Chapitre 28  Les équations différentielles résolubles

28.1  Équation linéaire à coefficients constant du 2ième ordre

Ce sont les équations de la forme ay″+by′+cy=f(x)

28.2  Équation linéaire en y et y′ du 1ier ordre

La solution générale de l’équation complète est égale à la somme solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière.

• Résoudre :
  2xy′+y−3x²=0
  Avec Xcas
  On tape :
  normal(desolve(2*x*y’+y-3*x^2))
  On obtient :
  ((5*sqrt(x)*c_0+3*x^3)*1/5)/x
  
• Résoudre :
  y′*√1+x²−y=x+√1+x²
  On résoud l’équation sans second membre :
  y′/y=1/√1+x²
  On trouve :
  y=c*exp(  asinh (x))=c*(√1+x²+x) Puis on fait varier la constante c :
  y′=c′*exp(  asinh (x))+c*exp(  asinh (x))*1/√1+x²
  donc :
  y′*√1+x²−y=c′*exp(  asinh (x))*√1+x²=c′*(x+√1+x²)*√1+x²
  On obtient c′ : c′=(x+√1+x²)*exp(−  asinh (x))/√1+x²=1/√1+x² donc :
  c′=1/√1+x²
  On intègre :
  c=  asinh (x)+k=−(ln(√1+x²−x))+k
  On a donc :
  y=(  asinh (x)+k)*(√x²+1+x)=(−ln(√1+x²−x)+k)*(√x²+1+x)
  Avec Xcas
  On tape :
  normal(desolve(y’*sqrt(1+x^2)-y=x+sqrt(1+x^2),y))
  On obtient :
  (sqrt(x^2+1)+x)*c_0+(-sqrt(x^2+1)-x)*
  ln(abs(sqrt(x^2+1)-x))

28.3  Équation du 1ier ordre avec facteur intégrant

Ce sont les équations différentielles qui peuvent être multipliées par f(x) de façon à obtenir une différentielle totale.

• Résoudre :
  xy′−y=0 soit xdy−ydx=0
  On multiplie par f(x)=1/x² pour que l’équation différentielle soit la différentielle totale de la fonction F(x,y)=y/x.
  Donc y=kx.
  Avec Xcas
  On tape :
  normal(desolve(x*y’-y))
  On obtient :
  c_0*x
  
• Résoudre :
  2xyy′+x²−y²+a²=0
  On multiplie par f(x) pour que l’équation différentielle soit la différentielle totale de la fonction F. La fonction f(x) doit vérifier pour cela :
  d(2xyf(x))/dx=d((x²−y²+a²)f(x))/dy
  cela donne :
  2yf(x)+2xyf′(x)=f(x)(−2y)
  ou encore :
  xf′(x)+2f(x)=0
  donc f(x)=1/x² est un facteur integrant et l’équation différentielle est la differentielle totale de F qui vérifie :
  dF(x,y)/dy=2y/x.
  Donc F(x,y)=y²/x+g(x) et
  −y²/x²+g′(x)=(x²−y²+a²)/x²
  donc g′(x)=1+a²/x² soit g(x)=x−a²/x
  Puisque dF=0, on en déduit que :
  F(x,y)=y²/x+x−a²/x=(y²+x²−a²)/x=c_0
  Donc les solutions sont :
  y=√(−x²+a²+c_0*x) et y=−√(−x²+a²+c_0*x)
  Avec Xcas
  On tape :
  normal(exp2pow(desolve(2*x*y*y’+x^2-y^2+a^2)))
  On obtient :
  [sqrt(a^2-c_1*x-x^2),-(sqrt(a^2-c_1*x-x^2))]

28.4  Équation homogène du premier ordre résoluble en y′

Pour les équations homogènes du premier ordre non résoluble en y voir 28.7.
Les équations homogènes du premier ordre résoluble en y sont de la forme a(x,y)*y′=b(x,y) où a(x,y) et b(x,y) sont des fonctions homogènes de même degré p (a(t*x,t*y)=t^p*a(x,y) et b(t*x,t*y)=t^p*b(x,y)).
Pour résoudre les équations homogènes on pose y/x=t.

