Intégration

Marcel Morales IUFM de Lyon octobre 1998

C o u r s d’ A n a l y s e M a r c e l M o r a l e s I U F M d e L y o n

1 9 9 8

Chapitre 1

Intégration des fonctions continues sur [a, b]

1.1 Fonctions en escalier sur [a, b].

Avant de donner une définition formelle donnons quelques exemples. Exemple 1 La fonction constante, soit c ∈ IR, f(x) = c pour tout x ∈ IR. Exemple 2 Soient a_{1} ∈]a, b[, c_{0}, c_{1} ∈ IR et f la fonction définie sur [a, b] par

f(x) = \{ \begin{matrix}c_{1} & si x ∈ [a, a_{1}[ \\ c_{2} & si x ∈ [a_{1}, b]. \end{matrix}

[figure: a; b; c; a; b; c_{1}; c_{2}; a_{1}; Exemple 1; Exemple 2]

4 CHAPITRE 1. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES SUR [a, b]

Exemple 3 Soit f la fonction définie sur [−2, 3] par

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & si x ∈ [−2; −0, 5[ \\ 0, 5 & si x ∈ [−0, 5; 0, 5[ \\ −1 & si x ∈ [0, 5; 3] \end{matrix}

[figure: −2; 3; 1; −1; 0, 5; −0, 5; 0, 5; Exemple 3]

Definition 1 Une partition P de l’intervalle [a, b] est la donnée de n+1 nombres, n ∈ IN^{∗} dans cet intervalle a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b

Une application e : [a, b] ⟶ IR est dite en escalier si et seulement si il existe une partition P de l’intervalle [a, b], telle que

e(x) = \{ \begin{matrix}c_{0} & si x ∈]a_{0}, a_{1}[ \\ c_{1} & si x ∈]a_{1}, a_{2}[ \\ … \\ c_{n} & si x ∈]a_{n−1}, a_{n}[ \end{matrix} .

Attention:pour i = 0, …, n les nombres e(a_{i}) sont bien définis.

Definition 2 Etant donné une fonction en escalier e sur [a, b], on dit que une partition P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b , n ∈ IN^{∗} , est adaptée à e si pour tout i = 0, …, n la restriction de e à l’intervalle ]a_{i}, a_{i+1}[ est la fonction constante.

Exemple 4 Soient e_{1}(x) = \{ \begin{matrix}3 & si x ∈]0, 1] \\ 0 & si x ∈]1, 3] \end{matrix} et e_{2}(x) = \{ \begin{matrix}−2 & si x ∈]0, \frac{1}{2}] \\ 2 & si x ∈]\frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \\ −1 & si x ∈]\frac{3}{2}, 3] \end{matrix} .

Alors e_{1} + e_{2} est une fonction en escalier sur [1, 3]. En effet

(e_{1} + e_{2})(x) = \{ \begin{matrix}1 & si x ∈]0, \frac{1}{2}] \\ 5 & si x ∈]\frac{1}{2}, 1] \\ 2 & si x ∈]1, \frac{3}{2}] \\ −1 & si x ∈]\frac{3}{2}, 3] \end{matrix} .

Ainsi la partition 0 < \frac{1}{2} < 1 < \frac{3}{2} < 2 < 3 est une partition adaptée à e_{1} + e_{2}.

Exercice 1 Si e_{1}, e_{2} sont des fonctions en escalier sur [a, b] définir une partition adaptée simultanément à e_{1} et e_{2}.

1.1. FONCTIONS EN ESCALIER SUR [a, b]. 5

La proposition suivante est une conséquence facile de l’exercice précedent.

Proposition 1 1) Si e_{1}, e_{2} sont des fonctions en escalier sur [a, b] alors la fonction somme e_{1} + e_{2} est une fonction en escalier.

2) Soit λ ∈ IR et e une fonction en escalier sur [a, b] alors λe est une fonction en escalier.

3) Si e_{1}, e_{2} sont des fonctions en escalier sur [a, b] alors la fonction produit e_{1}e_{2} l’est aussi.

Definition 3 Soit e une fonction en escalier sur [a, b] et une partition adaptée à e : P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b , n ∈ IN^{∗} . On pose

S_{P}(e) = c_{0}(a_{1} − a_{0}) + … + c_{n−1}(a_{n} − a_{n−1})

Proposition 2 Soit e une fonction en escalier sur [a, b], alors S_{P}(e) est indépendant de la partition adaptée à e.

Preuve .-On va se limiter au cas de la fonction constante e(x) = c pour tout x ∈ [a, b], soit P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b , n ∈ IN^{∗} une partition quelconque adaptée à e alors S_{P}(e) = c(a_{1} −a_{0})+c(a_{2} −a_{1})+…+c(a_{n} −a_{n−1}) = c(a_{1} −a_{0} +a_{2} −a_{1} +…+a_{n} −a_{n−1}) = c(a_{n} − a_{0}) = c(b − a).

Definition 4 ( Intégration d’une fonction en escalier) Soit e une fonction en escalier sur [a, b] et P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b , n ∈ IN^{∗} une partition quelconque adaptée à

e, par définition l’intégrale de e sur [a, b] est le nombre S_{P}(e) qui sera noté ∫_{a}^{b} e(x)dx

Remarque 1 .- L’intégrale de e sur [a, b] est indépendante des nombres réels e(a_{i}).

Definition 5 On note E(a, b) l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b].En fait la proposition 1 nous dit que E(a, b) est un sous espace vectoriel réel de l’espace vectoriel des applications définies sur [a, b].

Proposition 3 L’application ∫ : E(a, b) ⟶ IR qui à e associe ∫_{a}^{b} e(x)dx est une

application linéaire. i.e. pour des fonctions en escalier e, e_{1}, e_{2} sur [a, b] et pour tout λ ∈ IR nous avons

∫_{a}^{b}(e_{1} + e_{2})(x)dx = ∫_{a}^{b} e_{1}(x)dx + ∫_{a}^{b} e_{2}(x)dx
∫_{a}^{b} λe(x)dx = λ ∫_{a}^{b} e(x)dx

Proposition 4 Soit e une fonction en escalier sur [a, b] et une partition adaptée à e : P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b , n ∈ IN^{∗}

1) si e ≥ 0 sur [a, b] alors ∫_{a}^{b} e(x)dx ≥ 0 .

2) si e ≥ 0 sur [a, b] et ∫_{a}^{b} e(x)dx = 0 alors pour tout x ∈]a_{i}, a_{i+1}[ et

i = 0, 1, …, n − 1 on a e(x) = 0.

Preuve .-Soit P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b , n ∈ IN^{∗} une partition adaptée à e , si e(x) = c_{i}, ∀x ∈]a_{i}, a_{i+1}[ pour i = 0, 1, …, n − 1, alors

∫_{a}^{b} e(x)dx = c_{0}(a_{1} − a_{0}) + c_{1}(a_{2} − a_{1}) + … + c_{n−1}(a_{n} − a_{n−1}),

mais c_{0} ≥ 0, …, c_{n−1} ≥ 0, a_{1} − a_{0} > 0, …, a_{n} − a_{n−1} ≥ 0 donc cette somme est positive ou nulle. De plus si cette somme est nulle, étant la somme de nombres positifs ou nuls, chaque nombre est nul, ce qui implique c_{0}(a_{1} − a_{0}) = c_{1}(a_{2} − a_{1}) = … = c_{n−1}(a_{n} − a_{n−1}) = 0 d’où finalement c_{0} = c_{1} = … = c_{n−1} = 0.

Corollaire 1 Soient e_{1}, e_{2} des fonctions en escalier sur [a, b], si e_{1} ≤ e_{2} sur [a, b] alors

∫_{a}^{b} e_{1}(x)dx ≤ ∫_{a}^{b} e_{2}(x)dx

Remarque 2 Soit P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b , n ∈ IN^{∗} une partition de [a, b] et e la fonction en escalier définie par

e(x) = \{ \begin{matrix}0 & si x ∈ [a, b] − \{a_{0}, …, a_{n}\}, \\ i & si x = a_{i}, i = 0, …, n \end{matrix}

alors l’intégrale de e sur [a, b] est nulle.

1.2 intégration de fonctions continues sur [a, b]..

Proposition 5 Soit f : [a, b] ⟶ IR une fonction continue sur [a, b] alors on peut trouver des fonctions en escalier ϕ, ψ définies sur [a, b] tels que ϕ ≤ f ≤ ψ.

Preuve .-f est une application continue sur [a, b] donc par le théorème des valeurs intermédiaires f([a, b]) = [m, M] où :

m = inf{f(x), x ∈ [a, b]}

et

M = sup{f(x), x ∈ [a, b]}

1.2. INTÉGRATION DE FONCTIONS CONTINUES SUR [a, b].. 7

Soient ϕ, ψ définies par ϕ(x) = m, ψ(x) = M pour x ∈ [a, b]. Il est clair que ϕ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) pour tout x ∈ [a, b].

Exemple 5 Soit f(x) = \{ \begin{matrix}x ln x & si x ∈]0, 1], \\ 0 & si x = 0. \end{matrix}

Alors f est continue sur [0, 1], car lim_{x→0} x ln x = 0, par le théorème de la croissance comparée entre la fonction puissance et le logarithme. D’autre part f est dérivable sur ]0, 1], f′(x) = 1 + ln x d’où en déduit que fest décroissante sur ]0, 1/e[ croissante sur ]1/e, 1[, or f(0) = 0, f(1) = 0, f(1/e) = −1/e et f étant continue par le théorème des valeurs intermédiaires nous aurons que

∀x ∈ [0, 1] : −\frac{1}{e} ≤ f(x) ≤ 0

Soient ϕ, ψ définies par ϕ(x) = −1/e, ψ(x) = 0 pour x ∈ [0, 1], ϕ, ψ sont des fonctions en escalier et ϕ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) pour tout x ∈ [0, 1].

Exemple 6 Soit f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x} & si x ∈]0, 1], \\ 0 & si x = 0. \end{matrix}

Alors f est continue sur ]0, 1], lim_{x→0^{+}} \frac{1}{x} = +∞ et il n’existe pas de fonction en escalier ψ

telle que f ≤ ψ sur ]0, 1], par contre la fonction ϕ: x ↦ 0 est telle que ϕ ≤ f.

Definition 6 Soit f une fonction continue sur [a, b] , nous noterons par E_{≤}(f, [a, b]) l’ensemble des fonctions en escalier ϕ définies sur [a, b] et telles que ϕ ≤ f. De même notons par E_{≥}(f, [a, b]) l’ensemble des fonctions en escalier ψ définies sur [a, b] et telles que f ≤ ψ. Considérons les ensembles de nombres réels :

A^{−} = {∫_{a}^{b} ϕ(x)dx ; ϕ ∈ E_{≤}(f, [a, b])}

A^{+} = {∫_{a}^{b} ψ(x)dx ; ψ ∈ E_{≥}(f, [a, b])}

Proposition 6 A^{−} est un ensemble non vide borné supérieurement et A^{+} est un ensemble non vide borné inférieurement. Par conséquent inf A^{+}, sup A^{−} sont des nombres réels. De plus sup A^{−} ≤ inf A^{+}

Preuve .-f étant continue sur un intervalle fermée, f admet un minimum m et un maximum M sur cet intervalle, soient ϕ, ψ les fonctions en escalier définies sur [a, b] par ϕ(x) = m, ψ(x) = M alors ∫_{a}^{b} ϕ(x)dx ∈ A^{−}, ∫_{a}^{b} ψ(x)dx ∈ A^{+}, ce qui montre que A^{+}, A^{−} sont non vides. Maintenant soit ϕ_{1} ∈ E_{≤}(f, [a, b]) on aura ϕ_{1}(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) d’où ∫_{a}^{b} ϕ_{1}(x)dx ≤ ∫_{a}^{b} ψ(x)dx = M(b − a). En conclusion pour toute ϕ_{1} ∈ E_{≤}(f, [a, b]) nous avons que ∫_{a}^{b} ϕ_{1}(x)dx ≤ M(b − a), donc l’ensemble A^{−} est majorée par M(b − a). On démontre de même que A^{+} est borné inférieurement par m(b − a). D’autre part il est clair que tout élément de A^{−} est inférieur à tout élement de A^{+}, il en suit que sup A^{−} ≤ inf A^{+}.

Remarque 3 Nous pouvons aussi démontrer cette proposition en utilisant l’exercice suivant :

Exercice 2 Soient A^{−}, A^{−} deux sous ensembles non vides de IR tels que si x ∈ A^{−}, y ∈ A^{+} alors x ≤ y. Montrer que A^{−} est majoré par tout élément de A^{+}, A^{+} est minoré par tout élément de A^{−} et sup A^{−} ≤ inf A^{+}.

sup A^{−} ≤ inf A^{+}

Théorème 1 Si f est une fonction continue sur [a, b] alors inf A^{+} = sup A^{−}. Lorsque f est une fonction continue nous posons ∫_{a}^{b} f(x)dx = inf A^{+} = sup A^{−}.

Preuve .-Nous allons utiliser le résultat suivant: Théorème de Heine : Si f est continue sur [a, b] alors pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que

si | x′ − x′′ |< δ alors | f(x′) − f(x′′) |< ε.

Prenons un ε > 0 et soit N_{0} ∈ IN^{∗}, tel que \frac{b − a}{N_{0}} < δ.

Soit n ∈ IN^{∗}, n ≥ N_{0}, h = \frac{b − a}{n} et considérons la partition régulière P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b avec a_{i} = a + ih pour i = 0, …, n. On pose

m_{i} = inf{f(x), x ∈ [a_{i}, a_{i+1}]}

et

M_{i} = sup{f(x), x ∈ [a_{i}, a_{i+1}]}

Soient ϕ_{n}, ψ_{n} définies par ϕ_{n}(x) = m_{i}, ψ_{n}(x) = M_{i} pour x ∈ [a_{i}, a_{i+1}[} pour i = 0, …, n − 2 et ϕ_{n}(x) = m_{n−1}, ψ_{n}(x) = M_{n−1} pour x ∈ [a_{n−1}, b]}. Nous avons que ϕ_{n}(x) ≤ f(x) ≤ ψ_{n}(x) pour tout x ∈ [a, b]. D’autre part:

∫_{a}^{b} ϕ_{n}(x)dx = m_{0}(a_{1} − a_{0}) + … + m_{n−1}(a_{n} − a_{n−1}),

∫_{a}^{b} ψ_{n}(x)dx = M_{0}(a_{1} − a_{0}) + … + M_{n−1}(a_{n} − a_{n−1}),

d’où

∫_{a}^{b} ψ_{n}(x)dx − ∫_{a}^{b} ϕ_{n}(x)dx = (M_{0} − m_{0})(a_{1} − a_{0}) + … + (M_{n−1} − m_{n−1})(a_{n} − a_{n−1}),

or d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe x′_{i}, x′′_{i} ∈ [a_{i}, a_{i+1}] tels que m_{i} = f(x′_{i}), M_{i} = f(x′′_{i}) il en suit que | x′_{i} − x′′_{i} |≤| a_{i} − a_{i+1} |= h < δ et par le théorème de Heine on aura

0 ≤ M_{i} − m_{i} =| f(x′′_{i}) − f(x′_{i}) |< ε, pour i = 0, …, n − 1

ce qui implique :

∫_{a}^{b} ψ_{n}(x)dx − ∫_{a}^{b} ϕ_{n}(x)dx < ε(a_{1} − a_{0}) + … + ε(a_{n} − a_{n−1})

∫_{a}^{b} ψ_{n}(x)dx − ∫_{a}^{b} ϕ_{n}(x)dx < ε(a_{1} − a_{0} + … + a_{n} − a_{n−1}) = ε(b − a).

Il en résulte que

∫_{a}^{b} ψ_{n}(x)dx < ∫_{a}^{b} ϕ_{n}(x)dx + ε(b − a)  (1)

et d’après la définition de A^{−}, A^{+} que

inf A^{+} ≤ ∫_{a}^{b} ψ_{n}(x)dx < ∫_{a}^{b} ϕ_{n}(x)dx + ε(b − a) ≤ sup A^{−} + ε(b − a),

en particulier

inf A^{+} < sup A^{−} + ε(b − a) ∀ε > 0  (2)

or inf A^{+}, sup A^{−} sont des nombres réels et sup A^{−} ≤ inf A^{+}, l’inégalité (2) est possible si et seulement si inf A^{+} = sup A^{−}. (Voir la remarque et l’exercice après les figures.)

