Les restes chinois : chinrem

6.29.13 Les restes chinois : chinrem

chinrem a comme argument deux listes ayant chacun comme composantes deux polynômes éventuellement donnés par la liste de leurs coefficients par ordre décroissant.
chinrem renvoie une liste de composantes deux polynômes.
chinrem([A,R],[B,Q]) renvoie la liste des polynômes P et S vérifiant :

S=R.Q, P=A (mod R ), P=B (mod Q )

Il existe toujours une solution P si R et Q sont premiers entre eux, et toutes les solutions sont congrues modulo S=R*Q
Trouver les solutions P(x) de :

⎧
⎨
⎩

P(x)=	x	mod (x²+1)
P(x)=	x−1	mod (x²−1)

On tape :

chinrem([[1,0],[1,0,1]],[[1,-1],[1,0,-1]])

On obtient :

[[1/-2,1,1/-2],[1,0,0,0,-1]]

ou on tape :

chinrem([x,x^2+1],[x-1,x^2-1])

On obtient :

[1/-2*x^2+x+1/-2,x^4-1]

donc P(x)=−x²−2.x+1/2 (mod x⁴−1)
Autre exemple :
On tape :

chinrem([[1,2],[1,0,1]],[[1,1],[1,1,1]])

On obtient :

[[-1,-1,0,1],[1,1,2,1,1]]

ou on tape :

chinrem([x+2,x^2+1],[x+1,x^2+x+1])

On obtient :

[-x^3-x^2+1,x^4+x^3+2*x^2+x+1]