspirée d'idées de renormalisation. La méthode donne aussi des résultats pour des modèles définis sur un graphe non complet, potentiellement aléatoire, pour peu qu'il soit suffisamment dense.
Travail en commun avec R. Bauerschmidt et T. Bodineau.