Représentation graphique de ∫_{a}^{b} ϕ_{4}(x)dx

Représentation graphique de ∫_{a}^{b} ψ_{4}(x)dx

Remarque 4 Soient A ≤ B deux nombres réels tels que B < A + ε pour tout ε > 0, alors A = B.

En effet, par hypothèse B − A ≥ 0, si B − A > 0 prenons ε = \frac{B − A}{2} il resulte que

B < A + \frac{B − A}{2}, et donc B < A ce qui est absurde d’après les hypothèses.

Exercice 3 Soient A ≤ B deux nombres réels tels que B ≤ A + ε pour tout ε > 0, alors A = B.

Definition 7 Sommes de Riemann. Pour n ∈ IN^{∗} soit h = \frac{b − a}{n} et considérons la partition régulière P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b avec a_{i} = a + ih pour i = 0, …, n. On appelle sommes de Riemann les suites (S′_{n})_{n∈IN}, (S′′_{n})_{n∈IN} définies par

S′_{n} = f(a_{0})(a_{1} − a_{0}) + … + f(a_{n−1})(a_{n} − a_{n−1})

et

S′′_{n} = f(a_{1})(a_{1} − a_{0}) + … + f(a_{n})(a_{n} − a_{n−1}).

or comme a_{1} − a_{0} = … = a_{n} − a_{n−1} = \frac{b − a}{n} nous aurons :

S′_{n} = \frac{b − a}{n}(f(a_{0}) + … + f(a_{n−1}));

1.2. INTÉGRATION DE FONCTIONS CONTINUES SUR [a, b].. 11

S′′_{n} = \frac{b − a}{n}(f(a_{1}) + … + f(a_{n}))

Représentation graphique de S′_{5}

Représentation graphique de S′′_{5}

Proposition 7 Les sommes de Riemann S′_{n}, S′′_{n} convergent vers ∫_{a}^{b} f(x)dx Preuve .-Reprenons la démonstration du théorème ci-dessus et remarquons que m_{i} ≤ f(a_{i}) ≤ M_{i} pour tout i = 0, …, n − 1, ce qui implique

∫_{a}^{b} ϕ_{n}(x)dx ≤ S′_{n} ≤ ∫_{a}^{b} ψ_{n}(x)dx,

alors il en suit de la relation (1) que

∫_{a}^{b} f(x)dx ≤ ∫_{a}^{b} ψ_{n}(x)dx < ∫_{a}^{b} ϕ_{n}(x)dx + ε(b − a) ≤ S′_{n} + ε(b − a),

d’où

∫_{a}^{b} f(x)dx < S′_{n} + ε(b − a)  (2)

d’autre part toujours d’après (1) nous avons

S′_{n} ≤ ∫_{a}^{b} ψ_{n}(x)dx < ∫_{a}^{b} ϕ_{n}(x)dx + ε(b − a) ≤ ∫_{a}^{b} f(x)dx + ε(b − a),

par conséquent

S′_{n} < ∫_{a}^{b} f(x)dx + ε(b − a)  (3).

En conclusion nous avons démontré que pour tout ε > 0 il existe N_{0} ∈ IN tel que pour tout

n ≥ N_{0} on a | ∫_{a}^{b} f(x)dx − S′_{n} |< ε,

ce qui signifie par définition que la suite S′_{n} converge vers ∫_{a}^{b} f(x)dx lorsque n tend vers +∞.

La même démonstration est valable pour montrer que la suite S′′_{n} converge vers ∫_{a}^{b} f(x)dx lorsque n tend vers +∞.

1.2.1 Propriétés de l’intégrale définie.

On notera par C(a, b) le IR−espace vectoriel des applications continues sur [a, b].

Proposition 8 Linéarité de l’intégrale L’application ∫ : C(a, b) ⟶ IR qui à f associe

∫_{a}^{b} f(x)dx est une application linéaire. i.e. pour des fonctions continues f, f_{1}, f_{2} sur [a, b] et pour tout λ ∈ IR nous avons

∫_{a}^{b}(f_{1} + f_{2})(x)dx = ∫_{a}^{b} f_{1}(x)dx + ∫_{a}^{b} f_{2}(x)dx
∫_{a}^{b} λf(x)dx = λ ∫_{a}^{b} f(x)dx

Preuve .-C’est une simple conséquence de la définition des sommes de Riemann. En effet si nous notons par S′_{n}(f) la somme de Riemann associée à la fonction f alors pour tout n ∈ IN et des fonctions continues f, f_{1}, f_{2} sur [a, b] nous avons :

S′_{n}(f_{1} + f_{2}) = S′_{n}(f_{1}) + S′_{n}(f_{2})
S′_{n}(λf) = λS′_{n}(f).

Nous savons que les sommes de Riemann sont des suites convergentes, donc nous pouvons passer à la limite quand n tend vers +∞ et nous obtenons

∫_{a}^{b} λf(x)dx = λ ∫_{a}^{b} f(x)dx

Remarque 5 Dans les intégrales définies il est commode de ne plus supposer que a < b, on posera par définition :

∫_{b}^{a} f(x)dx = − ∫_{a}^{b} f(x)dx

et

∫_{a}^{a} f(x)dx = 0

Proposition 9 relation de Chasles Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a, b, c ∈ I alors, nous avons la relation :

∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{a}^{c} f(x)dx + ∫_{c}^{b} f(x)dx

Nous ne donnons pas la preuve de la relation de Chasles.

Proposition 10 L’intégrale respecte l’ordre des fonctions Soit a < b et f, g deux fonctions continues sur [a, b]

1)si f ≥ 0 sur [a, b] alors ∫_{a}^{b} f(x)dx ≥ 0 .

2) si f ≥ 0 sur [a, b] et ∫_{a}^{b} f(x)dx = 0 alors f(x) = 0 pour tout x ∈ [a, b].

3) si f ≥ g sur [a, b] alors ∫_{a}^{b} f(x)dx ≥ ∫_{a}^{b} g(x)dx .

Preuve .-1) Soit ϕ la fonction nulle sur [a, b], alors ϕ est une fonction en escalier et ϕ ≤ f sur [a, b], par définition de l’intégrale nous avons

∫_{a}^{b} f(x)dx ≥ ∫_{a}^{b} ϕ(x)dx = 0.

2) Supposons qu’il existe un nombre x_{0} ∈ [a, b] tel que f(x_{0}) ≠ 0, on va supposer que f(x_{0}) > 0, puisque f est continue sur [a, b] il existe un intervalle fermé [c, d] ⊂ [a, b] avec d > c et il existe m > 0 tel que f(x) ≥ m pour tout x ∈ [c, d]. ( Voir l’exercice après la preuve). Soit ϕ la fonction en escalier définie sur [a, b] par

ϕ(x) = \{ \begin{matrix}0 & si x ∈ [a, c[ \\ m & si x ∈ [c, d] \\ 0 & si x ∈]d, b] \end{matrix}

alors ϕ ≤ f sur [a, b] et par définition de l’intégrale nous avons

∫_{a}^{b} f(x)dx ≥ ∫_{a}^{b} ϕ(x)dx = m(d − c) > 0.

Ce qui est en contradiction avec l’hypothèse, donc f(x) = 0 pour tout x ∈ [a, b]

3) Si f ≥ g sur [a, b] alors f − g ≥ 0 sur [a, b] et donc ∫_{a}^{b}(f − g)(x)dx ≥ 0, d’où par linéarité nous avons que ∫_{a}^{b} f(x)dx ≥ ∫_{a}^{b} g(x)dx.

Exercice 4 Soit f une fonction continue sur [a, b] et supposons qu’il existe un nombre x_{0} ∈ [a, b]tel que f(x_{0}) > 0, montrer qu’il existe un intervalle fermé [c, d] ⊂ [a, b] avec d > c et il existe m > 0 tel que f(x) ≥ m pour tout x ∈ [c, d].

Solution .- Prenons ε = \frac{f(x_{0})}{2} > 0 d’après la définition de la continuité de f il existe δ > 0 tel que si

| x − x_{0} |< δ alors | f(x) − f(x_{0}) |< ε = \frac{f(x_{0})}{2}

ce qui se traduit par

pour tout x ∈]x_{0} − δ, x_{0} + δ[ alors \frac{f(x_{0})}{2} < f(x) < \frac{3f(x_{0})}{2}

si nous prenons c = \frac{x_{0} − δ}{2} , d = \frac{x_{0} + δ}{2} alors

pour tout x ∈ [c, d] nous aurons f(x) > \frac{f(x_{0})}{2} > 0

Proposition 11 Soit a < b et f une fonction continue sur [a, b] alors

| ∫_{a}^{b} f(x)dx| ≤ ∫_{a}^{b} | f(x) | dx

Preuve .-Pour tout x ∈ [a, b] nous avons

− | f(x) |≤ f(x) ≤| f(x) |

les fonctions f, | f | sont continues sur [a, b] et l’intégrale respecte l’ordre des fonctions donc

− ∫_{a}^{b} | f(x) | dx ≤ ∫_{a}^{b} f(x)dx ≤ ∫_{a}^{b} | f(x) | dx,

ce qui montre la proposition. (Voir remarque ci-dessous).

1.2. INTÉGRATION DE FONCTIONS CONTINUES SUR [a, b].. 15 Remarque 6 1) Pour tout nombre réel c nous avons

− | c |≤ c ≤| c |

2) soient x, y deux nombres réels, la relation :

−d ≤ c ≤ d

est équivalente à :

| c |≤ d

Nous donnons la proposition suivante sans démonstration. Proposition 12 Formule de la moyenne Soit a < b et f une fonction continue sur [a, b] alors Il existe c ∈]a, b[ tel que :

\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} f(x)dx = f(c)

Exemple 7 ∫_{0}^{b} xdx = \frac{b^{2}}{2}

La fonction identité étant continue sur IR elle est continue sur [0, b], soit n ∈ IN^{∗} posons a_{i} = \frac{ib}{n} et calculons les sommes de Riemann associée à la partition P: 0 < \frac{b}{n} < \frac{2b}{n} < … < b

S′_{n} = \frac{b}{n}(0 + \frac{b}{n} + … + (n − 1)\frac{b}{n}) = \frac{b^{2}}{n^{2}} (0 + 1 + … + n − 1)

d’où

S′_{n} = \frac{b^{2}n(n − 1)}{2n^{2}} = \frac{b^{2}}{2} − \frac{b^{2}}{2n}

ce qui implique que ∫_{0}^{b} xdx = lim_{n→+∞} S′_{n} = \frac{b^{2}}{2} Exercice 5 a) Soit f une fonction paire et continue sur [−a, a], montrer que

∫_{−a}^{a} f(x)dx = 2 ∫_{0}^{a} f(x)dx

b) Soit f une fonction impaire et continue sur [−a, a], montrer que ∫_{−a}^{a} f(x)dx = 0 Solution .- Par la relation de Chasles nous avons que

∫_{−a}^{a} f(x)dx = ∫_{−a}^{0} f(x)dx + ∫_{0}^{a} f(x)dx,

calculons ces deux dernières intégrales à l’aide des sommes de Riemann. En effet soit n un

entier naturel positif et P: 0 < \frac{a}{n} << \frac{2a}{n} < … < \frac{(n − 1)a}{n} < a une partition de [0, a]. alors la suite

S′_{n} = \frac{a}{n}(f(0) + f(\frac{a}{n}) + … + f(\frac{(n − 1)a}{n}))

converge vers ∫_{0}^{a} f(x)dx. D’autre part −P: −a < \frac{−(n − 1)a}{n} < … < \frac{2a}{n} < \frac{a}{n} < 0 est une partition de [−a, 0] et la somme de Riemann

S′′_{n} = \frac{a}{n}(f(\frac{−(n − 1)a}{n})) + … + f(\frac{−a}{n}) + f(0))

converge vers ∫_{−a}^{0} f(x)dx.

a) Si f est paire nous avons que f(\frac{ia}{n}) = f(\frac{−ia}{n}) pour tout 0 ≤ i ≤ n donc S′_{n} = S′′_{n} et

passant à la limite quand n tend vers +∞ nous aurons que ∫_{−a}^{0} f(x)dx = ∫_{0}^{a} f(x)dx.

b) Si f est impaire nous avons que f(\frac{ia}{n}) = −f(\frac{−ia}{n}) pour tout 0 ≤ i ≤ n donc S′_{n} = −S′′_{n}

et passant à la limite quand n tend vers +∞ nous aurons que ∫_{−a}^{0} f(x)dx = − ∫_{0}^{a} f(x)dx,

d’où ∫_{−a}^{a} f(x)dx = 0.

Exemple 8 Soit f : [0, 1] ⟶ [0, 1] une fonction continue, f non identiquement nulle, telle

que ∫_{0}^{1} f(x)(1 − f(x))dx = 0. Montrer que f = 1 sur [0, 1]

Par hypothèse 0 ≤ f(x) ≤ 1,ce qui implique que f(x)(1 − f(x)) ≥ 0 sur [0, 1], il en suit d’après la proposition ? que f(x)(1 − f(x)) = 0 pour tout x ∈ [0, 1] et par conséquent pour tout x ∈ [0, 1] nous avons soit f(x) = 0, soit f(x) = 1, autrement dit l’image par f de l’intervalle [0, 1] est incluse dans l’ensemble {0, 1}, or par le théorème des valeurs intermédiaires l’image par une application continue d’un intervalle est un intervalle, et forcément soit f([0, 1]) = 0, soit f([0, 1]) = 1, le premier cas est exclus par hypothèse et alors f = 1 sur [0, 1].

Exercice 6 Pour x ∈]0, 1[∪]1, +∞[ on pose

G(x) = ∫_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{dt}{(ln t)^{2}}

a) Montrer que G est bien définie.

b) Etudier les variations de la fonction g(t) = \frac{1}{(ln t)^{2}} sur ]0, 1[, puis sur ]1, +∞[.

c) Minorer et majorer la fonction g(t) = \frac{1}{(ln t)^{2}} sur l’intervalle [x^{2}, x^{3}].

d) Encadrer G sur ]1, +∞[ et sur ]0, 1[, justifier l’existence des limites de G en 0 et en +∞ et les calculer.

Solution a) La fonction x ↦ \frac{1}{(ln t)^{2}} est continue, dérivable sur ]0, 1[∪]0, +∞[ car x ↦

(ln t)^{2} est continue, dérivable et ne s’annule jamais sur ]0, 1[∪]0, +∞[. Si x ∈]0, 1[ l’intervalle [x^{3}, x^{2}] est inclus dans ]0, 1[ donc G(x) est l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermée et est bien définie. De même si x > 1 alors [x^{2}, x^{3}] est inclus dans ]1, +∞[ et G(x) étant l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermée est bien définie.

b) Sur ]0, 1[ la fonction ln est croissante mais négative, donc la fonction x ↦ (ln(x))^{2} est décroissante et positive et par conséquent g est croissante sur ]0, 1[. Par les mêmes arguments on vérifie que g est décroissante sur ]1, +∞[.

c) Si x ∈]0, 1[ alors x^{3} < x^{2} ce qui implique que pour t ∈ [x^{3}, x^{2}] on a g(x^{3}) ≤ g(t) ≤ g(x^{2}). Par contre si x ∈]1, +∞[ alors x^{2} < x^{3} et pour t ∈ [x^{2}, x^{3}] on aura g(x^{3}) ≤ g(t) ≤ g(x^{2}).

d) Si x ∈]0, 1[ alors

∫_{x^{3}}^{x^{2}} g(x^{3})dx ≤ ∫_{x^{3}}^{x^{2}} g(t)dt ≤ ∫_{x^{3}}^{x^{2}} g(x^{2})dx,

\frac{x^{2} − x^{3}}{(ln x^{3})^{2}} ≤ ∫_{x^{3}}^{x^{2}} g(t)dt ≤ \frac{x^{2} − x^{3}}{(ln x^{2})^{2}} ,

ce qui nous donne :

\frac{x^{3} − x^{2}}{4(ln x)^{2}} ≤ G(x) ≤ \frac{x^{3} − x^{2}}{9(ln x)^{2}} < 0.