• Résoudre :
  2xyy′+x²−y²=0
  On pose y=t*x.
  On a : dy/dx=x*dt/dx+t donc :
  2*t*(x*dt/dx+t)+1−t²=0 soit à résoudre :
  2*t*x*dt+(1+t²)dx=0
  On obtient une équation à variables séparées :
  2*t*dt/(1+t²)=−dx/x.
  Donc x=k/(t²+1) et y=k*t/(t²+1).
  Avec Xcas
  On tape :
  normal(desolve(2*x*y*y’+x^2-y^2))
  On obtient :
  [(-i)*x,(i)*x,pnt[c_0/(‘ t‘^2+1),(‘ t‘*c_0)/(‘ t‘^2+1)]]
  où ‘ t‘ est le paramétrage.
  
• Résoudre :
  xy′−y−√x²+y²=0 On pose y=t*x. On a : dy/dx=x*dt/dx+t donc :
  x²*dt/dx+x*t−x*t−√x²+t²*x²=0
  √x²+t²*x²=|x|*√1+t² soit à résoudre :
  x*dt−√1+t²*dx=0 si x>0
  x*dt+√1+t²*dx=0 si x<0
  ou encore
  |x|t′=√1+t²
  donc =dx/|x|=signe(x)*dx/x=dt/√(1+t²)
  Donc :
  Si x>0 on a : x=k*(t+√(1+t²)); y=k*t*(t+√(1+t²)) avec k>0
  Si x<0 on a : x=k/(t+√(1+t²)); y=k*t/(t+√(1+t²)) avec k<0
  Si x>0 on a : (x/k−t)²=1+t²
  2kxt=k²*x²−1 ou encore
  y=kx²/2−1/(2k) Si x<0 on a : (k/x−t)²=1+t²
  2kt/x=k²/x²−1 ou encore
  y=k/2−x²/(2k)
  Avec Xcas
  On tape :
  normal(desolve(x*y’-y-sqrt(x^2+y^2)))
  On obtient :
  [(-i)*x,(i)*x,pnt[(sqrt(‘ t‘^2+1)+‘ t‘)*c_0,(‘ t‘*sqrt(‘ t‘^2+1)+‘ t‘^2)*c_0]]
  où ‘ t‘ est le paramétrage.
• Résoudre :
  3x³y′−(3x²−y²)y=0
  On pose t=y/x et on obtient :
  y′=t−t³/3=dy/dx=t+x*dt/dx donc :
  dx/x=−3*dt/(t³) et y=t*x x=k*exp(3/(2*t²)) et y=k*t*exp(3/(2*t²))
  Avec Xcas
  On tape :
  normal(desolve(3*x^3*diff(y)=((3*x^2-y^2)*y),y))
  On obtient :
  [0,pnt[c_0*exp(3/(‘ t‘^2*2)),‘ t‘*c_0*exp(3/(‘ t‘^2*2))]]
  où ‘ t‘ est le paramétrage.
• Résoudre :
  x+y*y′=√x²+y² On pose :
  t=x²+y²
  On a :
  dt/dx=2x+2ydy/dx donc
  dt/dx=2√t
  donc dx=dt/(2√t)
  x+k=√t, y=s*√t−x²=s*√2*k*√t−k² avec s=± 1.
  On a donc :
  y=s*√2*k*(x+k)−k²=s*√2*k*x+k² avec s=± 1, k+2x>0 et k+x>0,
  Ou bien on pose y/x=t donc dy/dx=t+x*dt/dx
  On a x+y*y′=√x²+y² :
  x+tx(t+x*dt/dx)=|x|*√1+t²
  Après simplification par x :
  t*x*dt/dx=s*√1+t²−1−t²
  tdt/(s*√1+t²−(1+t²))=dx/x
  Pour x>0, s=1 et on a
  ln((−4t²−8−8√t²+1)/(2t²))=ln(x/k)
  Donc :
  x=k(−4t²−8−8√t²+1)/(2t²)
  y=k(−4t²−8−8√t²+1)/(2t)
  Pour x<0, s=−1 et on a
  ln((−4t²−8+8√t²+1)/(2t²))=ln(x/k)
  Donc :
  x=k(−4t²−8+8√t²+1)/(2t²)
  y=k(−4t²−8+8√t²+1)/(2t)
  

