Mat307 Feuille d’exercices 2: équations différentielles UGA
Exercice 1.
-
Résoudre l’équation différentielle suivante
- Tracer la solution et étudier son comportement en
−∞ et en +∞.
Exercice 2. Résoudre sur ]0,+∞[ l’équation différentielle
Exercice 3. Résoudre les équations différentielles suivantes
et discuter le comportement asymtotique des solutions pour
t→ +∞ (λ∈ℝ,
n∈ℕ, a∈ℝ)
a) x′=λ x,
b) x′=λ x+cos(t),
c) x′=atnx, |
Exercice 4. Soit n∈ℕ. On considère l’espace
vectoriel des polynômes V=ℝn[t] de degré ≤ n.
-
Montrer que l’application L:V→ V, P↦ P′−P
définit une bijection de V dans V. Déterminer l’application
réciproque L−1.
- Soit P un polynôme. Déterminer une primitive de
f(t)=P(t)e−t.
Exercice 5.
Résoudre l’équation différentielle à variables séparées :
Exercice 6.
-
La désintégration de 50 % de matière radioactive s’est
produite dans 30 jours. Dans combien de temps restera-t-il 1 % de
toute la quantité initiale?
- Selon les expériences, la désintégration annuelle du radium
est de l’ordre de 0.44 mg par gramme. En combien d’années la moitié
de toute la réserve de radium se désintègrera-t-elle?
Exercice 7.
- Résoudre l’équation différentielle x′=(x−a)(x−b) sur
ℝ où a > b sont des constantes.
Discuter le comportement des solutions lorsque t→ +∞.
- Résoudre l’équation différentielle x′=x2+a2 sur
ℝ.
- Résoudre l’équation différentielle x′=x2−10x+9 sur
ℝ avec la condition initiale x(0)=3.
Discuter le comportement des solutions lorsque t→ +∞.
Exercice 8. On considère les deux équations différentielles
dépendant de deux paramètres réels a et b
|
(E1) | x′=ax+b |
(E2) | x′=ax+bx2. |
|
Pour chacune d’elles
-
Déterminer les solutions stationnaires.
- Résoudre l’équation analytiquement et donner l’allure des solutions.
- Discuter le comportement des solutions lorsque t→ +∞.
Exercice 9. Résoudre les équations différentielles
a) x″+3x′+2x=0 b) x″+2x′+2x=0 c) x″+2x′+x=0 |
Discuter le comportement des solutions lorsque t→ +∞.
Mêmes questions en ajoutant au second membre cos(t).
Exercice 10 *(janvier 2015).
-
Donner la solution générale de l’équation différentielle
Les solutions sont-elles bornées lorsque t→ +∞ ?
- Soit a ∈ ]0,4[. Donner la solution générale
de l’équation différentielle
- Déterminer la solution de (E)
pour les conditions initiales x(0)=0, x′(0)=1/a.
-
Déterminer le maximum Ma de cette solution pour t≥ 0
en fonction de a.
- Quelle est la limite de Ma lorsque a tend vers 0 ?
Ce résultat est-il encore valide lorsqu’on fixe des
conditions initiales indépendantes de a (on pourra discuter
le comportement des solutions de x′′+ax′+4x=0
lorsque t → +∞) ?
Exercice 11 (juin 2016, circuit RLC).
On s’intéresse à l’équation différentielle
| | + R q′ + L q′′ = Ucos(ω t) (1) |
où R ≥ 0, L>0, C>0, U ≥ 0, ω>0 sont des constantes, t
le temps, q(t) la fonction inconnue
(la charge du condensateur du circuit RLC), q′=dq/dt, q′′=d2q/dt2
-
Quel est l’ordre de cette équation ? Est-elle linéaire ? À variables séparables ?
- On suppose dans cette question que R=0 et U=0,
on pose ω0=1/√LC.
Donner la solution générale de l’équation (1).
La solution est-elle bornée lorsque t → +∞ ?
- On suppose dans cette question que R=0 et U=1.
Donner la solution générale de l’équation (1) et
indiquer si la solution est bornée lorsque t →
+∞. On distinguera
les cas ω0 ≠ ω et ω0=ω.
- On suppose dans la suite que R>0.