Lorsque x → 0^{+} \frac{x^{3} − x^{2}}{(ln x)^{2}} tend vers 0^{−} donc par le théorème des gendarmes

lim_{x→0^{+}} G(x) = 0^{−}

Si x ∈]1, +∞[ nous aurons de même que

\frac{x^{3} − x^{2}}{4(ln x)^{2}} ≤ G(x) ≤ \frac{x^{3} − x^{2}}{9(ln x)^{2}} ,

or lim_{x→+∞} \frac{x^{3} − x^{2}}{4(ln x)^{2}} = +∞ donc par le théorème des gendarmes nous aurons

lim_{x→+∞} G(x) = +∞

1.3 exercices

1) Les suites suivantes sont des sommes de Riemann sur l’intervalle [0, 1] pour la partition

régulière : 0 < \frac{1}{n}, \frac{2}{n} < … < \frac{n − 1}{n} < 1. Reconnaître la fonction et écrire la limite de ces suites, lorsque l’entier n tend vers l’infini, sous la forme d’une intégrale définie :

a)S_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1} + \frac{2}{n^{2} + 2^{2}} + ... + \frac{n}{n^{2} + n^{2}}

b)S_{n} = \frac{1}{n^{3} + 1} + \frac{2^{2}}{n^{3} + 2^{3}} + ... + \frac{(n − 1)^{2}}{n^{3} + (n − 1)^{3}}

2) a) Soit la fonction définie sur IR par g(x) = sin x − x + x^{3}/6. Montrer que g est de classe C^{+∞} et calculer g′, g′′, g′′′. Faire un tableau des variations de g.

b) En déduire que ∀x ∈ IR_{+} x − \frac{x^{3}}{6} ≤ sin x ≤ x

c) Soit u_{n} = ∑_{k=0}^{n−1} sin(\frac{π}{n + k}) et v_{n} = ∑_{k=0}^{n−1} \frac{π}{n + k}, montrer que |u_{n} − v_{n}| ≤ \frac{π^{3}}{6n^{2}}

d) Mettre en évidence v_{n} comme une somme de Riemann sur l’intervalle [0, 1]. Calculer la limite de v_{n} quand n tend vers l’infini. En déduire la limite de u_{n}. Réponses

1) a) Nous pouvons écrire :

S_{n} = \frac{1}{n}(\frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}^{2}} + \frac{\frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n}^{2}} + ... + \frac{1}{1 + \frac{n}{n}^{2}} )

si l’on pose f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} on aura

S_{n} = \frac{1}{n}(f(\frac{1}{n}) + f(\frac{2}{n}) + … + f(1))

ce qui montre que S_{n} est une somme de Riemann et converge lorsque n → +∞ et

lim_{n→+∞} S_{n} = ∫_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^{2}} dx.

1.3. EXERCICES 19 b) Nous avons :

S_{n} = \frac{1}{n}(\frac{\frac{1}{n} 2}{1 + \frac{1}{n}^{3}} + \frac{\frac{2}{n} 2}{1 + \frac{2}{n}^{3}} + ... + \frac{\frac{n−1}{n} 2}{1 + \frac{n−1}{n}^{3}} )

si l’on pose f(x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} on aura

S_{n} = \frac{1}{n}(f(0) + f(\frac{1}{n}) + … + f(\frac{n − 1}{n}))

ce qui montre que S_{n} est une somme de Riemann et converge lorsque n → +∞ et

lim_{n→+∞} S_{n} = ∫_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} dx.

2) g est de classe C^{+∞}sur IR car somme de fonctions de classe C^{+∞}sur IR. Nous avons que pur tout x ∈ IR:

g′(x) = cos x − 1 + \frac{x^{2}}{2}

g′′(x) = x − sin x g′′′(x) = 1 − cos x

d’où par l’étude de g′′′ nous pouvons obtenir le tableau des variations de g

x 0 +∞
+∞
[figure: g(x)]

0

+∞
[figure: g′(x)]

0

+∞
[figure: g′′(x)]

0

g′′′(x)  +

Tableau des variations de g b) Pour tout x ≥ 0 g′′(x) ≥ 0 entraîne que sin x ≤ x, et g(x) ≥ 0 entraîne que sin x ≥ x − x^{3}/6.

c) Nous avons :

|u_{n} − v_{n}| = | ∑_{k=0}^{n−1} sin(\frac{π}{n + k}) − ∑_{k=0}^{n−1} \frac{π}{n + k} |

= | ∑_{k=0}^{n−1}(sin(\frac{π}{n + k}) − \frac{π}{n + k})|

≤ ∑_{k=0}^{n−1} | sin(\frac{π}{n + k}) − \frac{π}{n + k} |

≤ ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{6}(\frac{π}{n + k})^{3}

≤ \frac{π^{3}}{6n^{2}}

où nous avons utilisé b) et majoré chaque terme de la somme par \frac{π^{3}}{6n^{3}} .

d) Nous pouvons écrire

v_{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} \frac{π}{1 + \frac{k}{n}}

, donc v_{n} est une somme de Riemann de la fonction x ↦ \frac{π}{1 + x} sur [0, 1], cette fonction est

continue sur [0, 1] donc la suite (v_{n})_{n∈IN^{∗}} converge et

lim_{n→+∞} v_{n} = ∫_{0}^{1} \frac{πdx}{1 + x}

D’autre part la relation obtenue en c) nous montre par le théorème du gendarme que lim_{n→+∞} u_{n} − v_{n} = 0, or v_{n} est une suite convergente donc u_{n} est aussi une suite convergente

et lim_{n→+∞} u_{n} = lim_{n→+∞} v_{n} = ∫_{0}^{1} \frac{πdx}{1 + x}

Remarque 7 Cette dernière partie de l’exercice est souvent escamotée par les étudiants qui y voient une rallonge inutile!

Problèmes

Soient a < b ∈ ℝ. Les problèmes décrivent deux méthodes permettant le calcul

numérique approchée d’une intégrale ∫_{a}^{b} ϕ(x)dx à une précision donnée. On illustre ces méthodes en prenant la fonction ϕ définie par ϕ(x) = e^{−x^{2}}, la précision demandée étant 10^{−4}.

Problème 1

Etudier les variations de la fonction ϕ définie sur ℝ par ϕ(u) = e^{−u} et tracer son graphe.

a) Soit n ∈ ℕ^{∗}. Calculer ϕ′′, ϕ′′′, …, ϕ^{(n)} et montrer que pour tout u > 0 il existe c ∈]0, u[ tel que

e^{−u} = ∑_{i=0}^{n−1}(−1)^{i} \frac{u^{i}}{i!} + (−1)^{n} \frac{u^{n}}{n!} e^{−c}

b) En déduire que pour tout u > 0 on a l’inégalité :

| e^{−u} − ∑_{i=0}^{n−1}(−1)^{i} \frac{u^{i}}{i!} |< \frac{u^{n}}{n!}

c) On pose :

A_{n} = ∫_{0}^{1} e^{−u^{2}}du − (1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{2!5} − \frac{1}{3!7} + … + \frac{(−1)^{n−1}}{(n − 1)!(2n − 1)})

Déduire de l’inégalité précédente un majorant de | A_{n} |.

d) Déterminer n tel que | A_{n} |< 10^{−5}. En déduire une valeur approchée de ∫_{0}^{1} e^{−u^{2}}du à

10^{−4} près.

e) Utiiser la même méthode pour déduire une valeur approchée de ∫_{0}^{3} e^{−u^{2}}du à 10^{−4} près.

Problème 2

1. On rappelle le théorème de Rolle : Soit f une fonction réelle continue sur [a, b] dérivable sur ]a, b[ et vérifiant f(a) = f(b), alors il existe un élément c ∈]a, b[ tel que f′(c) = 0. On admettra également le théorème suivant : Soit f une fonction réelle continue sur [a, b]

alors la fonction F définie sur [a, b] par F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt est dérivable sur [a, b] et F′(x) =

f(x) pour tout x ∈ [a, b].

Dans ce qui suit f est une fonction de classe C^{4} sur [a, b].

1.1 Soit K le réel unique défini par :

∫_{a}^{b} f(t)dt = \frac{b − a}{2}[f(b) + f(a)] − \frac{(b − a)^{2}}{12} [f′(b) − f′(a)] + \frac{(b − a)^{5}}{720} K

On définit la fonction g sur [a, b] par :

g(x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt − [\frac{x − a}{2}[f(x) + f(a)] − \frac{(x − a)^{2}}{12} [f′(x) − f′(a)] + \frac{(x − a)^{5}}{720} K]

Calculer g′, g′′, g′′′ et vérifier que g(a) = g′(a) = g′′(a) = 0. Appliquer succesivement le théorème de Rolle à g, g′, g′′ et en déduire l’existence de α ∈]a, b[ tel que K = f^{(4)}(α).

1.2 Soit n ∈ ℕ^{∗}. On partage [a, b] en n segments égaux au moyen des points x_{i} = a +

\frac{i(b − a)}{n} (i = 0, 1, …, n).

1.2.1 Pour i = 0, 1, …, n − 1, montrer l’existence de α_{i} ∈]x_{i}, x_{i+1}[ tel que

∫_{x_{i}}^{x_{i+1}} f(t)dt = \frac{b − a}{2n}[f(x_{i+1}) + f(x_{i})] − \frac{(b − a)^{2}}{12n^{2}} [f′(x_{i+1}) − f′(x_{i})] + \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} f^{(4)}(α_{i})

1.2.2 On pose :

I_{n} = \frac{b − a}{2n}[f(b) + f(a) + 2 ∑_{i=1}^{n−1} f(x_{i})] − \frac{(b − a)^{2}}{12n^{2}} [f′(b) − f′(a)]

Montrer que

| ∫_{a}^{b} f(t)dt − I_{n} |< \frac{(b − a)^{5}}{720n^{4}} M

où M est un majorant de | f^{(4)}(x) | sur [a, b].

1.2.3 Conclure que lim_{n→+∞} I_{n} = ∫_{a}^{b} f(t)dt.

2.

2.1 Etudier les variations de la fonction ϕ définie sur ℝ par ϕ(x) = e^{−x^{2}} et tracer son graphe.

2.2 Calculer ϕ′′, ϕ′′′, ϕ^{(4)}, ϕ^{(5)} et étudier les variations de ϕ^{(4)} sur l’intervalle [0, 1]. En déduire que | ϕ^{(4)}(x) |≤ 12 sur [0, 1].

2.3 Déterminer un entier naturel n tel que I_{n} soit une valeur approchée de ∫_{0}^{1} ϕ(t)dt à

5 × 10^{−5} près. Donner une valeur approchée à 10^{−4} près de ∫_{0}^{1} ϕ(t)dt.

Solution du Problème 2 1.1 Par le théorème admis dans l’énoncé, g est une fonction dérivable donc continue sur [a, b]. Par les règles de calcul sur les dérivées et le théorème cité dans l’énoncé nous avons :

g′(x) = \frac{1}{2}[f(x) − f(a)] − \frac{x − a}{3}f′(x) − \frac{(x − a)}{6}f′(a) + \frac{(x − a)^{2}}{12} f′′(x) − \frac{5(x − a)^{4}}{720} K

D’où puisque f est de classe C^{4} sur [a, b], g sera de classe C^{3} sur [a, b]. et :

g′′(x) = \frac{1}{6}[f′(x) − f′(a)] − \frac{(x − a)}{6}f′′(x) + \frac{(x − a)^{2}}{12} f′′′(x) − \frac{(x − a)^{3}}{36} K

g′′′(x) = \frac{(x − a)^{2}}{12} [f^{(4)}(x) − K]

remplacant a dans g(x), g′(x), g′′(x) nous obtenons

g(a) = g′(a) = g′′(a) = 0

D’autre part g(a) = g(b) = 0. Les hypothèses du théorème de Rolle étant satisfaites pour g, il existe c_{1} ∈]a, b[ tel que g′(c_{1}) = 0. La fonction g est de classe C^{3} sur [a, b] donc les hypothèses du théorème de Rolle étant satisfaites pour g′ sur [a, c_{1}], il existe c_{2} ∈]a, c_{1}[ tel que g′′(c_{2}) = 0. Nous appliquons le théorème de Rolle à g′′ sur [a, c_{2}] donc il existe c_{3} ∈]a, c_{2}[ tel que g′′′(c_{3}) = 0. Remplacant c_{3} dans g′′′(x) nous avons:

g′′′(c_{3}) = \frac{(c_{3} − a)^{2}}{12} [f^{(4)}(c_{3}) − K] = 0

or par définition de c_{3} ∈]a, c_{2}[ donc \frac{(c_{3} − a)^{2}}{12} ≠ 0 et forcément

f^{(4)}(c_{3}) − K = 0 et f^{(4)}(c_{3}) = K

nouas avons donc démontré lexistence de α = c_{3} ∈]a, b[ tel que f^{(4)}(c_{3}) = K. 1.2 f est de classe C^{4} sur [a, b] donc sur [x_{i}, x_{i+1}], nous pouvons appliquer la partie 1.1 sur l’intervalle [x_{i}, x_{i+1}] il existe donc α_{i} ∈]x_{i}, x_{i+1}[ tel que

∫_{x_{i}}^{x_{i+1}} f(t)dt = \frac{b − a}{2n}[f(x_{i+1}) + f(x_{i})] − \frac{(b − a)^{2}}{12n^{2}} [f′(x_{i+1}) − f′(x_{i})] + \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} f^{(4)}(α_{i})

1.2.2 Par la relation de Chasles nous avons que

∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{x_{0}}^{x_{1}} f(t)dt + ∫_{x_{1}}^{x_{2}} f(t)dt + … + ∫_{x_{n−1}}^{x_{n}} f(t)dt

24 CHAPITRE 1. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES SUR [a, b] et

∫_{a}^{b} f(x)dx = \frac{b − a}{2n}[f(x_{1}) + f(x_{0})] − \frac{(b − a)^{2}}{12n^{2}} [f′(x_{1}) − f′(x_{0})] + \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} f^{(4)}(α_{0})

+ \frac{b − a}{2n}[f(x_{2}) + f(x_{1})] − \frac{(b − a)^{2}}{12n^{2}} [f′(x_{2}) − f′(x_{1})] + \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} f^{(4)}(α_{1})

…

+ \frac{b − a}{2n}[f(x_{n}) + f(x_{n−1})] − \frac{(b − a)^{2}}{12n^{2}} [f′(x_{n}) − f′(x_{n−1})] + \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} f^{(4)}(α_{n−1})

D’où effectuant la somme terme à terme nous obtenons :

∫_{a}^{b} f(x)dx = \frac{b − a}{2n}[f(b) + f(a) + 2 ∑_{i=1}^{n−1} f(x_{i})]
− \frac{(b − a)^{2}}{12n^{2}} [f′(b) − f′(a)] + \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} ∑_{i=0}^{n−1} f^{(4)}(α_{i})

par conséquent

∫_{a}^{b} f(x)dx − I_{n} = \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} ∑_{i=0}^{n−1} f^{(4)}(α_{i})

et

| ∫_{a}^{b} f(x)dx − I_{n} | = \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} | ∑_{i=0}^{n−1} f^{(4)}(α_{i}) |
≤ \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} ∑_{i=0}^{n−1} | f^{(4)}(α_{i}) |
≤ \frac{(b − a)^{5}}{720n^{5}} ∑_{i=0}^{n−1} M
= \frac{(b − a)^{5}}{720n^{4}} M

où M est un majorant de | f^{(4)}(x) | sur [a, b]. 1.2.3 \frac{(b − a)^{5}}{720n^{4}} M tend vers 0 quand n → +∞ donc par le théorème du gendarme

lim_{n→+∞} | ∫_{a}^{b} f(x)dx − I_{n} |= 0

d’où

lim_{n→+∞} ∫_{a}^{b} f(x)dx − I_{n} = 0

1.3. EXERCICES 25 ce qui montre que la suite I_{n} converge vers ∫_{a}^{b} f(x)dx. 2.1 ϕ est une fonction paire de classe C^{+∞} sur IR. ϕ′(x) = −2xe^{−x^{2}} d’où ϕ′(x) < 0 pour x > 0, aussi lim_{x→+∞} ϕ(x) = 0

x 0 +∞

1

[figure: ϕ(x)]

0

ϕ′(x) 0

Tableau de variations et le graphe de ϕ.

