Théorème du point fixe

Soit $f$ est une application continue de $I$ dans $I$ ($I$ désigne un intervalle fermé de $\mathbb{R}$). Si $f$ est contractante ( $\exists k < 1,\ \forall x,\ y \in I \times I,\ \vert f(x)-f(y)\vert \leq k\vert x-y\vert$) alors $f$ admet un point fixe unique $a$ et la suite des itérées ( $u_0 \in I \ u_{n+1}=f(u_n)$) converge vers $a$.
Exemples : $f(x)=\cos(x)$ est contractante sur [0,1],
$\hspace*{1.8cm} f(x)=\tan(x)$ n'est pas contractante sur $[\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}]$
Si $f$ est contractante de rapport $k$ alors on a :

$$\vert u_{n+1}-l\vert \leq \frac{k}{1-k} \vert u_{n+1}-u_n\vert$$