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Arithmétique des polynômes.
Comme pour les entiers, on peut faire la division euclidienne de deux
polynômes et de degrés et , on obtient le quotient
de degré (si ) et le reste de degré
strictement inférieur à vérifiant l'égalité :
L'algorithme d'Euclide permet de calculer le PGCD de deux polynômes
exactement comme pour calculer le PGCD de deux entiers.
Algorithme de Bézout (dit aussi PGCD étendu): lorsque
deux polynômes et ont comme PGCD le polynôme ,
il existe deux polynômes et tels que :
Exercice 1 (à rendre à la fin de la 1ère séance de TP) :
Application à la recherche de racines multiples.
Rappel : Si est une racine de mulitplicité de , alors
est une racine de multiplicté de , de ,
etc. En particulier si et sont premiers entre eux,
toutes les racines de sont de multiplicité 1.
On considère le polynôme
Calculer avec un logiciel de calcul formel et , le PGCD de et
et le PGCD de et . En déduire que admet un facteur
de multiplicité 3 et un facteur de multiplicité 2.
Exercice 2 (à rendre à la fin de la 1ère séance de TP) :
Application au calcul de l'intégrale :
On factorise le dénominateur de la fraction sous la forme
. Déterminer avec un logiciel de calcul
formel deux polynômes et
tels que :
en déduire que l'intégrale de départ vaut :
calculer ces intégrales en expliquant quels calculs intermédiaires
vous avez effectués avec le logiciel.
Exercice 3 (à rendre au début de la 3ème séance de TP) :
Application au calcul de l'intégrale
Effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur
pour se ramener à l'intégrale d'une fraction dont le
numérateur est de degré inférieur au dénominateur.
Soit , calculer et le PGCD de et , en déduire
qu'il existe des polynômes et tels que:
calculer ces deux polynômes avec un logiciel.
On décompose alors l'intégrale en deux morceaux :
Faites une intégration par parties sur le deuxième terme
et en déduire la valeur de l'intégrale du départ.
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2003-02-19