Calculons les dérivées d’ordre supérieur de ϕ :

ϕ′′(x) = (−2 + 4x^{2})e^{−x^{2}}
ϕ′′′(x) = (12x − 8x^{3})e^{−x^{2}}
ϕ^{(4)}(x) = (12 − 48x^{2} + 16x^{4})e^{−x^{2}}
ϕ^{(5)}(x) = 8x(−15 + 20x^{2} − 4x^{4})e^{−x^{2}}

d’où ϕ^{(5)}(0) et ϕ^{(5)}(x) > 0 si et seulement si

−15 + 20x^{2} − 4x^{4} > 0

pour factoriser le polynôme −15 + 20x^{2} − 4x^{4} on pose X = x^{2} ’et l’on obtient :

−4x^{4} + 20x^{2} − 15 = −(x − ξ_{1})(x − ξ_{2})(x − ξ_{3})(x − ξ_{4})

où

ξ_{1} = −\sqrt{\frac{5 + \sqrt{10}}{2}} ∼ −2, 020182, ξ_{2} = −\sqrt{\frac{5 − \sqrt{10}}{2}} ∼ −0, 9585,

ξ_{3} = \sqrt{\frac{5 − \sqrt{10}}{2}} ∼ 0, 9585, ξ_{4} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{10}}{2}} ∼ 2, 02018287,

x  0  ξ_{3}  1
12  −20/e
[figure: ϕ^{(4)}(x)]
ϕ^{(5)}(x) 0  -  0  +

Tableau de variations de ϕ^{(4)}.

Nous remarquons que pour majorer | ϕ^{(4)} | sur [0, 1] il faut calculer les valeurs suivantes :

ϕ^{(4)}(0) = 12; ϕ^{(4)}(ξ_{3}) ∼ −7, 419; ϕ^{(4)}(1) ∼ −7, 3575

en conclusion | ϕ^{(4)}(x) |≤ 12 sur [0, 1].

2.3 Pour que I_{n} soit une valeur approchée de ∫_{0}^{1} ϕ(t)dt à 5×10^{−5} près il suffira de déterminer n tel que

\frac{1}{720n^{4}} (12) < 5 × 10^{−5}

doù n^{4} ≥ 334 et n ≥ 5, donc n = 5 convient

Attention.- Pour donner une valeur approchée à 10^{−4} près de ∫_{0}^{1} ϕ(t)dt nous devons tenir aussi compte de l’erreur effectué en calculant I_{5} cela ne pose pas de problème pour la précision demandée car dans I_{5} il y a environ 10 termes et que les calculettes donnent chaque terme avec une précision de 10^{−9}, après un calcul numérique nous obtenons I_{5} = 0, 746820 et finalement

∫_{0}^{1} ϕ(t)dt ∼ 0, 7468 à 10^{−4} près

Chapitre 2

L’intégrale comme une fonction, primitives

2.1 L’intégrale définie comme une fonction

Definition 8 Soit a < b et f une fonction continue sur [a, b] alors pour tout x ∈ [a, b] le nombre ∫_{a}^{x} f(t)dt est bien défini, ce qui permet de définir une fonction F : [a, b] ⟶ IR par

F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt.

Proposition 13 Soit a < b et f une fonction continue sur [a, b] alors la fonction F : [a, b] ⟶ IR définie par F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt est une fonction dérivable sur [a, b] et sa dérivée est f.

Théorème fondamental du calcul intégral Preuve .-Soit x_{0} ∈]a, b[, nous allons montrer que F est dérivable en x_{0} et F′(x_{0}) = f(x_{0}). Par définition

F′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{F (x) − F (x_{0})}{x − x_{0}}

Or

\frac{F (x) − F (x_{0})}{x − x_{0}} = \frac{∫_{a}^{x} f(t)dt − ∫_{a}^{x_{0}} f(t)dt}{x − x_{0}} = \frac{∫_{x_{0}}^{x} f(t)dt}{x − x_{0}}

et

f(x_{0}) = \frac{∫_{x_{0}}^{x} f(x_{0})dt}{x − x_{0}}

d’où

| \frac{F (x) − F (x_{0})}{x − x_{0}} − f(x_{0}) |=| \frac{∫_{x_{0}}^{x} f(t)dt − ∫_{x_{0}}^{x} f(x_{0})dt}{x − x_{0}} |

| \frac{F (x) − F (x_{0})}{x − x_{0}} − f(x_{0}) |=| \frac{1}{x − x_{0}} | | ∫_{x_{0}}^{x}(f(t) − f(x_{0}))dt |

et par conséquent:

| \frac{F (x) − F (x_{0})}{x − x_{0}} − f(x_{0}) |≤| \frac{1}{x − x_{0}} | | ∫_{x_{0}}^{x} | f(t) − f(x_{0}) | dt | .

D’autre part f est continue sur en x_{0}, alors pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que si x ∈]x_{0} − δ, x_{0} + δ[ alors | f(x) − f(x_{0}) |< ε et si t ∈ [x_{0}, x] alors t ∈]x_{0} − δ, x_{0} + δ[, donc | f(t) − f(x_{0}) |< ε et

| ∫_{x_{0}}^{x} | f(t) − f(x_{0}) | dt |≤| x − x_{0} | ε.

Finalement nous avons que pour tout ε > 0

| \frac{F (x) − F (x_{0})}{x − x_{0}} − f(x_{0}) |≤ ε

ce qui par définition signifie que F est dérivable en x_{0} et F′(x_{0}) = f(x_{0}). Si x_{0} = a ou x_{0} = b, la même démonstration s’applique à quelques détails près.

Definition 9 Soit a < b et f une fonction définie sur ]a, b[ nous dirons que f admet une primitive sur ]a, b[ s’il existe une fonction F dérivable sur ]a, b[ et F′(x) = f(x) pour tout x ∈]a, b[. Plus généralement soit I un intervalle (ou une réunion de ces intervalles) de IR de la forme [a, b], [a, b[,]a, b],ou ]a, b[, alors nous dirons que f admet une primitive sur I s’il existe une fonction F dérivable sur I et F′(x) = f(x) pour tout x ∈ I.

Proposition 14 Soit a < b et f une fonction continue sur [a, b] alors f admet une primitive sur [a, b].

Preuve .-Il suit du théorème fondamental du calcul intégral que la fonction F : [a, b] ⟶ IR définie par F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt est dérivable et sa dérivée est f, cela signifie que F est une primitive de f sur [a, b].

Proposition 15 Si F est une primitive de f sur ]a, b[ alors F + c l’est aussi, où c est une constante réelle. Reciproquement si F, G sont deux primitives de f sur ]a, b[ alors il existe une constante réelle c tel que G = F + c.

Preuve .-C’est une conséquence du fait que la dérivée d’une fonction constante sur un intervalle est nulle et reciproquement si l’on a une fonction h dérivable sur un intervalle et sa dérivée est nulle alors h est la fonction constante sur cet intervalle.

Proposition 16 Soit a < b et f une fonction continue sur ]a, b[ alors f admet une primitive sur ]a, b[.

Preuve .-soit c = (b − a)/2, considérons la fonction F : ]a, b[⟶ IR définie par F (x) = ∫_{c}^{x} f(t)dt. soit x ∈]a, b[ supposons d’abord que x > c soit alors d ∈]a, b[ tel que c < x < d Il suit du théorème fondamental du calcul intégral que F est une fonction dérivable sur [c, d] et que sa dérivée est f, en particulier F est dérivable en x et F′(x) = f(x), et aussi F est dérivable à droite en c et F′_{d}(c) = f(c). Nous faisons de même si x < c. En conclusion F est dérivable en tout point x de ]a, b[−{c} et F est dérivable à droite et à gauche en c et F′_{d}(c) = f(c) = F′_{g}(c). Il suit que F est une primitive de f sur ]a, b[.

Exemple 9 Les formules connues des dérivées nous donnent que

• c) Soit n ∈ IN, La fonction x ↦ x^{n} admet x ↦ \frac{x^{n+1}}{n+1} comme primitive sur IR.

• c) Soit n ∈ ZZ, n ≠ −1 La fonction x ↦ x^{n} admet x ↦ \frac{x^{n+1}}{n+1} comme primitive sur IR^{∗}.

• c) Soit α ∈ IR − l Q, La fonction x ↦ x^{α} admet x ↦ \frac{x^{α+1}}{α+1} comme primitive sur IR_{+}^{∗}.

• a) La fonction cos admet sin comme primitive sur IR.

• b) La fonction sin admet − cos comme primitive sur IR.

• c) La fonction x ↦ 1/x admet x ↦ ln | x | comme primitive sur IR^{∗}.

• d) La fonction x ↦ e^{x} admet x ↦ e^{x} comme primitive sur IR.

• e) La fonction x ↦ \frac{1}{x^{2} + 1} admet x ↦ Arctanx comme primitive sur IR.

Proposition 17 (Calcul d’une intégrale définie à l’aide d’une primitive) soit a < b, f une fonction continue sur ]a, b[ et G une primitive de f sur ]a, b[ alors pour tout c, d ∈]a, b[ :

∫_{c}^{d} f(t)dt = G(d) − G(c).

Preuve .-Soit α ∈]a, b[, considérons la fonction F : ]a, b[⟶ IR définie par

F (x) = ∫_{α}^{x} f(t)dt.

Il suit de la relation de Chasles que

∫_{c}^{d} f(t)dt = ∫_{α}^{d} f(t)dt − ∫_{α}^{c} f(t)dt

d’où

∫_{c}^{d} f(t)dt = F (d) − F (c).

Or F (d) − F (c) = G(d) − G(c) car F et G diffèrent par une constante.

Exemple 10 Montrer que la fonction G : ]0, 1[⟶ IR définie par

G(x) = ∫ x^{3}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{ln t}dt

est dérivable sur ]0, 1[, calculer sa dérivée.

Solution La fonction x ↦ \frac{1}{ln t} est continue sur ]0, 1[ donc elle admet une primitive F sur

]0, 1[, d’autre part l’intervalle [\frac{1}{2}, x^{3}] est inclus dans ]0, 1[. Nous avons donc :

G(x) = F (x^{3}) − F (\frac{1}{2})

ce qui montre que G est dérivable sur ]0, 1[ car, x ↦ F (x^{3}) est la composée de deux fonctions dérivables et G est une somme des fonctions dérivables, par les formules de dérivation nous calculons sa dérivée :

G′(x) = 3x^{2}f(x^{3}) = \frac{x^{2}}{ln x}

Exemple 11 Montrer que la fonction B : ]0, 1[⟶ IR définie par

B(x) = ∫_{x}^{x^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{sin t}dt

est dérivable sur ]0, 1[, calculer sa dérivée.

Solution La fonction x ↦ \frac{1}{sin t} est continue sur ]0, π[ donc elle admet une primitive F

sur ]0, π[, d’autre part l’intervalle [x, x^{\frac{3}{2}} ] est inclus dans ]0, 1[ pour x ∈]0, 1[. Nous avons donc :

B(x) = F (x^{\frac{3}{2}} ) − F (x)

ce qui montre que B est dérivable sur ]0, 1[ et nous permet de calculer sa dérivée :

G′(x) = \frac{3x^{− \frac{1}{2}}}{2 sin x^{\frac{3}{2}}} − \frac{1}{sin x}.

Exercice 7 Soit la fonction H : [0, +∞[⟶ IR définie par :

H(x) = \{ \begin{matrix}∫{x^{3} \atop x^{2}} \frac{dt}{\sqrt{|ln t|}} & si x ∈]0, 1[∪]1, +∞[ \\ 0 & si x ∈ \{0, 1\} \end{matrix}

• a) Montrer que H est bien définie.

• b) Etudier les variations de la fonction f(t) = \frac{1}{\sqrt{| ln t |}} sur ]0, 1[, puis sur ]1, +∞[.

• c) Minorer et majorer la fonction f(t) = \frac{1}{\sqrt{| ln t |}} sur l’intervalle [x^{2}, x^{3}].

• d) A l’aide de c) encadrer H sur ]0, 1[ par deux fonctions. Encadrer H sur ]1, +∞[.

• e) Justifier l’existence de la limite de H en 0^{+} et la calculer.

• f) Justifier l’existence des limites de H en 1^{−} et en 1^{+}, et les calculer.

• g) Justifier l’existence de la limite de H en +∞ et la calculer. Calculer de même

lim_{x→+∞} \frac{H(x)}{x}, en déduire que le graphe de H a une branche parabolique de direction l’axe Oy.

• h) Montrer que H est dérivable sur ]0, 1[∪]1, +∞[ et calculer sa dérivée. Montrer que H est continue sur [0, +∞[.

• i) Etudier les variations de H sur ]0, 1[, puis sur ]1, +∞[.

• j) Calculer lim_{x→0^{+}} H′(x), lim_{x→1^{−}} H′(x) , lim_{x→1^{+}} H′(x). A l’aide de (2) donner une valeur approchée de H(\sqrt{\frac{2}{3}}).

• k) Dresser le tableau des variations de H et tracer son graphe.

Solution a) La fonction f(t) = \frac{1}{\sqrt{| ln t |}} est continue, dérivable et ne s’annule jamais sur

]0, 1[∪]0, +∞[. Si x ∈]0, 1[ l’intervalle [x^{3}, x^{2}] est inclus dans ]0, 1[ donc H(x) est l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermé et est bien définie. De même si x > 1 alors [x^{2}, x^{3}] est inclus dans ]0, +∞[ et H(x) étant l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermé est bien définie.

b) Sur ]0, 1[ la fonction ln est croissante mais négative, donc la fonction x ↦| ln(x) | est décroissante et positive, la fonction racine carré est croissante, et la fonction x ↦ 1/x est décroissante, par conséquent f est croissante sur ]0, 1[. Par les mêmes arguments on vérifie que f est décroissante sur ]1, +∞[. c) Si x ∈]0, 1[ alors x^{3} < x^{2} ce qui implique que pour t ∈ [x^{3}, x^{2}] on a f(x^{3}) ≤ f(t) ≤ f(x^{2}), donc

si x ∈]0, 1[alors \frac{1}{\sqrt{3 | ln x |}} ≤ f(t) ≤ \frac{1}{\sqrt{2 | ln x |}}.

Par contre si x ∈]1, +∞[ alors x^{2} < x^{3} et pour t ∈ [x^{2}, x^{3}] on aura f(x^{3}) ≤ f(t) ≤ f(x^{2}), donc

si x ∈]1, +∞[alors \frac{1}{\sqrt{3 | ln x |}} ≤ f(t) ≤ \frac{1}{\sqrt{2 | ln x |}}.

d) Si x ∈]0, 1[ alors

∫_{x^{3}}^{x^{2}} f(x^{3})dx ≤ ∫_{x^{3}}^{x^{2}} f(t)dt ≤ ∫_{x^{3}}^{x^{2}} f(x^{2})dx,

\frac{x^{2} − x^{3}}{\sqrt{| ln x^{3} |}} ≤ ∫_{x^{3}}^{x^{2}} f(t)dt ≤ \frac{x^{2} − x^{3}}{\sqrt{| ln x^{2} |}},

ce qui nous donne :

\frac{x^{3} − x^{2}}{\sqrt{2 | ln x |}} ≤ H(x) ≤ \frac{x^{3} − x^{2}}{\sqrt{3 | ln x |}} < 0.  (1)

Si x ∈]1, +∞[ nous aurons de même que

\frac{x^{3} − x^{2}}{\sqrt{3 | ln x |}} ≤ H(x) ≤ \frac{x^{3} − x^{2}}{\sqrt{2 | ln x |}}  (2).

e) Lorsque x → 0^{+} en utilisant la relation (1), le fait que lim_{x→0^{+}} \frac{x^{3} − x^{2}}{\sqrt{2 | ln x |}} = 0^{−} et par le

théorème des gendarmes nous obtenons que lim_{x→0^{+}} H(x) = 0^{−}.

f) Étudions la limite en 1^{−}, pour x ∈]0, 1[ d’après (1) nous avons :

\frac{x^{3} − x^{2}}{\sqrt{2 | ln x |}} ≤ H(x) ≤ \frac{x^{3} − x^{2}}{\sqrt{3 | ln x |}} < 0,

or

lim_{x→1^{−}} \frac{x^{3} − x^{2}}{\sqrt{| ln x |}} = lim_{u→0^{+}} \frac{−u(1 − u)^{2}}{\sqrt{| ln(1 − u) |}},

où nous avons posé x = 1 − u (lorsque x → 1^{−} nous avons que u → 0^{+}), et nous pouvons utiliser le développement limité au voisinage de u = 0 :

ln(1 − u) = −u + uε(u), avec lim_{u→0^{+}} ε(u) = 0

ce qui donne

lim_{u→0^{+}} \frac{−u(1 − u)^{2}}{\sqrt{| ln(1 − u) |}} = lim_{u→0^{+}} \frac{−u(1 − u)^{2}}{\sqrt{| −u + uε(u) |}}

= lim_{u→0^{+}} \frac{−u(1 − u)^{2}}{\sqrt{u | −1 + ε(u) |}}
= lim_{u→0^{+}} \frac{−u(1 − u)^{2}}{\sqrt{u}\sqrt{| −1 + ε(u) |}}
= 0

Il en suit appliquant le théorème des gendarmes que

lim_{x→1^{−}} H(x) = 0.

