Pour F un corps local, de caractéristique résiduelle p>0, et X/F une variété lisse et propre, Serre a conjecturé que les caractères du groupe de Weil, provenant de la cohomologie étale l-adique de X, sont indépendantes de l pour l inégal à p. Lorsque F est également de caractéristique p, j'expliquerai premièrement comment on peut étendre cette conjecture au cas "p-adique", en utilisant la cohomologie cristalline et le théorème de monodromie p-adique. Ensuite, toujours pour F d'équicaractéristique, j'expliquerai comment on peut prouver ces conjectures. Travail en collaboration avec Bruno Chiarellotto.