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#1 \\#2\end{array}\right)}
\begin{document}

\noindent M\'ethodes num\'eriques \hfill Int\'egration
\hfill {L3 2017/2018}

\bexer
On veut illustrer le fait que pour une méthode d'ordre $n$ et une
fonction $f$ de classe ${\cal C}^{n+1}$, il existe une constante $C$
telle que l'erreur $E_N$ de la m\'ethode pour $N$ subdivisions
est $\leq \frac{C}{N^{n+1}}$.
On prend $f=\cos$ et on approche $\int_0^2 \cos(x) dx=\sin(2)$
par la m\'ethode des trap\`ezes et de Simpson. 

Calculer l'erreur $E_N$ pour $N\in\{2,2^2,\ldots,2^{10}\}$ 
pour les méthodes des trapèzes et de Simpson et 
représenter graphiquement
$(\log(N),-\log(E_N))_{N\in\{2,2^2,\ldots,2^{10}\}}$
(avec Xcas, on pourra utiliser les instructions \verb|scatterplot|
et \verb|linear_regression_plot|).
Commenter ce que vous obtenez. Pour la m\'ethode de Simpson avec Xcas,
testez en calculant avec 20 chiffres de pr\'ecision
et expliquez la diff\'erence avec 14 chiffres.

M\^eme question pour $\int_0^3 \cos(x) e^{\sin(x)}$.
\eexer

\bexer
On souhaite approcher par la m\'ethode de Simpson~:
\[ K = \int_0^{\pi/2} f(x) \ dx, \quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-
    \frac{1}{4} \sin(x)^2}} \]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate} 
\item Calculer et simplifier la d\'eriv\'ee d'ordre 4 $f_4$ de $f$
  (faire les calculs \`a la machine).
\item Conjecturer
un majorant de $|f_4|$ sur $[0,\pi/2]$ \`a l'aide d'une
repr\'esentation graphique de $f_4$ sur cet intervalle. On notera $M_4$
ce majorant.
\item Calculer et simplifier la d\'eriv\'ee 5-i\`eme de $f$, montrer que $f_5$
s'annule si et seulement si $x=0,\pi/2$ ou si $\cos(x)$ est racine du
polyn\^ome $P$ de degr\'e 8 que l'on d\'eterminera
%\[ P(X)=X^8-408X^6+6834X^4-18432X^2+8181\]
\item D\'eterminer une valeur approch\'ee
des racines de $P$ sur $[0,1]$ 
(par exemple \`a l'aide de \verb|solve|)
puis donner une valeur approch\'ee du(des) $x$ correspondant(s). 
\item Calculer $f_4(0)$, $f_4(\pi/2)$ et $f_4(x)$ pour ces racines,
en d\'eduire une preuve de la majoration de $|f_4|$ par $M_4$.
\end{enumerate}
\item Combien de subdivisions faut-il pour \^etre sur
que la m\'ethode de Simpson renvoie $\tilde{K}$
une valeur approch\'ee de $K$ avec une pr\'ecision
inf\'erieure \`a \verb|1e-8|~? Calculer $\tilde{K}$.
\end{enumerate}
\eexer

\bexer
On s'int\'eresse \`a une formule de quadrature
obtenue en interpolant sur une subdivision
\'el\'ementaire $[\alpha,\alpha+h]$ en 5 points r\'eguli\`erement
r\'epartis~:
$$ I(f)=\sum_{i=0}^4 w_i f(x_i), \quad 
x_i=\alpha+\frac{ih}{4} $$
\begin{enumerate}
\item Calculer les coefficients $w_i$ par une ou plusieurs m\'ethodes~:
\begin{itemize}
\item On consid\`ere le polyn\^ome d'interpolation $P$ en les
  $(x_i,y_i)$.
D\'eterminer avec un logiciel de calcul formel la valeur de \verb|int(P,x,a,a+h)| 
%\begin{center}
%\verb|P:=lagrange([a,a+h/4,a+h/2,a+3h/4,a+h],[y0,y1,y2,y3,y4])|
%\end{center}

\item Calculer la valeur de
  $I(1),I(x),I(x^2),I(x^3),I(x^4)$, en d\'eduire un syst\`eme
  lin\'eaire v\'erifi\'e par les $w_i$, le r\'esoudre.
\item
Calculer
$\int_\alpha^{\alpha+h} \prod_{j\neq k} (x-(\alpha+hj/4))$
pour $k=0,1,2$.
\end{itemize}
En d\'eduire la formule de quadrature $I(f)$ sur $[a,b]$ de pas
$h=(b-a)/N$.
\item Ordre et erreur~:\\
D\'eterminer le plus petit $n$ tel que la formule
  d'int\'egration ne soit plus exacte pour $x^n$ et
en d\'eduire l'ordre de cette formule.
%Quel est son noyau de P\'eano~?
Donner une majoration de l'erreur pour $f$ suffisamment 
r\'eguli\`ere. Appliquer \`a $f(x)=\exp(-x^2)$ sur $[0,2]$ pour
d\'eterminer une valeur approch\'ee \`a \verb|1e-10| pr\`es
de l'int\'egrale (justifier le nombre de subdivisions $N$ \`a prendre).
%Calculer \`a la machine $f^{[6]},
%  f^{[7]}$, en d\'eduire une majoration de $|f^{[6]}|$ sur $[0,2]$
%D\'eterminer un nombre de subdivisions $N$ telle que 
%$|\int_0^2 f(x) dx-I(f)| \leq \varepsilon $.
%En d\'eduire.
\end{enumerate}
\eexer