Utilisant (2) et des méthodes analogues nous aurons que

lim_{x→1^{+}} H(x) = 0.

g) Si x ∈]1, +∞[, utilisant (2), le fait que

lim_{x→+∞} \frac{x^{3} − x^{2}}{\sqrt{3 | ln x |}} = lim_{x→+∞} \sqrt{\frac{x}{ln x}}(x^{\frac{3}{2}} )(x − 1) = +∞

par le théorème de la croissance comparée en +∞ entre la fonction puissance et la fonction logarithme. Utilisant le théorème des gendarmes nous aurons

lim_{x→+∞} H(x) = +∞.

Par les mêmes arguments nous aurons que :

lim_{x→+∞} \frac{H(x)}{x} = +∞

et le graphe de H a une branche parabolique de direction l’axe Oy.

h) la fonction f est continue sur l’intervalle ]0, 1[ donc elle admet une primitive sur ]0, 1[. De même f admet une primitive sur ]1, +∞[. Soit F une primitive de f sur ]0, 1[∪]1, +∞[. Alors nous aurons :

H(x) = F (x^{3}) − F (x^{2})  (3)

Attention Cette formule est possible car l’intervalle [x^{2}, x^{3}] est inclus dans un intervalle de continuité de f. Il suit de (3) que H est dérivable sur ]0, 1[∪]1, +∞[ et

∀x ∈]0, 1[∪]1, +∞[ : H′(x) = \frac{3x^{2}}{\sqrt{3 | ln x |}} − \frac{2x}{\sqrt{2 | ln x |}}

ou

∀x ∈]0, 1[∪]1, +∞[ : H′(x) = \frac{x(\sqrt{3}x − \sqrt{2})}{\sqrt{| ln x |}}  (4)

En particulier H est continue sur ]0, 1[∪]1, +∞[, et d’après e) et f) H est continue en x = 0 et x = 0. Donc H est continue sur [0, +∞[

i) Il en suit de (4) que

H′(x) > 0 ⟺ \sqrt{3}x − \sqrt{2} > 0 ⟺ x > \sqrt{\frac{2}{3}} > 0

nous en déduisons que H est décroissante sur ]0, \sqrt{\frac{2}{3}}[, croissante sur ]\sqrt{\frac{2}{3}}, 1[ et sur ]1, +∞[.

En particulier H a un minimum en x = \sqrt{\frac{2}{3}}.

j) D’après (4) on calcule sans difficulté que

lim_{x→1^{−}} H′(x) = +∞, lim_{x→1^{+}} H′(x) = +∞ lim_{x→0^{+}} H′(x) = 0.

En posant x = \sqrt{\frac{2}{3}} dans (2) nous obtenons

−0, 1921 < H(\sqrt{\frac{2}{3}}) < −0, 1568

ce qui nous donne une valeur approchée de H(\sqrt{\frac{2}{3}}) d’environ −0, 18.

Remarque 8 Le calcul des limites de la dérivée en 0, 1^{−}1^{+}nous permet de tracer les tangentes en ces points dans le graphe de H.

h)

x  0  \sqrt{\frac{2}{3}}  1  +∞
H(x) 0  ∼ −0, 18  0  +∞

[figure]
H′(x) 0  -  0  +  +∞ || +∞  +

Le graphe de H et son tableau des variations

2.2 Méthodes de calcul des primitives

Proposition 18 Intégration par changement de variable Soit f une fonction continue sur ]a, b[ et ϕ: ]α, β[⟶]a, b[ une fonction de classe C^{1}. Soit F une primitive de f sur ]a, b[ alors la fonction G(t) = F (ϕ(t)) est une primitive de la fonction t ↦ f((ϕ(t))ϕ′(t) sur ]α, β[.

Preuve .-En effet G est dérivable sur ]α, β[ étant la composée de fonctions dérivables et le calcul de la dérivée d’une fonction composée nous donne le resultat.

Proposition 19 Soit f une fonction continue sur [a, b] et ϕ: [α, β] ⟶ [a, b] une fonction de classe C^{1} telle que ϕ(α) = a , ϕ(β) = b alors

∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{α}^{β} f(ϕ(t))ϕ′(t)dt

Preuve .-Soit F une primitive de f sur [a, b] alors la fonction G = F ∘ ϕ est une primitive de la fonction (f ∘ ϕ)ϕ′ sur [α, β] ce qui nous donne :

∫_{a}^{b} f(x)dx = F (b) − F (a) = G(β) − G(α) = ∫_{α}^{β} f(ϕ(t))ϕ′(t)dt

Proposition 20 Intégration par parties Soit f, g deux fonctions de classe C^{1} sur [a, b]. Alors

∫_{a}^{b} f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} f′(x)g(x)dx

Preuve .-Les fonctions fg′, f′g sont continues sur [a, b].donc les integrales ci-dessus sont bien définies et le résultat suit du fait que fg est une primitive de fg′ + f′g sur [a, b].

Corollaire 2 Intégration par parties Soit f, g deux fonctions de classe C^{1} sur [a, b]. Alors

∫_{a}^{x} f(t)g′(t)dt = f(x)g(x) − f(a)g(a) − ∫_{a}^{x} f′(t)g(t)dt

2.3 Exercices

1) f étant une fonction continue sur R, montrer que x ↦ ∫_{x}^{x^{2}+1} f(t)dt est une fonction dérivable de x. Calculer sa dérivée.

2) Déterminer les fonctions continues f telles que

F (x) = ∫_{x−1}^{x+1} f(t)dt

soit constante.

3) Pour n ∈ IN, on considére l’intégrale I_{n} = ∫_{−1}^{1}(x^{2} − 1)^{n}dx.

a) A l’aide d’une intégration par parties, démontrer la formule de récurrence

I_{n} = −\frac{2n}{2n + 1}I_{n−1}

b) En déduire la valeur de I_{n}.

4) Soit f une fonction définie et continue sur [a, b] qui vérifie : f(a + b − x) = f(x) pour tout x ∈ [a, b].

a) Que peut-on dire du graphe de f

b) A l’aide d’un changement de variable simple, montrer que

∫_{a}^{b} xf(x)dx = \frac{a + b}{2} ∫_{a}^{b} f(x)dx.

c) Appliquer ce qui précède au calcul de I = ∫_{0}^{π} \frac{x sin x}{cos^{2} x}dx.

5) Calculer la dérivée de la fonction :

f: x ↦ Arc sin \frac{2x}{1 + x^{2}} + 2Arc tan x.

En déduire une évaluation simple des valeurs de f(x) suivant les valeurs de x.

6) Soit f une fonction continue et dérivable sur un intervalle ouvert contenant [a, b].

a) Soit h > 0 et α tels que α, α + h ∈ [a, b]. On considère la fonction

ϕ(x) = ∫_{α}^{α+x} f(t)dt − hf(α),

pour x ∈ [0, h]. Appliquer le théorème de Taylor à l’ordre 2 à ϕ sur l’intervalle [0, h] et démontrer qu’ il existe un nombre ξ ∈]0, h[ tel que :

ϕ(h) = \frac{h^{2}}{2} f′(α + ξ).

b) Soit n ∈ IN^{∗}, h = \frac{b − a}{n} et x_{i} = a + ih pour 0 ≤ i ≤ n − 1. Montrer que pour tout i il existe ξ_{i} tel que

∫_{x_{i}}^{x_{i}+h} f(t)dt − hf(x_{i}) = \frac{h^{2}}{2} f′(x_{i} + ξ_{i}).

c) Soit n ∈ IN^{∗}, h = \frac{b − a}{n} et x_{i} = a + ih pour 0 ≤ i ≤ n, la somme

I_{n} = Σ_{i=0}^{i=n−1}hf(a + ih)

est appelée l’approximation de I = ∫_{a}^{b} f(t)dt par la méthode des rectangles. Montrer que

|I − I_{n}| ≤ \frac{(b − a)^{2}}{2n} M

où M désigne un majorant de |f′(x)| sur [a, b].

d) Application: Déterminer un entier n tel que I_{n} soit une valeur approchée de ∫_{1}^{2} ln xdx à 10^{−2} près.

7) a) Soient g_{1} et g_{2} deux fonctions continues sur [α, β] et dérivables dans ]α, β[. On pose

A = \frac{g_{1}(β) − g_{1}(α)}{g_{2}(β) − g_{2}(α)}. Montrer que les hypothèses du théorème de Rolle son satifaites par la

fonction définie sur [α, β] par :

x ↦ ϕ(x) = g_{1}(β) − g_{1}(x) − A[g_{2}(β) − g_{2}(x)].

Déduire qu’il existe un nombre c ∈]α, β[ tel que A = \frac{g′_{1}(c)}{g′_{2}(c)}.

b) Soit h > 0 et f une fonction continue sur [α, α + h] et dérivable deux fois dans ]α, α + h[

On considère la fonction définie sur [0, h] par :

h ↦ ψ(h) = ∫_{α}^{α+h} f(t)dt − \frac{h}{2}[f(α) + f(α + h)]

En appliquant deux fois a) aux fonctions h ↦ ψ(h), h ↦ h^{3} sur [0, h], montrer qu’il existe un nombre ξ ∈ [0, h] tel que :

\frac{ψ(h)}{h^{3}} = \frac{−1}{12}f′′(α + ξ).

En déduire dans le cas où f′′ est bornée sur [α, α + h], une majoration de ψ(h).

b) Soit n ∈ IN^{∗}, h = \frac{b − a}{n} et x_{i} = a + ih.

Pour 0 ≤ i ≤ n, la somme

J_{n} = Σ_{i=0}^{i=n−1} \frac{h}{2}[f(a + ih) + f(a + (i + 1)h)]

est appelée l’approximation de I = ∫_{a}^{b} f(t)dt par la méthode des trapèzes . Montrer que

|I − J_{n}| ≤ \frac{(b − a)^{3}}{12n^{2}} M

où M désigne un majorant de |f′′(x)| sur [a, b].

c) Application: Déterminer un entier n tel que J_{n} soit une valeur approchée de ∫_{1}^{2} ln xdx à 10^{−2} près.

8) Calculer les intégrales (par parties)

a) ∫_{1}^{e}(ln x)^{2} dx  b) ∫_{1}^{t} x ln x dx, t > 0

c) ∫_{0}^{1} x^{2}(e^{x} − e^{−x}) dx  d) ∫_{−π}^{π} e^{x} sin x dx

e) ∫_{0}^{t} cos^{2} x dx, cas particulier t = π/8 f) ∫_{0}^{t} ln | 1 − x | dx, t ∈ [0, 1[.

9) Calculer les intégrales (Par changement de variable):

a) ∫_{1}^{t} \frac{ln x}{x} dx  b) ∫_{e}^{t} \frac{dx}{xln^{n}x}, n ∈ N, t > 1

c) ∫_{0}^{1} \frac{2x − 1}{\sqrt{x^{2} − x + 1}} dx d) ∫_{0}^{π/2} sin^{4} x cos x dx

e) ∫_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1 + e^{2x}} dx  f) ∫_{0}^{1/2} \sqrt{1 − x^{2}} dx

10) a) Soit a > 0. Calculer l’intégrale : ∫_{a}^{1} ln x dx. Montrer que ∫_{0}^{1} ln x dx existe et la calculer.

b) Soit a > 0 et n ∈ IN, on pose I_{n}(a) = ∫_{a}^{1} ln^{n} x dx. Etablir une relation de récurrence entre I_{n}(a) et I_{n−1}(a) pour n ≥ 2.

2.4. RÉPONSES 39 c) Montrer par récurrence que I_{n} = ∫_{0}^{1} ln^{n} x dx existe pour tout n. En déduire une relation entre I_{n} et I_{n−1}. Calculer I_{n}.

d) (Facultatif) Soit s_{n} = \frac{1}{I_{0}} + \frac{1}{I_{1}} + ... + \frac{1}{I_{n}}. Quelle est la limite de s_{n} quand n tend vers +∞?

11) Calculer:

a) ∫ \frac{x}{x^{2} + 3x + 2} dx b) ∫ \frac{3x + 1}{5x^{2} − 3x + 1} dx
c) ∫ \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1} dx  d) ∫ \frac{e^{x}}{e^{2x} + 2e^{x} − 1} dx (poser u = e^{x})

2.4 Réponses

8) a) poser u = (ln x)^{2}, dv = dx, I = e − 2

b) poser u = ln x, dv = xdx, I = (1/2)t^{2} ln t − (1/4)t^{2} + (1/4)

c) poser u = x^{2}, dv = (e^{x} − e^{−x}) dx, I = e + 5/e − 4

d) poser u = sin x, dv = e^{x}dx, I = sh(π)

e) u = cos x, dv = cos xdx, I = (1/4) sin 2t + t/2,si t = π/8 I = \sqrt{2}/8 + π/16

f) I = −t − (1 − t) ln(1 − t)r

9) a) poser u = ln x, I = (ln t)^{2}/2

b) poser u = ln x, I = ln t − 1 si n = 0, I = ln(ln t) si n = 1 et I = \frac{1}{n − 1} − \frac{1}{(n − 1)(ln t)^{n−1}} si n ≠ 0, 1

c) poser u = x^{2} − x + 1, I = 0

d) poser u = sin x, I = 1/5

e) poser u = e^{x}, I = Arctan(e) − π/4 40 CHAPITRE 2. L’INTÉGRALE COMME UNE FONCTION, PRIMITIVES f) poser x = sin t, I = \sqrt{3}/8 + π/12

11) a) 2 ln | x + 2 | − ln | x + 1 | +C

b) (3/10) ln | 5x^{2} − 3x + 1 | +(19/5\sqrt{11})Arctan(\frac{10x − 3}{\sqrt{11}}) + C

c) (1/2)x^{2} − (1/2) ln | x^{2} + 1 | +Arctanx + C

d) (\sqrt{2}/4) ln | e^{x} + 1 − \sqrt{2} | −(\sqrt{2}/4) ln | e^{x} + 1 + \sqrt{2} | +C.

Chapitre 3

Extension de l’intégrale définie

3.1 Ce chapitre est incomplet, et sera de loin le plus riche

en exercices et problèmes 3.2 Intégration de fonctions continues par morceaux sur

[a, b].

Definition 10 Soit f une fonction définie sur ]a, b[ et telle que les limites lim_{x→a^{+}} f(x), lim_{x→b^{−}} f(x) existent (i.e. sont des nombres réels) alors par définition ∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{a}^{b} f̃(x)dx, où f̃ est le prolongement par continuité de f à l’intervalle [a, b]. Exemple 12 Soit la fonction f: ]0, +∞[⟶ IR définie par f(x) = \frac{sin x}{x}, nous savons que lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1, donc par définition

∫_{0}^{1} \frac{sin x}{x}dx = ∫_{0}^{1} f̃(x)dx

où f̃ est la fonction définie sur [0, +∞[ par

f̃(x) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x}{x} & si x > 0 \\ 1 & si x = 0 \end{matrix}

Definition 11 Une fonction f : [a, b] ⟶ IR est continue par morceaux s’il existe une partition P : a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b , n ∈ IN^{∗} de [a, b] telle que :

1) f est continue sur ]a_{i}, a_{i+1}[ pour tout i = 0, …, n − 1, 2) pour tout i = 1, …, n − 1 les limites lim_{x→a_{i}^{+}} f(x), lim_{x→a_{i}^{−}} f(x) ainsi que lim_{x→a^{+}} f(x), lim_{x→b^{−}} f(x)

existent (i.e. sont des nombres réels).

