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Chapitre 24 Exemples d’intégrales

24.1 Des calculs d’intégrales

On tape :

integrate(1/(x^4-1)^10,x);
integrate((x^4+4*x^2+6*x+4)/(x+1)^2,x);
integrate(x/((x-1)*(x+1)^2),x);
integrate(x/((x+1)*(x^4-1)),x);
integrate(1/(3*x*(x^2+x+1)*(x-1)^3),x);
integrate(1/(x^4-1)^2,x);
integrate(1/(x^4+1)^2,x);
integrate(1/(x^4+1)^4,x);
integrate(x^7/((x^4-1)*(x^2+3)),x);
integrate(((1+x)/(1-x))^(1/3),x);
integrate((sin(2*x)+1)/(cos(2*x)),x);
integrate((2*sin(x)+1)/(2*sin(x)-1),x);
integrate(exp(x)/(3+2*exp(x)),x);
integrate(sin(x)^2*cos(x)^4,x);
integrate(sin(x)/(sin(x)^3+cos(x)^3),x);
integrate(1/sqrt(2*x*t)*exp(-t^2/2),x);
integrate(sin(3*x)^4/exp((3*x+1)/cos(t)),x);
integrate(2*x/sqrt(x^2-1),x);
integrate((sin(x)+cos(x))/(sin(x)-cos(x)),x);
integrate(sin(pi/2-2*x),x);
integrate(tan(x)+tan(x)^3,x);
integrate((exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x)),x);
integrate(1/cos(x)^25,x);
integrate(1/(sin(x)-1)^3,x);
integrate(1/(sin(x)+1)^3,x);
integrate(ln(x+sqrt(1+x^2)),x);
integrate(atan(2*x/(1+x^2)),x);
integrate(x*sqrt(1+x^2),x);
integrate(sin(x)/cos(x)^2,x);
integrate(exp(x)/(1+exp(2*x)),x);
integrate(cos(x/2)^2/(x+sin(x)),x);
integrate(x/sqrt(x+1),x);
integrate(exp(x)/((3+exp(x))*sqrt(exp(x)-1)),x);
integrate(sqrt(x)/sqrt(a^3-x^3),x);
integrate(sqrt(a-x)/sqrt(x),x);
integrate(sqrt(x^2+a^2),x);
integrate(sin(2*x)*cos(x),x);
integrate(x*atan(x),x);
integrate(sinh(x)*cos(x),x);
integrate(atan(x)/x,x);
integrate(1/(sin(x)-2)^3,x);
integrate((2*x^2+1)*exp(x^2),x);
integrate(1/(1+sqrt(1-x^2)),x);
integrate(sin(3*x)/sin(x),x);
integrate(1/(t*ln(t)^2),t,2,x);
integrate(ln(1+2/(n*(n+3))),n,1,+infinity);
integrate((pi*t-t^2)*sin(n*t),t,0,pi);
integrate(exp(t)*cos(n*t),t,-pi,pi);
integrate(exp(x)*sin(x),x,0,t);
integrate(cos(x)/exp(x),x,0,+infinity);
integrate((t^4+t+1)/(t^6+t^3+2),t,1,+infinity);
integrate(1/(t^4+t^2),t,2,+infinity);
integrate(x*exp(1/2*abs(ln(x^2))),x,2,t);
integrate(1/sqrt(2*x*t)*exp(-t^2/2),x,a,b);
integrate((x^2*(1-x))^(1/3),x,0,1);
integrate((a*t+5)/((t-1)^3*(t-2)^2),t,3,x);
integrate(atan(sqrt(1-x^2)),x,0,1);
integrate(ln(x^2+t^2)/(1+t^2),t,0,+infinity);

24.2 Intégrale de exp(x)*polynôme

On tape :
integrate(e^x*sin(2*x),x,0,pi)
On obtient :
-2/5*exp(pi)--2/5
On tape :
integrate(x^2*e^(i*x))
On obtient :
(-x^2-(2*i)*x+2)/(-i)*exp((i)*x)
On obtient avec normal :
(-i)*x^2*exp((i)*x)+2*x*exp((i)*x)+(2*i)*exp((i)*x)
On tape :
integrate((1+x)*cos(x)*e^x)
On obtient :
exp(x)*((-((x+1)/-2))*cos(x)-(x*sin(x))/-2)

24.3 Changements de variables

On tape :
integrate(x*exp(x^2))
On obtient (à la main on pose u=x²) :
(exp(x^2))/2
On tape :
integrate(ln(x)/x,x,e,e^2)
On obtient (à la main on pose u=ln(x)):
3/2
On tape :
integrate((2*x+1)/sqrt(x^2+x+1))
On obtient (à la main on pose u=sqrt(x²+x+1)) :
2*sqrt(x^2+x+1)
On tape :
integrate(sqrt(1+x),x,1,2)
On obtient (à la main on pose u=1+x) et
diff(2/3*u^(3/2)=u^(1/2)) :
2*sqrt(3)-(4*sqrt(2))/3