Montrer que les racines de l’équation 1/C+Rx+Lx2=0
d’inconnue x sont deux réels strictement négatifs ou deux complexes
conjugués de partie réelle strictement négative.
En déduire la solution générale de l’équation (1) lorsque U=0
et déterminer sa limite lorsque t → +∞.
- On suppose toujours que R>0 mais maintenant U ≠ 0.
Déterminer une solution particulière de
la forme q(t)=Qeiω t, (Q ∈ ℂ, i2=−1) pour l’équation
| | + R q′ + L q′′ = Ueiω t (*)
|
Calculer q′=Ieiω t, I ∈ ℂ et en déduire une relation entre I et U
(loi d’Ohm complexe).
-
En déduire une solution particulière de (1) en prenant
la partie réelle de la solution trouvée pour (*).
Comparer les solutions de (1) avec cette solution
particulière lorsque t → +∞. Peut-on
négliger la condition initiale q(t0),q′(t0) lorsque t → +∞ ?
- Quel serait le comportement asymptotique des solutions
si R était strictement négatif ?
Exercice 12.
-
Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de
A = ().
-
Résoudre le problème de Cauchy
{
x′ = −2x − y |
y′ = −x − 2y
|
;
x(0) = a, y(0) = b.
- Tracer la courbe paramétrée t → (x(t), y(t)) pour a=1 et
b=0.
- Discuter le comportement des solutions du 2. lorsque t
→ +∞
- Trouver une solution particulière de
{
x′ = −2x − y + cos(t) |
y′ = −x − 2y + sin(t)
|
;
- Discuter le comportement des solutions du 5.
lorsque t → +∞
Exercice 13.
-
Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de
A = ().
-
Résoudre le problème de Cauchy
{;
x(0) = a, y(0) = b.
- Tracer la courbe paramétrée t → (x(t), y(t)) pour a=4 et b=0.
Exercice 14.
-
Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de
A = ().
-
Résoudre le problème de Cauchy
{;
x(0) = a, y(0) = b.
- Tracer la courbe paramétrée t → (x(t), y(t)) pour a=1 et b=1.
Exercice 15 (juin 2015).
-
On cherche à déterminer la solution générale du système différentiel
Y′= | ⎛
⎜
⎝ | | ⎞
⎟
⎠ | Y,
Y(t)=(x(t),y(t)) |
Déterminer une équation différentielle
d’ordre 2 dont la première composante x(t) de Y(t) est solution
En déduire la solution générale du système.
Tracer le graphe de la courbe paramétrique (x(t),y(t))=Y(t) de la solution
telle que Y(0)=().
Les solutions sont-elles bornées lorsque t→ +∞ ?
- Vérifier que
Y(t)=e2i t (−it/4+1/8,
t/2) est solution particulière du système :
Y′= | ⎛
⎜
⎝ | | ⎞
⎟
⎠ | Y+
| ⎛
⎜
⎝ | | ⎞
⎟
⎠ |
Déterminer la solution générale du système différentiel
Y′= | ⎛
⎜
⎝ | | ⎞
⎟
⎠ | Y+
| ⎛
⎜
⎝ | | ⎞
⎟
⎠ |
Les solutions sont-elles bornées lorsque t→ +∞ ?
- Soit a ∈ ]0,4[. On considère le système différentiel
Déterminer le signe de la partie réelle des valeurs propres de la
matrice du système et en déduire
la limite des solutions lorsque t → +∞
- Pour a ∈ ]0,4[, on considère le système différentiel
Y′= | ⎛
⎜
⎝ | | ⎞
⎟
⎠ | Y+
| ⎛
⎜
⎝ | | ⎞
⎟
⎠ |
Les solutions sont-elles bornées lorsque t→ +∞ ?
(on ne demande pas de calculer explicitement les solutions).
Exercice 16.
On considère l’équation différentielle
suivante sur l’intervalle I=]0,π/2[ :
(E) x″(t)+3 tan(t) x′(t)−2x(t)=0.
|
-
Quelle est la nature de l’espace des solutions?
- Vérifier que la fonction x0(t)=sin(t) est solution de
(E).
- Soit x une solution, on pose x=x0 y pour sin(t) ≠ 0.
Déterminer une équation d’ordre 1 vérifiée
par y.
-
Résoudre (E).