3) L’intégrale de a à b de f est par définition :

∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{a}^{a_{1}} f(x)dx + ∫_{a_{1}}^{a_{2}} f(x)dx + … + ∫_{a_{n−1}}^{b} f(x)dx

où ∫_{a_{i}}^{a_{i+1}} f(x)dx = ∫_{a_{i}}^{a_{i+1}} f̃_{i}(x)dx, f̃_{i} étant le prolongement par continuité de f à l’intervalle [a_{i}, a_{i+1}].

Exemple 13 Soit la fonction f: IR^{∗} ⟶ IR définie par f(x) = x ln | x |, nous savons que lim_{x→0} x ln | x |= 0, par le théorème des croissances comparées entre la fonction puissance et la fonction logarithme, donc par définition

∫_{−1}^{2} x ln | x | dx = ∫_{−1}^{2} f̃(x)dx

où f̃ est la fonction définie sur IR par

f̃(x) = \{ \begin{matrix}x ln | x | & si x ≠ 0 \\ 0 & si x = 0 \end{matrix} .

Exemple 14 Soit la fonction f: IR^{∗} ⟶ IR définie par f(x) = \frac{| x |}{sin x}, nous savons que

lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1, donc

lim_{x→0^{−}} f(x) = −1 , lim_{x→0^{+}} f(x) = 1,

par définition

∫_{−1}^{π} 2\frac{| x |}{sin x}dx = ∫_{−1}^{0} f̃_{1}(x)dx + ∫_{0}^{π} f̃_{2}(x)dx

où f̃_{1} est définie sur ] − ∞, 0] et f̃_{2} est définie sur [0, +∞[ par

f̃_{1}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{−x}{sin x} & si x < 0 \\ −1 & si x = 0 \end{matrix} , f̃_{2}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x}{sin x} & si x > 0 \\ 1 & si x = 0 \end{matrix}

3.3. INTÉGRALES IMPROPRES SUR UN INTERVALLE DE LONGUEUR FINIE 43

3.3 Intégrales impropres sur un intervalle de longueur finie

Definition 12 Soit a, b ∈ IR et f une fonction continue sur ]a, b] et lim_{x→a^{+}} f(x) = −∞ ou + ∞. Pour tout x ∈]a, b] l’intégrale ∫_{x}^{b} f(t)dt est bien définie. Si la

limite suivante existe (i.e. c’est un nombre réel),

lim_{x→a^{+}} ∫_{x}^{b} f(t)dt

alors nous dirons que l’intégrale ∫_{a}^{b} f(x)dx est convergente et par définition nous posons :

∫_{a}^{b} f(x)dx = lim_{x→a^{+}} ∫_{x}^{b} f(t)dt

Remarque 9 La définition précedente est clairement étendue au cas d’une fonction continue sur un intervalle [a, b[ et lim_{x→b^{−}} f(x) = −∞ ou + ∞.

Definition 13 Soit a, b ∈ IR et f une fonction continue sur ]a, b[ et lim_{x→a^{+}} f(x) = −∞

ou + ∞, lim_{x→b^{−}} f(x) = −∞ ou + ∞. Soit c ∈]a, b[, nous dirons que l’intégrale ∫_{a}^{b} f(x)dx est convergente si les deux intégrales suivantes sont convergentes :

∫_{a}^{c} f(t)dt , ∫_{c}^{b} f(t)dt

dans ce cas nous posons par définition :

∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{a}^{c} f(t)dt + ∫_{c}^{b} f(t)dt

Remarque 10 Si une intégrale ne converge pas on dira qu’elle diverge.

Exemple 15 Soit la fonction f: ]0, +∞[⟶ IR définie par f(x) = ln x alors ∫_{0}^{1} ln t dt = −1. Par une intégration par parties nous avons

∫_{x}^{1} ln t dt = −x ln x + x − 1

d’où par le théorème de la croissance comparée entre la fonction puissance et le logarithme nous avons que la limite suivante existe :

lim_{x→0^{+}} ∫_{x}^{1} ln t dt = lim_{x→0^{+}} −x ln x + x − 1 = −1

donc ∫_{0}^{1} ln t dt est convergente et vaut −1.

Exemple 16 Soit la fonction f: IR^{∗} ⟶ IR définie par f(x) = ln | x | alors

∫_{−1}^{1} ln | t | dt = −2.

Par définition ∫_{−1}^{1} ln | t | dt converge si les deux intégrales ∫_{−1}^{0} ln | t | dt , ∫_{0}^{1} ln | t | dt convergent. Par l’exemple précedent ∫_{0}^{1} ln t dt est convergente et vaut −1, or la fonction t ↦ ln | t | est paire donc ∫_{−1}^{1} ln | t | dt converge et

∫_{−1}^{1} ln | t | dt = 2 ∫_{0}^{1} ln t dt = −2

Proposition 21 Soient α, b ∈ IR, b > 0 alors l’intégrale

∫_{0}^{b} \frac{1}{t^{α}} dt

converge si α < 1, diverge si α ≥ 1.

Preuve .-Soit 0 < x < b, nous avons à traiter deux cas :

1) Si α ≠ 1 alors

∫_{x}^{b} \frac{1}{t^{α}} dt = [\frac{t^{1−α}}{1 − α}]_{x}^{b} = \frac{b^{1−α}}{1 − α} − \frac{x^{1−α}}{1 − α}

or

lim_{x→0^{+}} \frac{b^{1−α}}{1 − α} − \frac{x^{1−α}}{1 − α} = \{ \begin{matrix}\frac{b^{1−α}}{1−α} & si α < 1 \\ +∞ & si α > 1 \end{matrix}

D’autre part si α = 1 alors

∫_{x}^{b} \frac{1}{t}dt = [ln t]_{x}^{b} = ln b − ln x

or

lim_{x→0^{+}} ln b − ln x = +∞.

Ce qui complète la preuve de la proposition.

Proposition 22 Linéarité des intégrales impropres Soient f, f_{1}, f_{2} des fonctions continues sur ]a, b] et λ ∈ IR.

1) si les deux intégrales

∫_{a}^{b} f_{1}(x)dx , ∫_{a}^{b} f_{2}(x)dx

convergent alors ∫_{a}^{b}(f_{1} + f_{2})(x)dx converge et 2) si l’intégrale ∫_{a}^{b} f(x)dx converge alors ∫_{a}^{b} λf(x)dx converge et

∫_{a}^{b} λf(x)dx = λ ∫_{a}^{b} f(x)dx

Preuve .-C’est une simple conséquence de la limite d’une somme de fonctions. Attention Dans les conditions de la proposition, il se peut que ∫_{a}^{b}(f_{1} + f_{2})(x)dx converge mais les deux intégrales ∫_{a}^{b} f_{1}(x)dx, ∫_{a}^{b} f_{2}(x)dx divergent.

3.3.1 Critères de convergence

Proposition 23 Critère par comparaison Soit a, b ∈ IR, a < b, f, g deux fonctions continues, positives sur [a, b[ et

lim_{x→b^{−}} f(x) = lim_{x→b^{−}} g(x) = +∞.

Si f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ [a, b[ et l’intégrale ∫_{a}^{b} g(t)dt converge alors l’intégrale ∫_{a}^{b} f(t)dt converge.

Preuve .-Pour tout x ∈ [a, b[ soit F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt et G(x) = ∫_{a}^{x} g(t)dt, nous aurons que

F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt ≤ ∫_{a}^{x} g(t)dt = G(x)  (1)

car f ≤ g et a ≤ x. g est une fonction positive sur [a, b[ donc G est croissante et majorée par sa limite quand x → b^{−}, qui par définition est ∫_{a}^{b} g(t)dt. f est une fonction positive sur [a, b[ donc on déduit de (1) que F est croissante et majorée par ∫_{a}^{b} g(t)dt. Ce qui montre que lim_{x→b^{−}} F (x) existe et que lim_{x→b^{−}} F (x) ≤ ∫_{a}^{b} g(t)dt. En d’autres termes l’intégrale ∫_{a}^{b} f(t)dt converge et

∫_{a}^{b} f(t)dt ≤ ∫_{a}^{b} g(t)dt

Exercice 8 Enoncer et démontrer le Critère par comparaison de deux fonctions continues sur un intervalle ]a, b].

Proposition 24 Critère par équivalence Soit b ∈ IR, 0 < b, f, g deux fonctions continues, positives sur ]0, b]. Si f(x) ∼ g(x) au voisinage de l’origine. L’intégrale ∫_{a}^{b} g(t)dt converge si et seulement si l’intégrale ∫_{a}^{b} f(t)dt converge.

Preuve .-Supposons par exemple que ∫_{a}^{b} g(t)dt converge, montrons que ∫_{a}^{b} f(t)dt converge. Par hypothèse f(x) = g(x)(1 + ϵ(x)), avec lim_{x→0^{+}} ε(x) = 0, il existe donc 0 < c < b tel que ε(x) < 1/2, ∀x ∈]0, c], ce qui implique que

f(x) ≤ \frac{3g(x)}{2} , ∀x ∈]0, c].

Donc l’intégrale ∫_{a}^{c} f(t)dt converge d’après le critère par comparaison. D’autre part f étant continue sur [c, b], l’intégrale ∫_{c}^{b} f(t)dt est bien définie et donc l’intégrale ∫_{a}^{b} f(t)dt converge.

Corollaire 3 Critère de Riemann par équivalence au voisinage de l’origine. Soit b ∈ IR, 0 < b, f une fonction continue, positive sur ]0, b].

Si f(x) ∼ \frac{A}{x^{α}} au voisinage de l’origine, où A, α ∈ IR, A > 0. Alors : L’intégrale

∫_{0}^{b} f(t)dt \{ \begin{matrix}converge & si α < 1 \\ diverge & si α ≥ 1 \end{matrix}

Preuve .-Le corollaire suit de la proposition précédente et de la Proposition 21.

Remarque 11 La proposition et le corollaire précédents ont un énoncé analogue au voisinage de tout nombre réel a. Nous donnons ci-dessous l’énoncé du corollaire.

Corollaire 4 Critère de Riemann par équivalence au voisinage de a ∈ br. Soit a, b ∈ IR, a < b, f une fonction continue, positive sur ]a, b].

Si f(x) ∼ \frac{A}{(x − a)^{α}} au voisinage de a , où A, α ∈ IR, A > 0. Alors :

L’intégrale

∫_{a}^{b} f(t)dt \{ \begin{matrix}converge & si α < 1 \\ diverge & si α ≥ 1 \end{matrix}

3.4 Intégrales impropres sur un intervalle de longueur infinie

Definition 14 Soit a ∈ IR et f une fonction continue sur [a, +∞[. Pour tout x ∈ [a, +∞[ l’intégrale ∫_{a}^{x} f(t)dt est bien définie. Si la limite suivante existe (i.e. c’est un nombre réel),

lim_{x→+∞} ∫_{a}^{x} f(t)dt

alors nous dirons que l’intégrale ∫_{a}^{+∞} f(x)dx est convergente et par définition nous posons :

∫_{a}^{+∞} f(x)dx = lim_{x→+∞} ∫_{a}^{x} f(t)dt

3.4. INTÉGRALES IMPROPRES SUR UN INTERVALLE DE LONGUEUR INFINIE47

Remarque 12 Si une intégrale ne converge pas on dira qu’elle diverge.

Exemple 17 Soit la fonction f: IR ⟶ IR définie par f(x) = e^{−x} alors ∫_{0}^{+∞} e^{−t}dt = −2 converge vers 1. Soit x > 0 par définition ∫_{0}^{+∞} e^{−t}dt converge si la limite suivante :

lim_{x→+∞} ∫_{0}^{x} e^{−t}dt

mais

∫_{0}^{x} e^{−t}dt = [−e^{−t}]_{0}^{x} = 1 − e^{−x}

et

lim_{x→+∞} 1 − e^{−x} = 1.

Proposition 25 Soient a, α ∈ IR, a > 0 alors l’intégrale

∫_{a}^{+∞} \frac{1}{t^{α}} dt

converge si α > 1, diverge si α ≤ 1.

Preuve .-Soit x > a, nous avons à traiter deux cas :

1) Si α ≠ 1 alors

∫_{a}^{x} \frac{1}{t^{α}} dt = [\frac{t^{1−α}}{1 − α}]_{a}^{x} = \frac{x^{1−α}}{1 − α} − \frac{a^{1−α}}{1 − α}

or

lim_{x→+∞} \frac{x^{1−α}}{1 − α} − \frac{a^{1−α}}{1 − α} = \{ \begin{matrix}−\frac{a^{1−α}}{1−α} & si α > 1 \\ +∞ & si α < 1 \end{matrix}

D’autre part si α = 1 alors

∫_{a}^{x} \frac{1}{t}dt = [ln t]_{a}^{x} = ln x − ln a

or

lim_{x→+∞} ln x − ln a = +∞.

Ce qui complète la preuve de la proposition.

Proposition 26 Linéarité des intégrales impropres en +∞ Soient f, f_{1}, f_{2} des fonctions continues sur [a, +∞[ et λ ∈ IR.

1) si les deux intégrales

∫_{a}^{+∞} f_{1}(x)dx , ∫_{a}^{+∞} f_{2}(x)dx

convergent alors ∫_{a}^{+∞}(f_{1} + f_{2})(x)dx converge et

∫_{a}^{+∞}(f_{1} + f_{2})(x)dx = ∫_{a}^{+∞} f_{1}(x)dx + ∫_{a}^{+∞} f_{2}(x)dx

2) si l’intégrale ∫_{a}^{+∞} f(x)dx converge alors ∫_{a}^{+∞} λf(x)dx converge et

∫_{a}^{+∞} λf(x)dx = λ ∫_{a}^{+∞} f(x)dx

Preuve .-C’est une simple conséquence de la limite d’une somme de fonctions.

Remarque 13 Dans les conditions de la proposition, il se peut que ∫_{a}^{+∞}(f_{1} + f_{2})(x)dx converge mais les deux intégrales ∫_{a}^{+∞} f_{1}(x)dx, ∫_{a}^{+∞} f_{2}(x)dx soient divergentes.

3.4.1 Critères de convergence

Proposition 27 1) Soit a ∈ IR, f une fonction continue, positive sur [a, +∞[. L’intégrale ∫_{a}^{+∞} f(t)dt converge si et seulement si la fonction F définie par F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt est majorée.

2) Critère par comparaison Soit a ∈ IR, f, g deux fonctions continues, positives sur [a, +∞[. Si f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ [a, +∞[ et l’intégrale ∫_{a}^{+∞} g(t)dt converge alors l’intégrale ∫_{a}^{+∞} f(t)dt converge.

Preuve .-1) f est continue sur [a, +∞[ donc F est dérivable sur [a, +∞[, et sa dérivée est f, qui est une fonction positive, F est donc croissante sur [a, +∞[. Or une fonction croissante sur [a, +∞[ admet une limite finie en +∞ si et seulement si elle est majorée, ce qui démontre l’énoncé.

2) Pour tout x ∈ [a, +∞[ soit F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt et G(x) = ∫_{a}^{x} g(t)dt, nous aurons que

F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt ≤ ∫_{a}^{x} g(t)dt = G(x)  (1)

car f ≤ g et a ≤ x. g est une fonction positive sur [a, +∞[ donc G est croissante et majorée par sa limite quand x → +∞, qui par définition est ∫_{a}^{+∞} g(t)dt. F est croissante sur [a, +∞[ et on déduit de (1) que F majorée par ∫_{a}^{+∞} g(t)dt. Ce qui montre que lim_{x→+∞} F (x) existe et que lim_{x→+∞} F (x) ≤ ∫_{a}^{+∞} g(t)dt. En d’autres termes l’intégrale ∫_{a}^{+∞} f(t)dt converge et

∫_{a}^{+∞} f(t)dt ≤ ∫_{a}^{+∞} g(t)dt

Exercice 9 Enoncer et démontrer le Critère par comparaison de deux fonctions continues sur un intervalle ]−∞, a].

