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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence 2, Mat249                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2006/2007           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
%  {\Large\bf Mathématique assistées par ordinateur} \\
  Contrôle continu du 16 mars 2007, de 8h à 10h. \\
  \it Documents et calculatrices autorisés.
  Les deux exercices sont indépendants.
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\section{Exponentielle moins 1 et erreurs}
\begin{enumerate}
\item Comparer $f(x)=\exp(2x)-2\exp(x)+1$ et $g(x)=(\exp(x)-1)^2$ 
pour $x \in \R$ (o\`u $\exp$ d\'esigne la fonction exponentielle).
\item Calculer \`a la calculatrice 
de mani\`ere approch\'ee les deux expressions ci-dessus 
sous cette forme lorsque $x={\tt -1e-8}$.
\item On suppose maintenant que $x \in [-0.1,0[$ et on effectue des
calculs exacts. Calculer la
d\'eriv\'ee troisi\`eme de $f$, en d\'eduire qu'il existe une
constante $C$ que l'on calculera, telle que
\[ |f(x)-x^2| \leq C x^3 \] 
En d\'eduire que $x^2$ est une valeur approch\'ee de $f(x)$,
donner une majoration de l'erreur absolue puis de l'erreur relative
commise.
\item On suppose toujours que $x \in [-0.1,0[$ et qu'on effectue
des calculs exacts.
Montrer que $x$ est une valeur approch\'ee de $\exp(x)-1$ avec
une erreur relative que l'on d\'eterminera.
En d\'eduire que $x^2$ est une valeur approch\'ee de $g(x)$ avec
une erreur relative que l'on d\'eterminera.
\item Quelle est la plus pr\'ecise des deux valeurs calcul\'ees
\`a la question (2)~?
Expliquer pourquoi.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\section{Méthode du point fixe et de Newton}
Dans cet exercice, on va r\'esoudre l'\'equation
\begin{equation} \label{eq:1}
 \sin(x^2)+1/6=x, \quad x \in [0,\frac{1}{3}] 
\end{equation}
par la m\'ethode du point fixe, puis par la m\'ethode de Newton.
On pose~:
\[ f(x)=\sin(x^2)+1/6 \]

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'$, montrer que $f$ est contractante sur l'intervalle
$[0,1/3]$ et donner une valeur pour la constante de contractance.
\item Montrer qu'il existe une unique solution $r$ \`a l'\'equation
(\ref{eq:1}). 
\item Combien de termes de la suite r\'ecurrente $u_{n+1}=f(u_n), \
  u_0 \in [0,1/3]$ faut-il calculer pour \^etre
s\^ur d'avoir une valeur approch\'ee de $r$ \`a ${\tt 1e-2}$ pr\`es~?
En d\'eduire une valeur approch\'ee de $r$  \`a ${\tt 1e-2}$ pr\`es.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On réécrit l'équation (\ref{eq:1})
sous la forme $F(x)=0$ où $F(x)=f(x)-x$.
\begin{enumerate}
\item On applique la m\'ethode de Newton pour r\'esoudre l'\'equation
(\ref{eq:1}), on construit donc une suite r\'ecurrente~:
\[  v_{n+1}=g(v_n) \]
D\'eterminer la fonction $g$.
\item Calculer $F'{'}$ et d\'eterminer son signe sur $[0,1/3]$,
on pourra montrer que 
\begin{center}
$\cos(x^2) \geq \cos(1/9)$ et $- x^2 \sin(x^2) \geq -1/9 \sin(1/9)$ 
 si $x\in [0,1/3]$
\end{center}
\item Donner une valeur de $v_0$ telle que la suite définie ci-dessus
converge vers $r$ (on justifiera la convergence en montrant que
les hypoth\`eses de l'un des th\'eor\`emes du cours s'appliquent).
\item Calculer $v_2$ pour cette valeur de $v_0$, puis donner
une majoration de $|v_2-r|$ en utilisant une valeur approch\'ee
de $F(v_2)$ d\'etermin\'ee \`a la calculatrice.
\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}