Exercice 17*. (Intégrales premières.)
On considère un système différentiel du type
(S) | ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ | | x1′=f1(x1,…,xn) |
| … |
| xn′=fn(x1,…,xn).
|
|
|
Ici chaque fonction fi est définie sur ℝn à valeurs dans ℝ. On appelle intégrale première du systeme une fonction F:ℝn→ℝ de classe C1, constante sur chaque solution.
-
En dérivant F(x1,...,xn) le long d’une courbe intégrale,
montrer que :
-
Soit A est une matrice antisymétrique fixée de taille n,
que vaut Ax.x ?
En déduire une intégrale première du système x′=Ax.
Interprétation ?
-
Soit λ∈ℤ. Montrer que le système
admet une intégrale première non constante si et seulement si
λ≤ 0. Indication : résoudre le système.
-
On considère l’équation différentielle x″=g(x). En posant
x1=x et x2=x′, à quel système différentiel est-on
ramené?
Soit P telle que P′=−g. On pose EP(x1,x2)=P(x1)
(énergie potentielle) et EC(x1,x2)=1/2x22 (énergie
cinétique).
Montrer que l’énergie totale E=EP+EC est une intégrale
première du système.
Exprimer E dans le cas où g(x) = sin(2x).
Exercice 18.
Résoudre les systèmes et donner l’allure des solutions
t → (x(t), y(t)) (en particulier le comportement
pour t → +∞) :
(a)
{ | x′(t) = −2x(t) + et |
| y′(t)= − y(t) + cos(3t) |
| x(1)=1, y(1)=2
|
|
(b)
{ | x′(t)= −y(t) |
| y′(t)= x(t) |
| x(1)=1, y(1)=2
|
|
(pour (b), on pourra aussi utiliser la fonction complexe z(t)=x(t)+iy(t))
(c)
{ | x′(t) = −y(t) +cos(t) |
| y′(t)= x(t) +t , x(1)=1, y(1)=2
|
|
(d)
{ | x′(t) = −5x(t) + 2y(t) |
| y′(t)= 2x(t) −2 y(t)
|
|
(e)
{ | x′(t) = −5x(t) + 2y(t) + cos(t) |
| y′(t)= 2x(t) −2y(t) + sin(t) |
| x(1)=1, y(1)=2
|
|
(f)
{ | x′(t)= −2x(t) |
| y′(t)= y(t) |
| x(1)=1, y(1)=2
|
|
Exercice 19.
Résoudre x‴+x=0.
Exercice 20*.
En effectuant un changement de variable s=g(t) conduisant
à une équation différentielle à coefficients constants, résoudre
Ici k est un paramètre.
Exercice 21.
On considère l’équation x′=sin(x). Trouver les solutions constantes.
Montrer que toutes les solutions sont bornées.
Exercice 22.
On considère dans ℝ2 la forme différentielle
ω = (1−x2 y2)dx −2x3 y dy .
|
(a) La forme ω est-elle fermée ? exacte ?
(b) Pour tout a ∈ ℝ, calculer l’intégrale de
la forme ω du point P0 = (0,0) au point P1 =
(1,1) le long de la courbe y = ax + (1−a)x2. Le résultat
dépend-il du paramètre a ?
(c) Soit µ : ℝ2 → ℝ+ la fonction définie par
Vérifier que µ est un facteur intégrant pour la forme ω,
c’est-à-dire que la nouvelle forme Ω = µ ω est
exacte. Trouver une fonction V : ℝ2 → ℝ telle
que Ω =dV.
(d) Dessiner dans le plan ℝ2 les lignes de niveau
de la fonction V.
(e) Trouver la solution de l’équation différentielle
vérifiant la condition initiale y(2) = 1/2.
Exercice 22.
Soit le système
(S)
{
x′(t) | = y2(t) −1
|
y′(t) | = x2(t)−1
|
a) Déterminer les solutions stationnaires du système.
b) Montrer que f(x,y)=(x3−y3)−3(x−y) est une intégrale première du mouvement.
c) Tracer les courbes solutions de condition initiale x(0)=y(0)=0 et
x(0)=√3,y(0)=0.
Exercice 23 Donner le lagrangien pour un pendule
et les équations d’Euler-Lagrange.