  Avec Xcas
  On tape :
  desolve(x+y*y’=sqrt(x^2+y^2),y)
  On obtient :
  [(i)*x,(-i)*x,0,pnt[c_0/(sqrt(‘ t‘^2+1)-1),(‘ t‘*c_0)/(sqrt(‘ t‘^2+1)-1)]]
  où ‘ t‘ est le paramétrage.

28.5  Équation de Bernoulli

Les équations de Bernoulli sont de la forme a(x)y′+b(x)y=c(x)yⁿ et se résolvent en posant u=1/yⁿ⁻¹

• Résoudre :
  xy′+2y+xy²
  Avec Xcas
  On tape :
  simplify(desolve(x*y’+2*y+x*y^2,y))
  On obtient :
  [1/(x^2*c_0-x)]
• Résoudre :
  xy′−2y=xy³
  Avec Xcas
  On tape :
  simplify(desolve(x*diff(y)-2*y=(x*y^3),y))
  On obtient :
  [(-(x^2*sqrt(-10*x^5+25*c_0)))/(2*x^5-5*c_0)]

28.6  Équation à variables séparées

Les équations à variables séparées sont de la forme a(y)dy=b(x)dx et se résolvent en intégrant chaque membre.

• Résoudre :
  x*y′*ln(x)−(3*ln(x)+1)*y
  On a :
  dy/y=(3*ln(x)+1)dx/(ln(x)*x)=3/x+1/(ln(x)*x) et
  ln(y/k)=3*ln(x)+ln(ln(x))=ln(x³*ln(x))
  donc
  y=k*x³*ln(x)
  Avec Xcas
  On tape :
  normal(desolve(x*y’*log(x)-(3*log(x)+1)*y,y))
  On obtient :
  c_0*x^3*ln(x)
  
• Résoudre :
  y′=2*√y
  On a :
  dy/(2√) y=dx
  donc
  √y=x+k
  ou encore :
  y=(x+k)²
  Avec Xcas
  On tape :
  desolve(y’=2*sqrt(y),y)
  On obtient :
  [((2*x-c_0)^2)/4]

28.7  Équation non résoluble en y′

On sait résoudre si l’équation est :

• incomplète en x
  c’est à dire l’équation est de la forme F(y,y′)=0
• incomplète en y
  c’est à dire l’équation est de la forme F(x,y′)=0
• homogéne en x et y et non résoluble en y′
  c’est à dire l’équation est de la forme F(y/x,y′)=0 aprés division par une puissance convenable de x.
• de la forme y=x*y′+f(y′) c’est à dire est une équation de Clairaut : pour la résolution voir 28.8

On sait résoudre ces équations à condition de trouver un paramétrage de de la courbe F(X,Y)=0 par X=f(t),Y=g(t).
On pose alors :

• Équation incomplète en x
  y=f(t),dy/dx=g(t)
• Équation incomplète en y
  x=f(t),dy/dx=g(t)
• Équation homogéne en x et y et non résoluble en y′
  y/x=f(t),dy/dx=g(t)

