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\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{defn}{Definition}

\begin{document}
\noindent Mat249 \hfill Corrigé examen \hfill session 1

\vspace{1cm}

{\bf Exercice 1}\\
En remplaçant $x$ par 0, 1, 2 puis 4, on obtient le système linéaire~:
\[ \left\{
\begin{array}{ccccccccc}
  &  &  &    &   &   & d & = & 7 \\
a &+ & b & + & c & + & d & = & 3 \\
2^3 a & + & 2^2 b & + & 2c & + &d &=& -4 \\
4^3 a & + & 4^2 b & + & 4c & + & d & = & 6 
\end{array}
\right. \]
On peut le résoudre en réduisant la matrice du système
\[ 
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 1 & 7\\
1 & 1 & 1 & 1 & 3\\
8 & 4 & 2 & 1 & -4\\
64 & 16 & 4 & 1 & 6
\end{array}\right) \]
par l'instruction \verb|rref| ou \verb|RREF| (selon la calculatrice).
On obtient 
\[ 
\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 11/8 \\
0 & 1 & 0 & 0 & (-45)/8 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/4 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 7
\end{array}\right) \]
donc $a=11/8$, $b=-45/8$, $c=1/4$ et $d=7$, d'où
\[ P=\frac{11}{8}x^3-\frac{45}{8} x^2 + \frac{1}{4}x +7 \]
On peut vérifier sur certaines calculatrices avec l'instruction 
\verb|LAGRANGE|.

\vspace{1cm}

{\bf Exercice 2}\\
\begin{enumerate}
\item On a~:
\[ e^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}, \quad
e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{t^{2n}}{n!} \]
le deuxième se déduisant du premier en remplaçant $t$ pat $-t^2$.
Il s'agit de séries entières de rayon de convergence $+\infty$, on
peut donc intégrer terme à terme et on a pour tout $x\in [0,1]$~:
\[ F(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^x t^{2n}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]
Le terme général de cette série est le produit de $(-1)^n$ qui
est de signe alterné par $a_n=x^{2n+1}/(n! (2n+1))$ qui est positif,
majoré par $1/(n!(2n+1))$ pour $x\in[0,1]$ donc de limite 0.
De plus $a_n$ décroit car~:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{x^2}{n+1} \frac{2n+1}{2n+3} < 1\]
Donc la série est alternée. \\
Si $S_k$ désigne la somme partielle
jusque $k$ de la série, on peut donc majorer le reste $F(x)-S_k$
par la valeur absolue du premier terme non sommé~:
\[ |F(x)-S_k| \leq |a_{k+1}| \leq \frac{1}{(k+1)!(2k+3)} \]
Pour avoir $F(1)$ à $10^{-4}$ près, il suffit que
\[ \frac{1}{(k+1)!(2k+3)} \leq 10^{-4} \]
En testant pour $k=1,2,3,...$ on trouve que la première valeur de $k$ 
qui convient est
$k=6$. Le calcul de $S_6$ donne alors 0.746836... qui est une valeur
approchée de $F(1)$ à $10^{-4}$ près.

\item En appliquant Simpson sur une subdivision, on obtient~:
\[ \frac{1}{6}(f(0)+4f(0.5)+f(1)) \approx 0.747180... \]
Sur 10 subdivisions, on obtient~:
\[ 
\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{9} \left( f(\frac{k}{10})+4f(\frac{k/10+(k+1)/10}{2})
+ f(\frac{k+1}{10}) \right)
\approx 0.746824183875
\]

\item On calcule les dérivées à la calculatrice, on obtient
\[
f^{[4]}(t)=4\* (4\* t^{4}+-12\* t^{2}+3)\* e^{-(t^{2})} \quad
f^{[5]}(t)=(-(8\* (4\* t^{4}+-20\* t^{2}+15)\* t))\* e^{-(t^{2})}
\]
On peut donc mettre $f^{[4]}(t)$ sous la forme $P(t^2)e^{-t^2}$
avec $P(x)=4(4x^2-12x+3)$ et $f^{[5]}(t)$ sous la forme
$tQ(t^2)e^{-t^2}$ avec $Q(x)=-8(4x^2-20x+15)$.
\item On calcule les racines du polynôme $Q$ de degré 2 
en utilisant la fonction \verb|solve| ou \verb|SOLVE|,
ce sont $x_1=(-\sqrt{10}+5)/2$ et $x_2=(\sqrt{10}+5)/2$ qui
sont positifs. On s'intéresse à $t \in [0,1]$ donc $x=t^2 \in [0,1]$,
on a $x_1<1$ et $x_2>1$.
Le signe de $Q(t^2)$ est donc négatif sur $[0,\sqrt{x_1}]$ et positif
sur $[\sqrt{x_1},1]$, de m\^eme pour le signe de $f^{[5]}$.
\item Donc $f^{[4]}$ décroit sur $[0,\sqrt{x_1}]$ et croit sur
$[\sqrt{x_1},1]$. On calcule $f^{[4]}(0)=12$, $f^{[4]}(1)=-20/e \approx -7.36$
et
\[ f^{[4]}(\sqrt{x_1})=P(x_1)e^{-x_1}
=(-16\sqrt{10}+32) e^{-(-(\sqrt{10})+5)/2} \approx -7.42 \]
Le maximum en valeur absolue de $f^{[4]}$ est égal au maximum des
valeurs absolues des 3 nombres précédents, c'est donc 12.
Finalement~:
\[ |F(1)-S(h)| \leq \frac{1}{2880} |f^{[4]}(\xi)| h^4
\leq \frac{1}{2880} 12 h^4 =\frac{h^4}{240}\]
\item Pour $h=1$, l'erreur est donc majorée par $1/240 \approx 4e-3$,
pour $h=0.1$, elle est majorée par $10^{-4}/240 \approx 4e-7$.
Pour avoir une erreur plus petite que $10^{-4}$ il suffit que
\[ \frac{h^4}{240}\leq 10^{-4} \]
soit 
\[ h \leq 10^{-1} 240^{1/4} \approx 3.94e-1 \]
Comme $1/h$ est un entier (c'est 
le nombre de subdivisions de l'intervalle $[0,1]$), on en déduit
que $h=1/3$ (3 subdivisions)
donne une valeur approchée de $F(1)$ à $10^{-4}$ près.
\item La majoration 
\[ |F(x)-S(h)| \leq \frac{h^4}{240}\]
reste valable, car $\xi \in[0,x] $ donc $\xi \in [0,1]$ (la majoration
sur la dérivée quatrième est donc valide) et la taille de l'intervalle
est $x \leq 1$. On peut donc conserver $h=1/3$. Pour avoir une valeur
approchée à $10^{-12}$ près, le calcul donne $h=1/255$.
\item Le développement en séries entières est le plus efficace,
car on n'a pas besoin de calculer beaucoup de termes dans le
développement, même pour une précision de
$10^{-12}$ (il faut alors prendre $k=14$), et chaque terme calculé
ne fait intervenir que des produits et des divisions. Par contre
Simpson à $10^{-12}$ nécessiterait de calculer 511 valeurs
de la fonction $f$, qui nécessitent pour chacun le calcul d'une
exponentielle ce qui est plus couteux!
\end{enumerate}

\end{document}
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%%% End: 
