Composantes connexes de la compactification d'espaces de représentations de groupes de surfaces.

Notons $m_g$ l'espace $Hom(pi_1Sigma_g,PSL(2,R))/PSL(2,R)$,
où $Sigma_g$ est la surface de genre $g$. D'après un
théorème de Goldman, $m_g$ possède $4g-3$ composantes
connexes, indexées par la classe d'Euler ; et deux de ces
composantes s'identifient à  l'espace de Teichmüller.
Nous raffinons la compactification de Bestvina et Paulin, en
définissant une convergence au sens de Gromov qui tient compte
de l'orientation. Les points idéaux sont des arbres réels
{em épais}. Nous montrons que cette compactification admet
encore $4g-3$ composantes connexes, en prouvant que la classe
d'Euler s'étend continûment jusqu'au bord. La
compactification usuelle (celle de Morgan-Shalen, Bestvina et
Paulin), elle, est connexe, et même très dégénérée,
pour $g$ assez grand.