This is joint work with Andriy Regeta (University of Jena/Padova)
and Christian Urech (ETH Zürich). We investigate whether the group
of birational transformations, Bir(X), of an irreducible variety X
detects rationality. Specifically, if Bir(X) is isomorphic to Bir(P^n),
does it follow that X and P^n are birationally equivalent?
For varieties X of dimension at most n, this question was
affirmatively answered by Serge Cantat in 2014. In this talk,
I will provide an overview of the techniques that ultimately
lead to a positive resolution of this question in all dimensions
and outline the main ideas of the proof.