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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence 2, Mat249                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2006/2007           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
%  {\Large\bf Mathématique assistées par ordinateur} \\
  Examen du 16 mai 2007, de 12h30 à 15h30. \\
  \it Documents et calculatrices autorisés.\\
  Ce sujet comporte 2 pages, les deux exercices sont indépendants. \\
{\bf Les calculatrices emprunt\'ees devront \^etre rendues en B118
  \`a l'issue de l'examen.}
\end{center}


\vspace{0.5cm}

\section{Int\'egrale de Dawson}
Le but de ce probl\`eme est de calculer pour $x$ donn\'e une
approximation de l'int\'egrale dite de Dawson, d\'efinie par~:
\[ (E) \quad \quad \quad
 D(x)= \exp(-x^2) \int_0^x  \exp(t^2) \ dt  
\]
o\`u $\exp$ d\'esigne la fonction exponentielle.

Les deux parties proposent chacune une m\'ethode de calcul
et sont ind\'ependantes.

\subsection{Par la m\'ethode des s\'eries enti\`eres}
\begin{enumerate}
\item Rappeler le d\'eveloppement de Taylor $T_n$ \`a l'ordre $n$ 
de $\exp(t)$ en $t=0$, donner une majoration du reste $R_n$ pour $t
\geq 0$.
\item En d\'eduire que $\exp(t^2)$ est la somme d'un polyn\^ome $P_n$
en $t$ de degr\'e $2n$ et d'un reste que l'on pr\'ecisera.
En int\'egrant par rapport \`a $t$, montrer que
\[ D(x)= \exp(-x^2) (Q_n(x) +S_n(x))\]
o\`u $Q_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $2n+1$ et $S_n$ un reste 
dont on d\'eterminera un majorant en valeur absolue.
\item On suppose maintenant que $x\in[-1,1]$.
Trouver une valeur de $n$ telle que $|S_n(x)| < {\tt 1e-5}$.
\item Donner une valeur approch\'ee de $D(x)$ avec une erreur absolue
inf\'erieure \`a {\tt 4e-6} pour $x\in [-1,1]$
(on justifiera). Faire l'application 
num\'erique pour $x=1$.
\end{enumerate}

\subsection{Par la m\'ethode du point milieu ou de Simpson}

On suppose dans cette partie que $x\in[0,1]$.
On note~:
\[ f(t)=\exp(t^2) \]
\begin{enumerate}
\item Calculer la d\'eriv\'ee seconde de $f$. D\'eterminer son maximum
sur $[0,x]$ en fonction de $x$ puis un majorant de ce maximum
ind\'ependant de $x$ lorsque $x\in [0,1]$.
\item On veut approcher l'int\'egrale de l'\'equation
$(E)$ pour $x=1$
par la m\'ethode du point milieu.
Rappeler la formule donnant la valeur
approch\'ee de l'int\'egrale par la m\'ethode du point milieu.
On souhaite obtenir une approximation avec une erreur absolue
inf\'erieure \`a {\tt 0.1}.
D\'eterminer le nombre $N$ de subdivisions et le pas $h$ de chaque
subdivision qu'il faut prendre pour r\'ealiser cette approximation.
\item En d\'eduire une valeur approch\'ee de $D(1)$ avec une erreur absolue
inf\'erieure \`a {\tt 0.04} (on justifiera).
\item Montrer qu'en conservant des subdivisions de pas inf\'erieur ou
  \'egal \`a $h$, on obtient une
valeur approch\'ee de $D(x)$ avec une erreur absolue inf\'erieure \`a
{\tt 0.04} pour tout $x\in [0,1]$.
\item Calculer la d\'eriv\'ee quatri\`eme de $f$ puis son maximum
sur $[0,1]$. En d\'eduire le nombre de subdivisions qu'il faut
prendre pour trouver une valeur approch\'ee de $D(x)$ par la m\'ethode
de Simpson avec une erreur
absolue inf\'erieure ou \'egale \`a {\tt 4e-6} pour tout
$x\in[-1,1]$.
\end{enumerate}

Parmi les m\'ethodes propos\'ees pour calculer $D(x)$
dans ces deux parties, quelle est celle
qui vous parait le plus efficace~? (justifiez).

\vspace{0.1cm}

\hfill {\em \Large T.S.V.P.} 

\pagebreak

\section{Polyn\^omes}
Soit $f(x)=1/(x+2)+x^3-1$ d\'efinie pour $x\in[0,2]$. 
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer $P_0$
le polyn\^ome d'interpolation de $f$
au point d'abscisse 0, puis $P_1$ le polyn\^ome d'interpolation
de $f$ en 0 et 1 en utilisant $P_0$, 
puis $P_2$ le polyn\^ome d'interpolation de $f$ en 0, 1 et 2 
en utilisant $P_1$.
\item Montrer que
 \[ u_0= \frac{53+\sqrt{6313}} {146}\] 
est l'unique solution de $P_2(x)=0$ comprise entre 0 et 2.
\item Calculer $f'$ et $f'{'}$. Quel est le signe de $f'{'}$ sur
$[0,2]$~? Montrer que $f$ admet une racine unique $r$ dans $[0,2]$.
\item D\'eterminer le signe de $f(u_0)$ et de $f'(1/2)$.
En d\'eduire qu'on peut
appliquer la m\'ethode de Newton pour r\'esoudre $f(x)=0$ 
en utilisant $u_0$ comme valeur
initiale de la suite r\'ecurrente $(u_n)$ de la m\'ethode de Newton.
\item Calculer $u_3$, donner une majoration de $|u_3-r|$.
\end{enumerate}

\end{document}