%\pagebreak


\bexer
On utilise la m\'ethode d'int\'egration suivante sur une subdivision
$[\alpha,\beta]$ (par interpolation en 2 points bien choisis)~:
\[ I(f)= (\beta-\alpha) \left(
\frac{1}{2} f\left(\frac{1+\sqrt{1/3}}{2}\alpha+\frac{1-\sqrt{1/3}}{2}\beta\right)
+ \frac{1}{2}
f\left(\frac{1-\sqrt{1/3}}{2}\alpha+\frac{1+\sqrt{1/3}}{2}\beta\right)
\right)
\]
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'ordre de cette m\'ethode, en d\'eduire une majoration
de l'erreur. 
\item Programmer le calcul de
$\int_a^b f(t) \ dt$ en d\'ecoupant l'intervalle $[a,b]$ en $N$
subdivisions. 
\item D\'eterminer $N$ pour avoir une valeur approch\'ee
de l'int\'egrale \`a \verb|1e-8| pr\'es pour $f(x)=1/(1+x^2)$,
$a=0$ et $b=1$.
\item Expliquez le choix des points d'interpolation.
\item Donner une formule d'ordre maximal qui \'evalue
$f$ en 7 points par subdivisions.
\end{enumerate}
\eexer

\bexer
Programmez et testez l'acc\'el\'eration de Richardson-Romberg,
en partant de la formule des trap\`ezes (ou du point milieu).
\eexer

%\vspace{2cm}

\bexer
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer une m\'ethode d'int\'egration sur $[-1,1]$ d'ordre 9
en interpolant en 5 points.
Comparer avec l'ordre de la m\'ethode obtenue si on prend 5 points
\'equir\'epartis.
\item Donner une majoration de l'erreur pour ces deux m\'ethode sur
  $[-1,1]$ puis sur $[\alpha,\beta]$.
\item Programmer cette m\'ethode pour calculer 
$\int_a^b f(t) \ dt$ en d\'ecoupant l'intervalle $[a,b]$ en $N$
subdivisions. 
\item D\'eterminer $N$ pour avoir une valeur approch\'ee
de l'int\'egrale \`a \verb|1e-12| pr\'es pour $f(x)=1/(1+x^2)$,
$a=0$ et $b=1$.
\end{enumerate}
\eexer


\bexer
Programmez une m\'ethode d'int\'egration num\'erique
\`a pas variable en utilisant deux m\'ethodes d'int\'egration,
et en estimant l'erreur de la m\'ethode d'ordre le plus faible
par la diff\'erence entre les deux m\'ethodes. Par exemple,
on pourra prendre Simpson
et une m\'ethode de Newton-Cotes en 5 points (m\'ethode emboit\'ees).
\eexer

%\pagebreak

%\

%\pagebreak

\bexer
Fonction p\'eriodique et formule des trap\`ezes.\\
Soit $f(x)=a_0+\sum_{k=1}^m a_k \cos(kx)+b_k\sin(kx)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I(f)=\int_0^{2\pi} f(x) \ dx$. Calculer $T_N(f)$, la valeur
obtenue en approchant $I(f)$ par la m\'ethode des
trap\`ezes pour $N$ subdivisions (pas de $h=2\pi/N$). 
En d\'eduire que pour $N>m$, alors $I=T_N(f)$.
\item Si $f$ est p\'eriodique et de classe $C^j, j>2$, que
peut-on dire de la d\'ecroissance de ses coefficients de Fourier~?
En d\'eduire que la m\'ethode des trap\`ezes approche
$I(f)$ avec une erreur en $O(N^{1-j})$.
\item Essayez de faire la m\^eme chose
pour une m\'ethode d'ordre plus \'elev\'e.
Quelle m\'ethode d'int\'egration semble judicieuse pour
int\'egrer une fonction p\'eriodique~?
\end{enumerate}
\eexer

\bexer Quadrature de type gaussien\\
On consid\`ere le produit scalaire 
$$<f|g>=\int_1^{+\infty} f(x)g(x) e^{-x} \ dx$$
Construire les 4 premiers polyn\^omes orthogonaux pour ce produit
scalaire, puis une formule d'int\'egration pour $\int f(t)e^{-t} \ dt$
qui soit exacte pour les polyn\^omes de degr\'e plus petit que 7.
Tester avec $t^5, t^6,e^{t/2}$.
\eexer

\bexer
Proposer une m\'ethode permettant de calculer 
avec une erreur d'au plus \verb|1e-4| la
valeur de $\int_{0.5}^{+\infty} e^{-t^3} \ dt$.
\eexer



\end{document}

\bexer
Une formule \`a $s$ points est d'ordre $\geq s$ ssi les
coefficients v\'erifient un syst\`eme de Vandermonde
par rapport aux abscisses.
\eexer

