Le polynôme de Bernoulli : bernoulli

6.9.10 Le polynôme de Bernoulli : bernoulli

Si bernoulli a deux arguments un entier n et le nom d’une variable alors :
bernoulli(n,x) renvoie le n-ième polynôme de Bernoulli en fonction de x.
On rappelle que les polynômes de Bernoulli B_k sont définis par :

B₀=1

B_k′(x)=kB_k−1(x)

∫

B_k(x)dx=0

On a alors :
B(n)=B_n(0)
B₁′(x)=B₀(x)=1 et ∫₀¹B₁(x)dx=0 donc :

B₁(x)=x−1/2

B₂′(x)=2B₁(x)=2x−1 et ∫₀¹B₂(x)dx=0 donc

B₂(x)=x²−x+1/6

B₃′(x)=3B₂(x)=3x²−3x+1/2 et ∫₀¹B₃(x)dx=0 donc

B₃(x)=x³−3*x²/2+x/2

....
On tape :

bernoulli(3,x)

On obtient :

x^3-3*x^2/2+x/2

On tape :

bernoulli(6,x)

On obtient :

x^6-3*x^5+5*x^4/2-x^2/2+1/42