Proposition 28 Critère par équivalence Soit a ∈ IR, f, g deux fonctions continues, positives sur [a, +∞[. Si f(x) ∼ g(x) au voisinage de +∞ . L’intégrale ∫_{a}^{+∞} g(t)dt converge si et seulement si l’intégrale ∫_{a}^{+∞} f(t)dt converge.

Preuve .-Supposons par exemple que ∫_{a}^{+∞} g(t)dt converge, montrons que ∫_{a}^{+∞} f(t)dt converge. Par hypothèse f(x) = g(x)(1 + ε(x)), avec lim_{x→+∞} ε(x) = 0, il existe donc b < c tel que ε(x) < 1/2, ∀x ∈ [c, +∞[, ce qui implique que

f(x) ≤ \frac{3g(x)}{2} , ∀x ∈ [c, +∞[.

Donc l’intégrale ∫_{c}^{+∞} f(t)dt converge d’après le critère par comparaison, d’autre part f étant continue sur [a, c], l’intégrale ∫_{a}^{c} f(t)dt est bien définie et donc l’intégrale ∫_{a}^{+∞} f(t)dt converge.

Corollaire 5 (Critère de Riemann au voisinage de +∞) Soit a ∈ IR, f une fonction continue, positive sur [a, +∞[.

Si f(x) ∼ \frac{A}{x^{α}} au voisinage de +∞, où A, α ∈ IR, A > 0. Alors : l’intégrale

∫_{a}^{+∞} f(t)dt \{ \begin{matrix}converge & si α < 1 \\ diverge & si α ≥ 1 \end{matrix}

Preuve .-Le corollaire suit de la proposition précédente et de la proposition 25.

3.5 Exercices

1) a) Calculer l’intégrale ∫_{−1}^{2} f(x)dx dans les cas suivants :

a. f(x) = \frac{|x − 1|}{x}

b. f(x) = x^{3} + x si x < 0, f(x) = (x − 1)^{2} si x ≥ 0

c.f périodique de période 1, f(x) = x^{2} sur [−1/2, 1/2[

d. f(x) = cos x − 1 si x < 0, f(x) = sin x si x ≥ 0

2) i) Les fonctions suivantes sont continues ou prolongeables par continuité sur l’intervalle [0, 1]? En cas de non continuité à l’origine déterminer un équivalent.

50 CHAPITRE 3. EXTENSION DE L’INTÉGRALE DÉFINIE

a) \frac{(ln(1 + x))^{2}}{x^{2}} b) \sqrt{x} ln x c)\frac{x}{sin^{2} x}
d) \frac{Arc sin x}{x^{3/2}}  e) \frac{1 − ch^{2}x}{x^{3}}

ii) Les intégrales suivantes sont- elles convergentes?

a) ∫_{0}^{1} \frac{(ln(1 + x))^{2}}{x^{2}} dx b) ∫_{0}^{1} \sqrt{x} ln xdx
c)∫_{0}^{1} \frac{x dx}{sin^{2} x}  d) ∫_{0}^{1} \frac{Arc sin xdx}{x^{3/2}}

e) ∫_{0}^{1} \frac{1 − ch^{2}x}{x^{3}}dx

3) i) Soit a un nombre positif. Indiquer les valeurs de a pour lesquels les intégrales suivantes sont bien définies et les calculer.

a) ∫_{0}^{a} \frac{Arc tan xdx}{1 + x^{2}}  b) ∫_{1/2}^{a} \frac{dx}{\sqrt{x(1 − x)}}
c) ∫_{1}^{a} \frac{ln x dx}{x^{n}} (n ∈ N) d) ∫_{1}^{a} \frac{dx}{x\sqrt{4x^{2} + x + 1}} (poser u = 1/x)
e) ∫_{0}^{a} \frac{dx}{(x + \sqrt{x^{2} + 1})^{n}} (n ∈ N),(poser x = shu)

ii) En déduire de i) que les intégrales suivantes sont convergentes et les calculer :

a) ∫_{0}^{+∞} \frac{Arc tan xdx}{1 + x^{2}}  b) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1 − x)}}
c) ∫_{1}^{+∞} \frac{ln x dx}{x^{n}} (n ∈ N) d) ∫_{1}^{+∞} \frac{dx}{x\sqrt{4x^{2} + x + 1}} (poser u = 1/x)
e) ∫_{0}^{+∞} \frac{dx}{(x + \sqrt{x^{2} + 1})^{n}}, (n ∈ N),(poser x = shu)

iii) Montrer d’une autre facon que les intégrales de ii) convergent.

IUFM de Lyon  4msp1 Feuille 10  1996-1997

3.5. EXERCICES 51

I) La fonction Gamma :

Soit a un nombre réel strictement positif. a. Etudier (sans la calculer), la convergence de l’intégrale ∫_{0}^{1} e^{−x}x^{a−1}dx b. Montrer que lim_{x→+∞} x^{2}e^{−x}x^{a−1} = 0. En déduire qu’il existe A > 0 tel que si x > A alors

e^{−x}x^{a−1} < \frac{1}{x^{2}} . Conclure que l’intégrale ∫_{1}^{+∞} e^{−x}x^{a−1}dx est convergente. c. Montrer la relation suivante:

∫ e^{−x}x^{a−1}dx = −e^{−x}x^{a−1} + (a − 1) ∫ e^{−x}x^{a−2}dx

d. On pose

Γ(a) = ∫_{0}^{+∞} e^{−x}x^{a−1}dx

Montrer que la fonction Γ(a) est bien définie, c’est à dire l’intégrale est convergente pour tout a nombre réel strictement positif. et qu’elle vérifie la relation suivante : Γ(a) = (a − 1)Γ(a − 1) pour tout a > 1

e. si a = n est un entier positif montrer que Γ(n) = (n − 1)! f. Faire le changement de variable u = x^{2} dans l’intégrale ∫_{0}^{+∞} e^{−x^{2}}dx et montrer que sa

valeur est (1/2)Γ(\frac{1}{2}) g. Montrer que l’intégrale ∫_{0}^{+∞} e^{−x^{2}}x^{a}dx converge pour a > −\frac{1}{2} et que sa valeur est

\frac{1}{2}Γ(\frac{a + 1}{2}).

2) Soit a ∈ R_{+}^{∗} et n un entier naturel. On pose I_{n}(a) = ∫_{0}^{+∞} e^{−ax}(sin x)^{n}dx

a. Montrer que cette intégrale converge absolument.

52 CHAPITRE 3. EXTENSION DE L’INTÉGRALE DÉFINIE b. Calculer I_{0}(a) et I_{1}(a). c. Par une double intégration par parties montrer que I_{n}(a) = \frac{n(n − 1)}{n^{2} + a^{2}}I_{n−2}(a) pour n ≥ 2.

En déduire une formule donnant la valeur de I_{n}(a) pour n ≥ 2 suivant que n soit paire ou impaire.

3) Les intégrales suivantes sont-elles convergentes? si oui, les calculer :

a) ∫_{−1}^{1} x\sqrt{\frac{1 + x}{1 − x}}dx (poser x = cos ϕ)

b) ∫0^{\frac{π}{4}} \frac{dx}{\sqrt{tan x}}  (poser u = \sqrt{tan x})

4) Etudier la convergence des intégrales suivantes:

a) ∫_{1}^{+∞} \frac{sin xdx}{x^{2} + 3} b) ∫_{−∞}^{+∞} \frac{cos x^{2}dx}{x^{2} − 7}

5) Montrer que si f est continue sur [0, 1], dérivable en 0, f(0) = 0 mais f′(0) ≠ 0 alors l’intégrale ∫_{0}^{1} \frac{f(x) dx}{x^{3/2}} converge.

Problèmes

4.1 Problème 1

Le problème est consacré à l’étude de la convergence de l’intégrale généralisée I et à sa détermination, cette intégrale étant:

I = ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x}dx

PARTIE I PRÉLIMINAIRES

Dans les deux premières questions, on propose le calcul pour tout entier n ≥ 0 de l’intégrale:

U_{n} = ∫0^{\frac{π}{2}} u_{n}(t)dt;

où la fonction u_{n} est définie sur [0, \frac{π}{2} ] par:

u_{n}(0) = 2n + 1

u_{n}(t) = \frac{sin[(2n + 1)t]}{sin t} si t ∈]0, \frac{π}{2} ].

I.1 Détermination de U_{n}

a) Justifier l’existence de U_{n}.

54 CHAPITRE 4. PROBLÈMES b) Exprimer u_{1}(t) − u_{0}(t) à l’aide de cos 2t. On rappelle que :

sin a − sin b = 2 cos \frac{a + b}{2} sin \frac{a − b}{2}.

c) Exprimer u_{n}(t) − u_{n−1}(t) à l’aide de cos(2nt).

d) En déduire la formule u_{n}(t) = 1 + 2 ∑_{k=1}^{k=n} cos(2kt).

e) Montrer que les intégrales U_{n} ne dépendent pas de n et déterminer leur valeur commune (on se servira du résultat de la question c).

4.1. PROBLÈME 1 55 I.2 Étude des fonctions auxiliares.

a) Prouver que si x ∈ [0, 1] on a : x^{4} − 2x^{3} + 1 ≥ 0. (On pourra étudier la dérivée de x ↦ x^{4} − 2x^{3} + 1). En déduire que, pour tout t ∈ [0, \frac{π}{2} [, \sqrt{cos t} − 1 + \frac{sin^{2} t}{2(cos t)^{\frac{3}{2}}} ≥ 0.

b) Soit ϕ la fonction définie sur [0, \frac{π}{2} [ par ϕ(t) = \frac{sin t}{\sqrt{cos t}} − t. Calculer ϕ′(t) et en utilisant le résultat précédent, prouver que ϕ est une fonction positive.

c) Soit enfin la fonction f définie sur [0, \frac{π}{2} ] par:

\{ \begin{matrix}f(0) = 0 \\ f(t) = \frac{1}{t} − \frac{1}{sin t} si t ∈]0, \frac{π}{2} ]. \end{matrix}

Montrer que f est continue, dérivable sur [0, \frac{π}{2} ], que la dérivée est continue sur [0, \frac{π}{2} ] et de signe constant.

EXISTENCE ET CALCUL DE I

II.1 Existence de I

a) Justifier l’existence de

I_{1} = ∫_{0}^{1} \frac{sin x}{x}dx

b) Justifier l’existence de

I_{2} = ∫_{1}^{∞} \frac{sin x}{x}dx

puis celle de I. II.2 Formule préliminaire. Soit f une fonction continûment dérivable sur [0, \frac{π}{2} ] telle que f′ soit de signe constant sur ]0, \frac{π}{2} [ et telle que f(0) = 0. Prouver que a)

∫0^{\frac{π}{2}} f(t) sin[(2n + 1)t]dt = \frac{1}{2n + 1} ∫0^{\frac{π}{2}} f′(t) cos[(2n + 1)t]dt

et b)

| ∫0^{\frac{π}{2}} f(t) sin[(2n + 1)t]dt |≤ \frac{| f(\frac{π}{2} ) |}{2n + 1}.

56 CHAPITRE 4. PROBLÈMES

c) En déduire que lim_{n→∞} ∫0^{\frac{π}{2}} f(t) sin[(2n + 1)t]dt = 0 II.3 Calcul de I.

a) En utilisant le résultat précédent appliqué à la fonction f de I.2.c) et le résultat de I.1.e) prouver que:

lim_{n→∞} ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{sin[(2n + 1)t]}{t}d = \frac{π}{2}

b) Montrer que :

∫0^{\frac{π}{2}} \frac{sin[(2n + 1)t]}{t}dt = ∫_{0}^{\frac{π}{2} (2n+1)} \frac{sin x}{x}dx

c) Montrer que I = \frac{π}{2}

SOLUTION

PARTIE I PRÉLIMINAIRES

I.1 Détermination de U_{n}

a) On observe que u_{n} est continue sur [0, \frac{π}{2} ] donc U_{n} existe.

b) u_{1}(t) − u_{0}(t) = 2 cos 2t. si t ≠ 0, la même formule reste valable pour t = 0.

c) u_{n}(t) − u_{n−1}(t) = 2 cos(2nt). pour t ∈ [0, \frac{π}{2} ]

d) Nous avons

u_{1}(t) − u_{0}(t) = 2 cos 2t
…
u_{n}(t) − u_{n−1}(t) = 2 cos(2nt)

Par addition terme a terme u_{n}(t) = 1 + 2 ∑_{k=1}^{k=n} cos(2kt). e) U_{n} − U_{n−1} = 2 ∫0^{\frac{π}{2}} cos(2nt)dt = \frac{1}{n} sin(nπ) = 0. D’autre part U_{0} = \frac{π}{2} , donc U_{n} = \frac{π}{2}

I.2 Étude des fonctions auxiliares.

a) x ↦ x^{4} − 2x^{3} + 1. est une fonction polynômiale donc de classe C^{∞}. Sa dérivée est x ↦ 4x^{3} − 6x^{2}, or 4x^{3} − 6x^{2} = 2x^{2}(x − 3), on en déduit que cette fonction

est décroissante sur [0, \frac{3}{2}], en particulier sur l’intervalle [0, 1], par conséquent puisque 1 est

une racine de x^{4} − 2x^{3} + 1 = 0x^{4} − 2x^{3} + 1 ≥ 0 sur [0, 1]. On pose x = \sqrt{cos t} , x ∈ [0, 1], dans la relation précedente, donc on aura

(\sqrt{cos t})^{4} − 2(\sqrt{cos t})^{3} + 1 ≥ 0

pour tout t ∈ [0, \frac{π}{2} [, ce qui équivaut à:

\sqrt{cos t} − 1 + \frac{sin^{2} t}{2(cos t)^{\frac{3}{2}}} ≥ 0

pour tout t ∈ [0, \frac{π}{2} [,

b) ϕ est dérivable sur [0, \frac{π}{2} [ et ϕ′(t) = \sqrt{cos t} − 1 + \frac{sin^{2} t}{2(cos t)^{\frac{3}{2}}}

d’après I.2.a ϕ′(t) ≥ 0 pour tout t ∈ [0, \frac{π}{2} [, ce qui implique que ϕ est croissante sur [0, \frac{π}{2} [,

or ϕ(0) = 0 donc ϕ(t) ≥ 0 pour tout t ∈ [0, \frac{π}{2} [.

c) f est continue, dérivable, de classe C^{∞} sur ]0, \frac{π}{2} ] car combinaison algébrique de fonctions de classe C^{∞} sur ]0, \frac{π}{2} ]. Il reste à étudier cette propriété pour t = 0. Continuité de f: pour t > 0 on a

f(t) = \frac{sin t − t}{t sin t} = \frac{−\frac{t^{3}}{3!} + t^{3}ε(t)}{t^{2} + t^{2}ε(t)} = \frac{−\frac{t}{3!} + tε(t)}{1 + ε(t)}

On en déduit que lim_{t→0^{+}} f(t) = 0 = f(0) Dérivabilité : Utilisant les calculs précedents nous avons:

lim_{t→0^{+}} \frac{f(t) − f(0)}{t} = lim_{t→0^{+}} \frac{−\frac{1}{3!} + 1ε(t)}{1 + ε(t)} = −\frac{1}{6},

ce qui implique que f est dérivable en 0 et que f′(0) = −\frac{1}{6}. Continuité de f′ en 0: Nous avons pour t > 0

f′(t) = −\frac{1}{t^{2}} − \frac{cos t}{sin^{2} t}

= \frac{t^{2} cos t − sin^{2} t}{t^{2} sin^{2} t}
= \frac{t^{2}(1 − \frac{t^{2}}{2} + t^{2}ε(t)) − (t − \frac{t^{3}}{3!} + t^{3}ε(t))^{2}}{t^{2}(t − \frac{t^{3}}{3!} + t^{3}ε(t))^{2}}
= \frac{(t^{2} − \frac{t^{4}}{2} + t^{4}ε(t)) − (t^{2} − \frac{2t^{4}}{6} + t^{4}ε(t))}{t^{4}(1 + ε(t))}
= \frac{−\frac{t^{4}}{6} + t^{4}ε(t)))}{t^{4}(1 + tε(t))}
= \frac{−\frac{1}{6} + ε(t)))}{(1 + ε(t))}

par pasage à la limite nous avons lim_{t→0^{+}} f′(t) = −\frac{1}{6} = f′(0). Finalement pour t ∈ [0, \frac{π}{2} ]

f′(t) = \frac{t^{2} cos t − sin^{2} t}{t^{2} sin^{2} t} ≤ 0

si et seulement si

t^{2} cos t − sin^{2} t ≤ 0 ⇔ t^{2} ≤ \frac{sin^{2} t}{cos t}

. La fonction racine carrée étant croissante sur R^{+} cela revient à

t ≤ \frac{sin t}{\sqrt{cos t}}

ce qui est vrai d’après I.2.b. En fait nous avons montré que f′ ≤ 0 sur [0, \frac{π}{2} ]

