6.61.2  Le Laplacien : laplacian

laplacian a un ou deux paramètres.

• le paramètre est un entier ou un entier flottant n.
  laplacian(n) renvoie la matrice de taille n du laplacien discret en dimension 1.
  Cette matrice est tridiagonale et a 2 sur la diagonale principale, -1 sur la diagonale supérieure et -1 sur la diagonale inférieure.
  En effet :
  Soit F est définie en x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆ (où x_k+1−x_k=h) par F(x_k)=y_k) et on suppose que F(x₀)=F(x₁−h)=0=y₀ et que F(x₇)=F(x₆+h)=0=y₇ (ici n=6).
  Les valeurs approchées de la dérivée première en x₀,x₁..x₆ sont :
  (y₁−y₀)/h=y₁/h,(y₂−y₁)/h,(y₃−y₂)/h,...,(y₆−y₅)/h, (y₇−y6)/h.
  Les valeurs approchées de la dérivée seconde en x₁..x₆ sont :
  ((y₂−y₁)/h−y₁/h)/h=((y₂−2y₁)/h²
  ((y₃−y₂)/h−(y₂−y₁)/h)/h=(y₃−2y₂+y₁)/h²
  ((y₆−y₅)/h−(y₅−y₄)/h)/h=(y₆−2y₅+y₄)/h²
  ((y₇−y₆)/h−(y₆−y₅)/h)/h=(−2y₆+y₅)/h² car y₇=0.
  Donc les valeurs approchées de −∂² F/∂ x²(x_k) sont pour h=1 :
  2*y₁−y₂, −y_k−1+2*y_k−y_k+1 pour k=2..6−1, −y₅+2*y₆.
  On peut aussi plus simplement utiliser la formule de Taylor à l’odre 2 :
  f(a+h)−f(a)−hf′(a)≃ h²f″(a)/2 et
  f(a−h)−f(a)+hf′(a)≃ h²f″(a)/2
  donc en ajoutant :
  f″(a)≃ (f(a+h)+f(a−h)−2f(a))/h²
  On retrouve :
  f″(x₁)≃ (f(x₂)+f(x₀)−2f(x₁))/h²=(f(x₂)−2f(x₁))/h²
  f″(x_k)≃ (f(x_k+1)+f(x_k−1)−2f(x_k))/h², (k=2..n−1)
  f″(x_n)≃ (f(x_n+1)+f(x_n−1)−2f(x_n))/h²=(f(x_n−1)−2f(x_n))/h²
  On tape :
  laplacian(3)
  On obtient :
  [[2,-1,0],[-1,2,-1],[0,-1,2]]
  On tape :
  laplacian(3.)
  On obtient :
  [[2.0,-1.0,0.0],[-1.0,2.0,-1.0],[0.0,-1.0,2.0]]
  On tape :
  laplacian(6)
  On obtient :
  [[2,-1,0,0,0,0],[-1,2,-1,0,0,0],[0,-1,2,-1,0,0],
  [0,0,-1,2,-1,0],[0,0,0,-1,2,-1],[0,0,0,0,-1,2]]
• les 2 paramètres sont :
  une expression F dependant de n variables rèelles et un vecteur de dimension n indiquant le nom de ces variables.
  laplacian renvoie le laplacien de F :
  (∇²(F)(x,y,z)=∂² F/∂ x²(x,y,z)+∂² F/∂ y²(x,y,z)+∂² F/∂ z²(x,y,z) si n=3).
  On tape :
  laplacian(2*x^4*y^3-x^2*y*z^3,[x,y,z])
  On obtient :
  -2*y*z^3-6*x^2*y*z+24*x^2*y^3+12*x^4*y

Exemples
Déterminer le laplacien de F(x,y,z)=2x²y−xz³.
On tape :

On obtient :

On tape :

On obtient :