Sébastien Martineau

Un sommet du réseau $\mathbb{Z}^d$ est dit visible depuis l'origine si le segment de droite joignant l'origine à ce sommet intersecte le réseau en exactement deux points (l'origine et le sommet lui-même). Cette notion a un contenu arithmétique : $(x_1,\dots,x_d)$ est visible depuis l'origine si et seulement si $\text{PGCD}(x_1,\dots,x_d) = 1$.

Colorions les sommets visibles depuis l'origine en blanc et les autres en noir. À quoi ressemble ce coloriage vu depuis un point choisi "uniformément au hasard dans $\mathbb{Z}^d$" ? Nous verrons qu'il est possible de donner un sens rigoureux à cette question et d'y apporter une réponse satisfaisante.

Le coloriage aléatoire émergeant de cette étude peut être étudié du point de vue de la percolation. Nous verrons que, pour tout $d \geq 2$, presque sûrement, le nombre de composantes connexes blanches infinies vaut $1$ tandis que le nombre de composantes connexes noires infinies vaut $0$. On présentera une démonstration de ce résultat obtenue en collaboration avec Samuel Le Fourn et Mike Liu.