• Résoudre :
  y²+y′²=1
  On pose :
  y′=t et y=√1−t² ou y=−√1−t²
  dy=−s*t*dt/√1−t² avec s=± 1
  dx=dy/t=−s*dt/√1−t²
  x=−s*  asin (t)+k avec k=cste donc
  s*x+k=  asin (t) et sin(s*x+k)=t
  y=s*√1−t² donc y=s*√1−sin(s*x+k)²=± cos(s*x+k)²)
  les solutions sont donc :
  [cos(x+k₁),−cos(x+k₂)]
• Résoudre :
  y²+y′²=1,y(0)=1/2
  si y(0)=1/2 on a k=pi/3 et cos(x+pi/3)=sin(pi/6−x)
  les solutions sont donc :
  [cos(x+pi/3)=sin(pi/6−x),−cos(x+2*pi/3)=sin(pi/6+x)]
  Avec Xcas
  On tape :
  desolve(y^2+y’^2=1,y)
  On obtient :
  [sin(-c_0+x),sin(-c_0-x)]
  On tape :
  desolve([y^2+y’^2=1,y(0)=1/2],y)
  On obtient :
  [sin(pi/6+x),sin(pi/6-x)]
  
• Résoudre :
  (y+y′)⁴+y′+3*y
  On pose :
  y+y′=2t ce qui donne :
  y=−t−8t⁴ et dy/dx=2t−y=3t+8t⁴ soit dx=dy/(3t+8t⁴)
  on a donc :
  dy/dt=−1−32t³ et dx=(−1−32t³)/(3t+8t⁴) dt
  On tape :
  int((-1-32*t^3)/(3*t+8*t^4),t)
  On obtient :
  (ln(1/(abs(t)^3*abs(8*t^3+3)^11)))/9
  donc
  x=−(ln(abs(t)³*abs(8*t³+3)¹1))/9+k et
  y=−t−8*t⁴
  Avec Xcas
  On tape :
  desolve((y+diff(y))^4+diff(y)+3*y,y)
  Mais on n’obtient pas de résultat.
• Résoudre :
  y′²=4*sqrt(y)
  On a :
  y′=2*y^1/4
  2*y^(3/4)/3=x+k Donc :
  y=(3(x+k)/2)^(4/3)=exp(4/3*ln(3(x+k)/2))
  Avec Xcas
  On tape :
  desolve((diff(y))^2=(4*sqrt(y)),y)
  On obtient :
  [exp(4*ln(((-48*c_0+96*x)^(1/3))/4)),...]

28.8  Équation de Clairaut

C’est une équation de la forme y=x*y′+f(y′) que l’on résout en posant y′=dy/dx=t. On a donc y=t*x+f(t),(x+f′(t))*dt=0.
Donc l’intégrale générale est t=m=cste et x=−f′(t),y=−t*f′(t)+f(t).
Cela définit une infinité de droites D_m d’équation y=mx+f(m) (m∈ ℝ) et l’intégrale singulière x=−f′(t),y=−t*f′(t)+f(t) qui est l’enveloppe des droites D_m.
Résoudre :
y−xy′=√a²+b²*y′²
On pose y′=dy/dx=t et f(t)=√a²+b²*t².
On a :
f′(t)=b²*t/√a²+b²*t²
donc comme solution les droites : y=m*x+√a²+b²*m²
et comme intégrale singulière :
x=−b²*t/√a²+b²*t²,y=−b²*t²/√a²+b²*t²+√a²+b²*t²
Avec Xcas
On tape :
desolve(y-x*diff(y)=sqrt(a^2+b^2*diff(y)^2),y)
On obtient :
[c_0*x+sqrt(a^2+b^2*c_0^2), [-((sqrt(a^2+b^2*‘ t‘^2)*‘ t‘*b^2)/(‘ t‘^2*b^2+a^2)), (sqrt(a^2+b^2*‘ t‘^2)*a^2)/(‘ t‘^2*b^2+a^2)]]
On peut dessiner les solutions avec Xcas, on tape :

assume(a=[1,0,5]);
assume(b=[1,0,5]);
assume(m=[1,-5,5]);
droite(y=m*x+sqrt(a^2+b^2*m^2));
plotparam(-b^2*t/sqrt(a^2+b^2*t^2)+
  i*(-b^2*t^2/sqrt(a^2+b^2*t^2)+sqrt(a^2+b^2*t^2)),t);