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\def\eps{\varepsilon}

\def\hth{\widehat{\theta}}
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\def\ima{\mathrm{Im}}

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\newcommand{\Q}{\mathbb Q}

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\newcommand{\espprob}{(\Omega, {\cal F}, P)}
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\newcommand{\vas}{variables al\'eatoires }
\newcommand{\Vas}{Variables al\'eatoires }
\newcommand{\cov}{\hbox{cov}}
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\def\card{\mathrm{card}\,}

\newcommand{\tran}[1]{\,{}^{t}\!#1}
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\def\bexer{\begin{exer}\begin{em}}\def\eexer{\end{em}\end{exer}}
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#1 \\#2\end{array}\right)}
\begin{document}

\noindent Mod. num. \hfill Interpolation et approximation polyn\^omiale
\hfill {L3 2015/2016}

\bexer
Déterminer le polynôme d'interpolation passant par les points\\
$(1,3), (2,2), (4,1), (5,4), (6,3)$\\
en exécutant à la main l'algorithme des différences divisées.
Calculer sa valeur en 3.
Programmer l'algorithme des différences divisées et d'évaluation
rapide en un point.
\eexer

\bexer
D\'eterminer la droite de r\'egression lin\'eaire approchant les
points\\ $(1,3),(2,5),(3,6),(4,7),(5,7),(6,10), (10,15)$\\
Faites de m\^eme en enlevant le point d'abscisse 10, et comparer
l'extrapolation de la droite au point avec la valeur de l'ordonn\'ee
15. Faites de m\^eme en utilisant un polyn\^ome de degr\'e 3.
\eexer

\bexer
On cherche à approcher la fonction $f(x)=\sin(\pi x)$ sur $[-1,1]$ par
un polynôme.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $f(k/6)$ pour $k \in [-6,6]$
puis une valeur approchée.
\item Déterminer le polynôme de Lagrange correspondant à ces 13 points,
puis une majoration de l'erreur commise, en fonction de $x$, puis
uniforme. Représenter graphiquement l'erreur.
\item Faire le même calcul avec 7 points de Tchebyshev.
\end{enumerate}
\eexer

\bexer
On cherche à approcher la fonction \verb|erf| par un polynôme
sur des intervalles de $\R^+$. Près de 0, on
peut utiliser le développement de Taylor, près de l'infini son développement
asymptotique. Mais pour $x$ entre disons 1 et 10, aucun des deux
développements ne converge assez vite. Proposez une méthode
d'approximation basée sur une interpolation qui donne une précision
raisonnable (disons \verb|1e-8|).
\eexer

\bexer
Illustrer le phénomène de Runge avec la fonction $1/(1+25x^2)$ 
interpolée sur $[-1,1]$ par de plus en plus de points équidistants.
Véifiez qu'il ne se produit pas en prenant des points de Tchebyshev.
\eexer

\bexer
Déterminer le polynôme d'interpolation aux points 
$(a,f(a)), (\frac{a+b}{2},f(\frac{a+b}{2})), (b,f(b))$. 
Calculer et factoriser son intégrale entre $a$ et $b$
(formule de Simpson).
\eexer

\bexer
\begin{enumerate}
\item Calculer le polynôme caractéristique d'une matrice de taille $n$ 
en utilisant l'interpolation du déterminant en $0,...,n$
(écrire un programme et l'exécuter pour une matrice aléatoire de taille
100 par exemple).
\item
Combien d'opérations (en fonction de $n$) faut-il effectuer 
pour déterminer ce polynôme (on suppose le calcul du déterminant
en une valeur de $\lambda$ fait numériquement)~?
\item
Tester ensuite la factorisation du polynôme caractéristique pour
une matrice de taille pas trop petite (aléatoire ou matrice
companion d'un polynôme) et comparer avec \verb|egvl|. 
Est-ce
une bonne idée de calculer les racines du polynôme caractéristique
pour diagonaliser une matrice~?
\end{enumerate}
\eexer

\bexer
On consid\`ere le produit scalaire $ f.g = \int_{-1}^1 f(t) g(t) dt $
sur les fonctions continues de $[-1,1] \rightarrow \R$.
Construire une base orthonormale de 5 polyn\^omes de degr\'e 0, 1, 2, 3 et 4.
Soit $P$ le projet\'e de la fonction $f(x)=\ln(2+x)$ sur cette base, 
repr\'esenter $P$ et $f$ sur le m\^eme graphe. Quelle est la distance
de $f$ \`a l'espace des polyn\^omes de degr\'e $\leq 4$~?
\eexer

\bexer
D\'eterminer la meilleure approximation lin\'eaire sur $[0,1]$ de
$f(x)=x^5+x^3$
au sens de la norme $L^\infty$ puis au sens de la norme $L^2$.
\eexer

\bexer
On donne les points $(0,2), (1,1), (2,2/3), (3,1/2), (4,1/3),
(10,1/10)$.
Chercher des fonctions approchant au mieux ces points au sens
des moindres carr\'es. Comparer les erreurs.
\eexer

\bexer
On veut \'editer une table de cosinus en degr\'es qui permette de d\'eterminer la
valeur de $\cos$ par interpolation lin\'eaire entre deux valeurs
successives du tableau avec une erreur d'au plus \verb|1e-6|.
Combien d'entr\'ees sont-elles n\'ecessaires dans la table~?
\eexer

%\pagebreak

%\

\end{document}
