Somme et différence d'ensembles finis.

Deux ensembles finis d'entiers $A$ et $B$ étant donnés, on note
$A+B$ (resp. $A-B$) l'ensemble de toutes les sommes
$a-b$ (resp. differences $a-b$), $ain A$, $bin B$.
On s'interessera à  la comparaison des cardinaux $|A+B|$
et $|A-B|$ de ces deux ensembles.

De simples constatations montrent que $|A|+|B|-1\le |A\pm B|\le |A|\times
|B|$
et que les bornes sont atteintes en même temps par $|A+B|$ et $|A-B|$.
Nous verrons que lorsque $|A+B|$ s'écarte suffisamment de ces valeurs
extrêmes,
alors $|A-B|$ peut être très différent de $|A+B|$, dans une certaine
mesure.

Les inégalités de Plünnecke, issues de la théorie des graphes,
permettent d'établir que, de fac con générale,
on a $|A-B|\le|A+B|^{3/2}$. Une question naturelle est donc
de déterminer le meilleur exposant $\theta$ pour lequel il existe
$A$ et $B$ tels que $|A-B|\ge |A+B|^{\theta}$.