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\newtheorem{rem}{Remarque}
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\newtheorem{exo}{Exercice}[section]

\title{TP de math\'ematiques.}

\author{Licence 2-Mat 237}
\date{2013/4}

\makeindex

\begin{document}
\topmargin -1 cm
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\textwidth 16.5cm \columnsep 10pt \columnseprule 0pt

%\maketitle
\noindent L3-M\'ethodes num\'eriques \hfill {\bf TP} \hfill UGA

\vspace{1cm}

%\tableofcontents
Nous utiliserons Xcas qui est un logiciel de calcul formel, capable
de faire du calcul litt\'eral mais aussi du calcul
num\'erique exact et approch\'e en simple ou en multi-pr\'ecision ou 
avec de l'arithm\'etique d'intervalles, alors que la plupart des logiciels de calcul scientifique
font du calcul num\'erique approch\'e en simple pr\'ecision.

Pour utiliser Xcas sur votre ordinateur personnel, vous pouvez soit
ouvrir un navigateur compatible (Firefox de pr\'ef\'erence)~:\\
\verb|www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html|\\
soit l'installer en suivant les instructions ici~:\\
\verb|www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/install_fr.html|\\
Lors de la
premi\`ere utilisation, choisissez {\tt Xcas} lorsqu'on vous demande
de choisir une syntaxe (sauf si vous connaissez le langage Maple).
Vous pouvez ensuite cliquer sur Oui pour faire 
apparaitre le tutoriel dans le navigateur, ou le retrouver
depuis le menu Aide, Debuter en calcul formel.

Si le tutoriel n'est pas charg\'e dans le navigateur, 
vous pouvez l'ouvrir depuis le menu Aide, Debuter en calcul formel.
Suivez les instructions donn\'ees dans la section Pour commencer
et la section Les objets du calcul formel.
Ensuite vous pouvez continuer la lecture du tutoriel ou passer 
aux exercices du TP, en revenant au tutoriel ou en consultant
le menu Outils, le menu Cmds, ou l'aide
de Xcas pour trouver les bonnes commandes. 
Si vous devez
r\'e-utiliser un r\'esultat, donnez-lui un nom de variable
(par exemple \verb|a:=...|).
Pour lib\'erer une variable de son contenu, utiliser \verb|purge()|.

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire le polyn\^ome $(x+3)^7 \times (x-5)^6$ selon les puissances
d\'ecroissantes de $x$.

\item Simplifier les expressions suivantes:
\[ \quad \sqrt{3+2\sqrt{2}},
\quad \frac{1+\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}, \quad
e^{i\pi/6}, \quad 4\mbox{atan}(\frac{1}{5})-\mbox{atan}(\frac{1}{239}) \]

\item Factoriser~:
\[ x^{4}+x^{3}-2x^{2}-3 x-3, \quad x^6-2x^3+1, \quad (-y+x)z^2-xy^2+x^2y \]

\item D\'eterminer la valeur exacte et approch\'ee de~:
\[\int _1^2\frac{1}{(1+x^2)^3}, \quad  \int _1^2 \frac{1}{x^3+1} \ dx 
\quad \int_0^1 e^{-x^2} \ dx\]

\item Calculer les sommes suivantes~:
\[\sum_{k=1}^N k,\quad \sum_{k=1}^N k^2,\quad \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\]

\item Calculer le d\'eveloppement de Taylor en $x=0$ \`a l'ordre 4
de:
\[ \ln(1+x+x^2),\quad
\frac{\exp(\sin(x))-1}{x+x^2} , \quad \sqrt{1+e^{x}}, \quad
\frac{\ln(1+x)}{\exp(x)-\sin(x)} \]
Repr\'esenter sur une m\^eme figure le graphe de l'une de ces
fonctions et de son d\'eveloppement de Taylor.

\item D\'eterminer le plus grand r\'eel positif $x$ de la forme 
$2^{-n}$ ($n$ entier)
tel que $(1.0+x)-1.0$ renvoie 0 sur PC avec la pr\'ecision par
d\'efaut puis avec \verb|Digits:=30| (modifiez auparavant
\verb|epsilon| \`a 0 dans la configuration du CAS).

\item Calculer la valeur de $a:=\exp(\pi \sqrt{163})$ avec 30 chiffres
significatifs, puis sa partie fractionnaire. Proposez une commande
permettant de d\'ecider si $a$ est un entier, on pourra utiliser
l'arithm\'etique d'intervalles.

\item 
D\'eterminer la valeur et le signe de la fraction rationnelle 
\[ F(x,y)= \frac{1335}{4} y^6 + x^2 (11x^2 y^2-y^6 -121y^4-2) + 
\frac{11}{2} y^8 + \frac{x}{2y}\]
en $x=77617$ et $y=33096$ en faisant deux calculs, l'un en mode approch\'e et 
l'autre en mode exact. Que pensez-vous de ces r\'esultats?
Combien de chiffres significatifs faut-il pour obtenir un r\'esultat
raisonnable en mode approch\'e?


\item R\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire:
\[ \left\{ \begin{array}{lllllll}
 x &+& y &+& az&=&1\\
 x & +& a y&+& z&=&2 \\
 ax & +&y &+& z&=&3 
\end{array}\right. \]
Discuter selon les valeurs de $a$.

\item D\'eterminer l'inverse de la matrice~:
\[ A=\left(\begin{array}{llll}
 1 & 1 & 1 & a \\
 1 & 1 & a & 1 \\
 1 & a & 1 & 1 \\
 a & 1 & 1 & 1
\end{array}\right)\]
Diagonaliser la matrice $A$.

\item Cr\'eez une matrice $A$ de taille $n$ dont le coefficient 
est $a_{i,j}=1/(i+j)$. M\^eme question pour la matrice dont les
coefficients sont $1/(i+j)$ si $|i-j|\leq 1$ et 0 sinon.

\item Voici un programme qui calcule la base utilis\'ee
pour repr\'esenter les flottants. 
\begin{verbatim}
Base():={
  local A,B;
  A:=1.0; B:=1.0;
  while (evalf(evalf(A+1.0)-A)-1.0=0.0) { A:=2*A;};
  while (evalf(evalf(A+B)-A)-B<>0) { B:=B+1;}
  return B;
} :;
\end{verbatim}
Testez-le et expliquez.


\end{enumerate}

\end{document}

