II) Los poliedros regulares par Origami.

El texto, los modelos hechos por Origami y las fotos son originales de Marcel Morales.
La fabrication par Origami de los poliedros regulares convexos y
del Delta gran dodecaedro estrellado eran conocidos.
Todos los otros modelos hechos por origami han sido inventados por Marcel Morales
y realizados por la primera vez en el mundo por Marcel Morales.

Video fabrication de polyèdres par Origami, Marcel Morales:
Video make polyhedra by Origami, Marcel Morales play the movie:
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/morales/origami.mp4
Video Hacer Cubo por Origami (Papiroflexia), Marcel Morales:
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/morales/origami-cubo-Marcel.mp4

1) Los Solidos Platonicos

Desde la antiguidad se conocian los cinco poliedros regulares llamados Solidos Platonicos.

Estos cinco solidos pueden ser realizados simplemente gracias a un patron.
Hacerlos por Origami es mas rapido y el resultado mas bonito. La formula de Euler se aplica a estos poliedros.

	Tetraedro 4 caras (triangulos equilaterales) 4 vertices 6 aristas
	Cubo 6 caras (cuadrados) 8 vertices 12 aristas
	Octaedro 8 caras (triangulos equilaterales) 6 vertices 12 aristas
	Dodecaedro 12 caras(pentagonos regulares) 20 vertices 30 aristas
	Icosaedro 20 caras (triangulos equilaterales) 12 vertices 30 aristas

III) Los poliedros regulares no convexos

Johannes Kepler, descubrio en 1619 dos poliedros regulares no convexos :
el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado.
Dos siglos mas tarde, en 1809 Louis Poinsot descubrio dos nuevos poliedros regulares no convexos :
el gran dodecaedro y el grand icosaedro.

La formula de Euler se aplica a estos poliedros.
Las caras son pentagonos regulares convexos o estrellados.
Estos poliedros son llamados regulares porque cada cara esta situada en un plano.
El pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras (pentagonos regulares estrellados), 30 aristas et 20 vertices.
El gran dodecaedro estrellado tiene 12 caras (pentagonos regulares estrellados), 30 aristas et 20 vertices.
El gran dodecaedro tiene 12 caras (pentagonos regulares), 30 aristas et 20 vertices.
El gran icosaedro tiene 20 caras (triangulos equilateros), 30 aristas et 12 vertices.

El pequeño dodecaedro estrellado	El gran dodecaedro estrellado
El gran dodecaedro	El gran icosaedro

Los poliedros siguientes merecen de ser llamados regulares.
Son variantes de los poliedros de Kepler Poinsot, sus caras son triangulos equilaterales.
Hacen parte de la familia de Delta Polyedros (Deltaedrons).

El Delta pequeño dodecaedro estrellado	El Delta gran dodecaedro estrellado
El Delta gran dodecaedro	El Delta gran icosaedro

IV) Realisacion de las piezas elementales por Origami

1) El dodecaedro

Para fabricar el dodecaedro, hay que hacer 12 piezas identicas a la pieza elemental (2).

Observe que cada pieza esta compuesta de un pentagono regular y de dos lenguetas.

(1) Hacer un nudo simple con una cinta de papel de dimensiones 41,7 cm par 5,5 cm.

(2) Tirar sobre las extremidades hasta poner a llano el nudo. Plegar las bordes de papel fuera del pentagono, para formar las lenguetas.

2) Los poliedros regulares con caras triangulares

Para la fabricacion de estos solidos se utiliza la misma pieza elemental A o su symetrica B.
Pueden Observar que cada pieza es compuesta de dos triangulos equilaterales
situados en medio de la pieza y de dos lenguetas.
Tener cuidado, en la fabricacion del poliedro todas las lenguetas seran utilizadas.

Pieza A Pieza B

Fabricacion de la pieza A

(1) Tomar una hoja de papel rectangular de dimensiones L et L.	(2) Sobreponer el vertice abajo, izquierda sobre el vertice arriba,derecha. Plegar.
(3) Plegar la parte baja de la hoja, utilizando como guia la raya obtenida en (2).	(4) Plegar la parte alta de la hoja, utilizando como guia la raya obtenida en (2).
(5) Plegar los dos angulos para esconder los dos pequeños triangules rectangules que aparecieron.	(6) Dar la vuelta a la pieza.
(7) Plegar para marcar los cuatro triangulos equilaterales.	(8) Aqui esta la pieza elemental final A.

Fabricacion de la pieza B

Tomar una hoja de papel rectangular de dimensiones L et L.	(2) Sobreponer el vertice abajo, derecha sobre el vertice arriba,izquierda. Plegar.
(3) Plegar la parte baja de la hoja, utilizando como guia la raya obtenida en (2).	(4) Plegar la parte alta de la hoja, utilizando como guia la raya obtenida en (2).
(5) Plegar los dos angulos para esconder los dos pequeños triangules rectangules que aparecieron.	(6) Dar la vuelta a la pieza.
(7) Plegar para marcar los cuatro triangulos equilaterales.	(8) Aqui esta la pieza elemental final B.

3) El cubo

Para la fabricacion del cubo, hay que fabricar 6 piezas identicas a la pieza elemental.
Observe que cada pieza esta compuesta de un cuadrado i de dos lenguetas triangulares.
Para montar el cubo se necesitaran todas las lenguetas.

(1) Plegar una hoja cuadrada en dos .	(2) Plegar cada borde sobre la linea mediana creada en (1) .
(3) Plegar los dos pequeños triangulos rectangulares diagonalmente opuestos hacia vers el interior.	(4) Cerrar las partes baja y alta.
(5) Plegar cada esquina borde con borde.	(6) Plegar los dos triangulaos creados en (5) hacia el interior.
(7)=>	Dar la vuelta a la pieza. Plegar las dos extremedades borde a borde para hacer un cuadrado en el medio y dos lenguetas.

Cuidado la pieza symetrique (7’) de la pieza (7) es obtenida cuando en la etapa 3)
se plega suiguiendo la otra diagonal del cuadrado (figura (3’)).
Para montar el cubo se necesita piezas perfectamente identicas.

(3’) (7’)

4) Numero de piezas elementales necesarias a la realisation de los poliedros regulares con caras triangulares

Tetraedro	2 piezas symetricas (A+B)
Octaedro	4 piezas identicas
Icosaedro	10 piezas (5A+5B)
Delta Pequeño dodecaedro estrellado	30 piezas identicas
Delta Grand dodecaedro estrellado	30 piezas identicas
Delta Gran Dodecaedro	30 piezas identicas
Delta Grand Icosaedro	120 piezas identicas