24.4 Intégration par parties

Calculer : ∫ln(x)dx
Avec Xcas
On tape :
integrate(ln(x))
On obtient :
x*log(x)-x
Donc ∫ln(x)dx
Calculer : ∫ln(x)²dx
Avec Xcas
On tape :
integrate(ln(x)^2)
On obtient :
(log(x))^2*x+(-(2*log(x)))*x+2*x
Donc ∫ln(x)²dx=(ln(x))²*x+(−(2*ln(x)))*x+2*x
Calculer : ∫cos(x)*ln(1+cos(x))dx
Avec Xcas
On tape :
integrate(cos(x)*ln(1+cos(x)))
On obtient une expression en termes d’exponentielles complexes qu’il est possible mais difficile de simplifier.
On tape :
ibpu(cos(x)*log(1+cos(x)),log(1+cos(x)))
On obtient :
[sin(x)*log(1+cos(x)),((sin(x))^2)/(cos(x)+1)]
On tape :
ibpu([sin(x)*log(1+cos(x)),((sin(x))^2)/(cos(x)+1)],0)
On obtient :
2*((tan(x/2))/(-tan(x/2)^2-1)+x/2)+sin(x)*ln(1+cos(x)) On peut encore simplifier en sélectionnant la partie en tan(x/2) en utilisant la fonction tan2sincos2 puis simplify, au final on obtient :
2*(-1/2*sin(x)+x/2)+sin(x)*ln(1+cos(x))
Ou encore on tape pour intégrer sin(x)²/(cos(x)+1) :
integrate(trigcos(sin(x)2/(cos(x)+1)))
On obtient :
-sin(x)+x
Donc ∫cos(x)*ln(1+cos(x))dx=sin(x)*ln(1+cos(x))−sin(x)+x

24.5 Intégrale de fractions rationnelles

Calculer :

∫

2x+1

x²−9

Avec Xcas
On tape :
partfrac((2x+1)/(x^2-9))
On obtient :
5/(6*(x+3))+7/(6*(x-3))
On tape :
int((2x+1)/(x^2-9))
On obtient :
(7*log(abs(x-3)))/6+(5*log(abs(x+3)))/6

24.6 Intégrale de polnômes en sin et cos

On linéarise On tape :
int(sin(x)^3+cos(x)^3)
On obtient :
-cos(x)-(cos(x)^3)/-3+sin(x)-(sin(x)^3)/3
On tape :
int(sin(x)^4+cos(x)^2)
On obtient :
(3*x)/8-(sin(2*x))/4-(sin(4*x))/-32+x/2-(sin(2*x))/-4

24.7 Intégrale de fractions rationnelles en sin, cos ou sinh, cosh

Théoriquement, on pose t=tan(x/2) et on obtient une fraction rationnelle en t.
Pratiquement, on applique les règles de Bioche :

si lorsqu’on change x en −x et dx en −dx, l’expression totale à intéger ne change pas, on pose cos(x)=t
si lorsqu’on change x en π−x et dx en −dx, l’expression totale à intéger ne change pas, on pose sin(x)=t
si lorsqu’on change x en π+x et dx en dx, l’expression totale à intéger ne change pas, on pose tan(x)=t

On tape :
int(sin(x)^3/cos(x)^4)
On obtient :
(3*cos(x)^2-1)*(-(1/(cos(x)^3*3)))
On tape :
int(1/(5+3*cos(x)))
On obtient :
(2*(atan((tan(x/2))/2)+pi*floor(x/(pi*2)+1/2)))/4
On tape :
normal(int(1/(sin(x)+cos(x)),x,0,pi/2))
On obtient :
(sqrt(2))/2*ln(2*sqrt(2)+3)
On a 2*√2+3=(√2+1)² donc
(sqrt(2))/2*ln(2*sqrt(2)+3)=sqrt(2)*ln(sqrt(2)+1)

24.8 Intégrale d’expressions trigonométriques

On essaye de poser t=tan(x/2) et on obtient une fonction de t.
Avec Xcas on transforme l’expression en tan(x/2) avec la commande halftan.
On tape :
int(halftan(sqrt(1+sin(x))),x,0,pi)
On obtient :
4 On tape :
int(halftan(sqrt(sin(x))/(sqrt(sin(x))+sqrt(cos(x)))),x,0,pi/2)
On obtient :
pi/4

24.9 Intégrale de la racine carrée de trinômes de degré 2

On met le trinôme de degré 2 sous sa forme canonique sous la forme :
u²+1 ou u²−1 ou 1−u². Puis, on pose u=cos(t) ou u=sin(t) ou u=cosh(t) ou u=sinh(t)
On tape :
int(sqrt(x^2+x+1),x,-2,2)
On obtient :
3/8*ln(2*sqrt(3)+3)+(-3)/8*ln(2*sqrt(7)-5)+(12*sqrt(3)+20*sqrt(7))/16

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