Exercice 24 On considère dans ℝ2 un potentiel V(r) ne
dépendant que de r la distance au centre. Écrire les
équations d’Euler-Lagrange pour le lagrangien de la
mécanique classique L(r,θ,ṙ,θ),
appliquer au cas d’un potentiel V(r)=µ/r.
Même question dans ℝ3 en coordonnées sphériques.
Exercice 25
Calculer le hamiltonien H de la mécanique classique
et de la relativité en coordonnées cartésienne.
Même question en coordonnées polaires.
Exercice 26.
Soit une courbe γ(x)=(x,y(x)) définie sur [a,b] et vérifiant y(x)>0. On note
la longueur hyperbolique de γ. Soit les points A=(a,1) et
B=(b,1). On cherche parmi les courbes γ allant de A à B (γ(a)=A et γ(b)=B) celle de longueur hyperbolique minimum.
-
En appliquant l’équation d’Euler-Lagrange, montrer qu’une telle
courbe satisfait l’équation différentielle
où c est une constante non nulle.
-
Résoudre (Ec). Quelle est la nature géométrique de la courbe
minimisante ?
Pendule sur une cycloïde
(Extrait de l’examen de janvier 2015).
On s’intéresse à la cycloïde C d’équations paramétriques
x(τ)=R(τ+sin(τ)), y(τ)=R(1−cos(τ)) |
On utilise τ comme paramètre pour ne pas confondre avec
le temps t qui servira dans la partie 2.
La partie 1 porte sur l’étude de la courbe paramétrique,
la partie 2 porte sur l’étude du mouvement d’une masse sur cette courbe,
Partie 1: Courbe paramétrique
-
Préciser les symétries de la courbe,
montrer qu’on peut se ramener à une étude sur [0,π].
- Représenter l’arche de la cycloïde C pour
τ ∈ [−π,π] lorsque R=1, en indiquant
sur la figure les points de paramètre τ=−π, 0,π et les
directions des tangentes en ces
points (on justifiera).
- Calculer l’élément de longueur ds
en fonction de τ ∈ [−π,π] (R>0 quelconque)
et le repère de Frénet.
- On fixe l’origine de l’abscisse curviligne au
point (0,0). Montrer que s2(τ)=ky(τ) sur l’arche de cycloïde
τ ∈ ]−π,π[, k étant une constante à déterminer
en fonction de R.
Partie 2: Equations différentielles
On lache à l’instant t=0
une masse m en un point de l’arche de cycloïde
sans vitesse initiale, on néglige les frottements.
On repère la masse par son abscisse curviligne s,
sa vitesse est v=ds/dt (t est le temps, différent de τ).
Les questions 1 à 5 proposent trois méthodes différentes
pour résoudre l’équation différentielle correspondante, une des
méthodes suffit pour aborder les questions 6 et 7.
-
En utilisant que l’énergie totale
E=1/2mv2+mgy est une intégrale
première du mouvement, montrer que l’abscisse curviligne
s vérifie :
(*) | ⎛
⎜
⎜
⎝ | | | ⎞
⎟
⎟
⎠ | | + | | s2=C
|
- Dériver (*). En admettant que s n’est pas constant
sauf si y est identiquement nul, en déduire une
équation différentielle d’ordre 2
vérifiée par s et résoudre cette équation.
- Bonus: montrer que s n’est pas constant
sauf si y est identiquement nul en
appliquant le principe fondamental
de la dynamique (somme des forces=masse × accélération)
et en observant que la force de réaction
de la courbe est portée par la normale à la courbe.
- Quel est le signe de C ?
Résoudre directement (*) comme une
équation différentielle à variables séparables (on pourra
utiliser ∫dx/√1−x2 = arcsin(x))
et retrouver le résultat précédent.
- Établir que le lagrangien du système vaut
Donner l’équation d’Euler-Lagrange correspondante et retrouver le
résultat précédent.
- Montrer que le mouvement est périodique, calculer la période
du mouvement.
- Si on lache simultanément
deux masses en deux points de l’arche d’ordonnées y1 et y2 telles que
0<y1<y2<2R, laquelle des deux masses arrivera au point
(0,0) en premier ? (N.B.: on pourra supposer que les abscisses
initiales vérifient x1<0<x2
pour éviter une éventuelle collision!)
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