Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes modulaires.

La motivation sous-jacente à  cet exposé est un problème de Serre sur la
torsion des courbes elliptiques : soit $E$ une courbe elliptique sur
$mathbb Q$ (sans multiplication complexe). Serre a montré que pour $p$ un
nombre premier supérieur à  une constante dépendant de $E$, la représentation
associée à  l'action de Galois sur la $p$-torsion est surjective. Peut-on
déterminer une telle constante indépendamment de $E$? Ce problème se ramène
à  étudier les points rationnels de certaines courbes modulaires. On
expliquera dans cet exposé comment des formules pour les valeurs spéciales
de fonctions L de formes modulaires peuvent donner des résultats en
direction de ce problème. On exposera aussi comment ces questions sont
intimement liées aux fonctions Theta associées à  des réseaux d'algèbres de
quaternions.