Une caractérisation de la fonction sinus

Soit f une fonction $C^infty$ de R dans R dont toutes les dérivées sont bornées par 1, si f'(0)=1 alors f est la fonction sinus. La démonstration de ce résultat qui parait élémentaire passe par les propriétés de certaines classes de fonctions holomorphes dites à croissance exponentielle ou sous-exponentielle (espaces de Bernstein).