EXISTENCE ET CALCUL DE I

II.1 Existence de I

a) \frac{sin x}{x} est prolongeable par continuité en 0, donc l’intégrale ∫_{0}^{1} \frac{sin x}{x}dx existe.

b) Par une intégration par parties nous avons

∫_{1}^{u} \frac{sin x}{x}dx = −\frac{cos x}{x}]_{1}^{u} − ∫_{1}^{u} \frac{cos x}{x^{2}}dx,

nous avons que lim_{u→+∞} \frac{cos u}{u} = 0 et comme | \frac{cos x}{x^{2}} |≤ \frac{1}{x^{2}} , par le critère de Riemann nous déduisons que

∫_{1}^{∞} \frac{cos x}{x^{2}}dx

4.1. PROBLÈME 1 59 est absolument convergente donc convergente. Nous concluons que l’intégrale

∫_{1}^{∞} \frac{sin x}{x}dx

est convergente. II.2 Formule préliminaire.

a) f étant dérivable sur [0, \frac{π}{2} ] nous pouvons faire une intégration par parties

∫0^{\frac{π}{2}} f(t) sin[(2n + 1)t]dt = f(t)\frac{cos[(2n + 1)t]}{2n + 1}]0^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2n + 1} ∫0^{\frac{π}{2}} f′(t) cos[(2n + 1)t]dt

or f(0) = 0 et cos[(2n + 1)\frac{π}{2} ] = 0. D’où l’égalité demandée. b)

| ∫0^{\frac{π}{2}} f(t) sin[(2n + 1)t]dt |=| \frac{1}{2n + 1} ∫0^{\frac{π}{2}} f′(t) cos[(2n + 1)t]dt |

≤ \frac{1}{2n + 1} ∫0^{\frac{π}{2}} | f′(t) cos[(2n + 1)t] | dt ≤ \frac{1}{2n + 1} ∫0^{\frac{π}{2}} | f′(t) | dt

car | cos[(2n + 1)t] |≤ 1. Puisque f′ est de signe constant nous avons que | f′(t) |= ef′(t) sur [0, \frac{π}{2} ], avec e = 1 ou e = −1 suivant le signe de f′. Nous avons alors

\frac{1}{2n + 1} ∫0^{\frac{π}{2}} | f′(t) | dt = \frac{1}{2n + 1} ∫0^{\frac{π}{2}} ef′(t)dt
= \frac{1}{2n + 1}e(f(\frac{π}{2} ) − f(0))
= \frac{1}{2n + 1}e(f(\frac{π}{2} ))
= \frac{1}{2n + 1} | f(\frac{π}{2} ) |

cette dernière égalité car l’intègrale d’une fonction positive sur un intervalle direct est positive.

c) Nous avons que lim_{n→∞} \frac{1}{2n + 1} | f(\frac{π}{2} ) |= 0. D’où par le théorème du gendarme nous déduisons que

lim_{n→∞} | ∫0^{\frac{π}{2}} f(t) sin[(2n + 1)t]dt |= 0

ce qui implique que

lim_{n→∞} ∫0^{\frac{π}{2}} f(t) sin[(2n + 1)t]dt = 0

II.3 Calcul de I.

a) Appliquons le résultat précedent à la fonction f du I.2.c. qui vérifie les hypothèses du II.2

lim_{n→∞}(∫0^{\frac{π}{2}} \frac{sin[(2n + 1)t]}{t}d − ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{sin[(2n + 1)t]}{sin t}dt) = 0

et nous avons vu que ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{sin[(2n + 1)t]}{sin t}dt = \frac{π}{2} , ce qui montre que la limite demandée existe

et est égale à \frac{π}{2}

b) Par un changement de variables dans l’intégrale nous avons

∫0^{\frac{π}{2}} \frac{sin[(2n + 1)t]}{t}dt = ∫_{0}^{\frac{π}{2} (2n+1)} \frac{sin x}{x}dx

c)

Remarque 14 Soit F une fonction telle que lim_{t→∞} F (t) = l alors lim_{n→∞} F (t) = l. Ceci car n est une suite qui tends vers +∞. Plus généralement soit F une fonction telle que lim_{t→a} F (t) = l alors lim_{u_{n}→a} F (t) = l pour toute suite u_{n} qui tends vers a

Puisque nous savons que l’intégrale

∫_{0}^{+∞} \frac{sin x}{x}dx

converge nous pouvons appliquer la remarque ci-dessus et conclure que

I = \frac{π}{2} .

4.2. PROBLÈME 2 61

4.2 Problème 2

D’après le CAPLP2 Concours Interne 1998

On considère les fonctions f_{0} et f_{2}, définies respectivement :

• sur l’intervalle ]0; +∞[ par f_{0}(x) = \frac{ln x}{x^{2} − 1} lorsque x ≠ 1 et f_{0}(1) = \frac{1}{2};

• sur l’intervalle ]0; +∞[ par f_{2}(x) = \frac{x^{2} ln x}{x^{2} − 1} lorsque x ≠ 0 et x ≠ 1, f_{2}(0) = 0 et

f_{2}(1) = \frac{1}{2};

On note respectivement C_{0} et C_{2} les courbes représentatives des fonctions f_{0} et f_{2} dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).

Partie I

Etude de la fonction f_{0}.

1. Déterminer les limites de f_{0} en 0 et en +∞.

2. Montrer que f_{0} est continue sur l’intervalle ]0; +∞[.

3. a. Démontrer que f_{0} est dérivable sur l’intervalle ]0; +∞[.

b. Pour tout nombre x appartenant à l’intervalle ]0; +∞[ déterminer f′_{0}(x).

c. Etudier le sens de variation de f_{0}, sur l’intervalle ]0; +∞[.

4. Dresser le tableau de variation de la fonction f_{0}.

Tracer la courbe C_{0}.

Partie II

Etude de la fonction f_{2}.

1. Vérifier, pour tout nombre x appartenant à l’intervalle ]0; +∞[ les égalités suivantes :

f_{2}(x) = x^{2}f_{0}(x) ; f_{2}(x) = f_{0}(x) + ln xet f_{2}(x) = f_{0}(\frac{1}{x})

2. a. Démontrer que f_{2} est dérivable sur l’intervalle ]0; +∞[.

b. Déterminer la limite de f_{2} en +∞.

Etudier la nature de la branche infinie de la courbe C_{2}

c. Etudier le sens de variation de f_{2}, sur l’intervalle [0; +∞[.

3. a. Dresser le tableau de variation de la fonction f_{2}.

b. Déterminer une équation de la droite T, tangente à la courbe C_{2} au point d’abscisse 1.

Etudier la position de C_{2} par rapport à cette tangente.

c. Tracer la droite T et la courbe C_{2}.

Partie III

Partie de nature pédagogique.

Rédiger un exercice qui partant de la connaissance du sens de variation de la fonction f_{0} et du tracé de la courbe C_{0}, conduite des élèves de classes de baccalauréat prfessional à :

• Déterminer le sens de variation de la fonction f_{2};

• Tracer la courbe C_{2}.

Partie IV

Convergence et calcul de la valeur numérique I d’une intégrale impropre.

1. Montrer que l’intégrale ∫_{0}^{1} f_{0}(x)dx est convergente. On note I sa valeur numérique.

2. Pour tout nombreε appartenant à l’intervalle ]0; 1[, soit I_{ε} = ∫_{ε}^{1}(f_{0}(x) − f_{2}(x))dx.

Calculer I_{ε}, puis montrer que la limite de I_{ε}, lorsque ε tend vers 0, existe.

Déterminer cette limite que l’on note a_{1}.

3. Pour tout entier n strictement supérieur à 2, soit f_{n} la fonction définie sur l’intervalle [0; +∞[ par f_{n}(x) = x^{n−2}f_{2}(x)

a. Justifier le fait que f_{n} est intégrable sur l’intervalle [0; 1].

b. Montrer que ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx a pour limite 0 lorsque n tend vers +∞.

4. Pour tout entier n strictement supérieur à 1, soit a_{n} = ∫_{0}^{1}(f_{2n−2}(x) − f_{2n}(x))dx.

a. Calculer a_{n}, puis montrer que la série de terme général a_{n} est convergente. b. Pour tout nombre entier naturel p non nul, on pose S_{p} = ∑_{n=1}^{n=p} a_{n}.

Montrer que I = lim_{p→+∞} S_{p}.

5. On rappelle que la série ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} est convergente de somme égale à \frac{π^{2}}{6}

a. Justifier l’égalité ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{(2n − 1)^{2}} + ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{(2n)^{2}}

b. Calculer I.

Solution du problème CAPLP2 INTERNE 1998

Partie I

1) lim_{x→0^{+}} \frac{ln x}{x^{2} − 1} = +∞

lim_{x→+∞} \frac{ln x}{x^{2} − 1} = 0 (Théorème de la croissance comparée).

2)et 3) f_{0} est continue ( de classe C^{∞}) sur ]0, 1[∪]1, +∞[ car quotient des fonction non nulles continues ( de classe C^{∞}) sur ]0, 1[∪]1, +∞[. Continuité en x = 1 :

lim_{x→1} f_{0}(x) = lim_{x→1} \frac{ln x}{x^{2} − 1} = lim_{u→0} \frac{ln(1 + u)}{u(2 + u)}
= lim_{u→0} \frac{u + uε(u)}{u(2 + u)}
= \frac{1}{2}
= f_{0}(1)

Où nous avons fait le changement de variable u = x − 1.On déduit que f_{0} est continue sur ]0; +∞[.

3. a. Reste à étudier la dérivabilité de f_{0} en x = 1. Pour cela nous posons u = x − 1 et utilisons un développement limité à l’ordre 2 :

f′_{0}(1) = lim_{x→1} \frac{f_{0}(x) − f_{0}(1)}{x − 1} = lim_{x→1} \frac{\frac{ln x}{x^{2}−1} − \frac{1}{2}}{x − 1}

= lim_{u→0} \frac{\frac{ln(1+u)}{u(2+u)} − \frac{1}{2}}{u}
= lim_{u→0} \frac{ln(1 + u) − \frac{1}{2}u(2 + u)}{u^{2}(2 + u)}
= lim_{u→0} \frac{u − \frac{u^{2}}{2} + u^{2}ε(u) − \frac{1}{2}u(2 + u)}{u^{2}(2 + u)}
= lim_{u→0} \frac{−u^{2} + u^{2}ε(u)}{u^{2}(2 + u)}
= −\frac{1}{2}

3. b. Nous avons vu ci-dessus que f′_{0}(1) = −\frac{1}{2}, si x ≠ 1, nous utilisons les formules de dérivation et nous avons :

f′_{0}(x) = \frac{x^{2} − 1 − 2x^{2} ln x}{x(x^{2} − 1)^{2}}

3. c. Pour étudier le sens de variations de f_{0} il suffira d’étudier le signe de x^{2} − 1 − 2x^{2} ln x. Soit donc h la fonction définie par x ↦ x^{2} − 1 − 2x^{2} ln x, elle est dérivable sur ]0; +∞[ et h′(x) = −4x ln x, ce qui implique que h′(x) > 0 si et seulement si x ∈]0; 1[, h′(x) < 0 si et seulement si x ∈]1; +∞[. D’autre part lim_{x→0^{+}} h(x) = −1 (Utilisation du théorème de la

croissance comparée entre la fonction puissance et le logarithme). Aussi nous avons que h(1) = 0. La fonction h étant continue nous pouvons conclure que h(x) ≤ 0 sur ]0; +∞[, que f′_{0}(x) ≤ 0 sur ]0; +∞[ et f_{0} est décroissante sur ]0; +∞[.

x  0  +∞
+∞
[figure: f_{0}(x)]

0

f′_{0}(x)

Tableau de variations et le graphe de f_{0}.

Partie II

1) C’est du calcul immédiat.

2) a) f_{2} est dérivable sur ]0, +∞[ en utilisant l’une quelconque des formules démontrées en 1) car f_{0} est dérivable sur ]0, +∞[. Reste à étudier la dérivabilité en x = 0 :

f′_{2}(0) = lim_{x→0^{+}} \frac{x^{2} ln x}{x(x^{2} − 1)} = 0

Par le théorème de la croissance comparée.

b) lim_{x→+∞} \frac{x^{2} ln x}{x^{2} − 1} = +∞ et

lim_{x→+∞} \frac{ln x}{x(x^{2} − 1)} = 0 donc C_{2} a une branche parabolique de direction Ox.

2-c) Les fonctions x ↦ 1/x et f_{0} sont décroissantes sur ]0; +∞[, leur composition est une fonction croissante sur ]0; +∞[, donc f_{2} est croissante sur [0; +∞[.

3-a) Pour dresser le tableau de variations de f_{2}, nous utilisons celui de f_{0}:

3-b) L’équation de la tangente à C_{2} au point d’abscisse 1 est y = x/2. Pour étudier la position de cette tangente par rapport a la courbe (c’est long!) on part de l’inégalité

\frac{x}{2} > \frac{x^{2} ln x}{x^{2} − 1} ⇔ \frac{1}{2} > \frac{x ln x}{x^{2} − 1}

x  0  +∞
+∞
[figure: f_{2}(x)]

0

Tableau de variations et le graphe de f_{2}.

⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − 1 > 2x ln x si x > 1 \\ x^{2} − 1 < 2x ln x si x < 1. \end{matrix}

Ce qui sera vérifié après l’étude de la fonction x ↦ h(x) = x^{2} − 1 − 2x ln x pour x > 0: h′(x) = 2x − 2 ln x − 2 et h′′(x) = 2(x − 1)/x. On dresse le tableau de variation de h :

ce qui montre que C_{2} est en dessous de la tangente au point d’abscisse 1.

x  0  1  +∞

h(x) -1 [figure: 0]
[figure: h′(x)]

0

h′′(x)  0

Tableau de variations de h.

Partie III

1. Soient a, b deux nombres réels positifs, montrer que si a < b alors \frac{1}{b} < \frac{1}{a}.

2. Déduire du tableau des variations de f_{0} que si a < b alors f_{0}(\frac{1}{a}) < f_{0}(\frac{1}{b}).

3. Conclure que f_{2} est une fonction croissante sur ]0; +∞[.

4.2. PROBLÈME 2 67

4. Calculer les limites en 0 et en +∞ de la fonction x ↦ \frac{1}{x}.

5. Déduire du tableau des variations de f_{0} les limites en 0 et en +∞ de la fonction f_{2} 6. Tracer le graphe de la fonction f_{2}.

Partie IV

1) 1−x^{2} ∼ 1 au voisinage de 0. Donc f_{0} ∼ − ln x au voisinage de 0 et par une intégration par parties on trouve que ∫_{0}^{1} ln xdx converge, en effet:

lim_{ε→0} ∫_{ε}^{1} ln xdx = lim_{ε→0}(ε ln ε − (1 − ε)) = 1 2-

I_{ε} = ∫_{ε}^{1}(f_{0}(x) − f_{2}(x))dx = ∫_{0}^{1} − ln = −(ε ln ε − (1 − ε))

lim_{ε→0} I_{ε} = 1 = a_{1}

3- a) f_{2} est continue sur [0, 1] donc f_{n} est continue sur [0, 1], car produit de fonctions continues.

b) f_{2} est bornée sur [0, 1] par 1/2 donc on aura f_{n}(x) ≤ x^{n−2}/2 l’intégration respecte l’ordre et l’on a

∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx ≤ ∫_{0}^{1} x^{n−2}/2dx = \frac{1}{2n − 1}

d’où l’en déduit que lim_{n→+∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx = 0 4- a) a_{n} = ∫_{0}^{1}(f_{2n−2}(x) − f_{2n}(x))dx

= ∫_{0}^{1}(x^{2n−4} − x^{2n−2})f_{2}(x)dx = ∫_{0}^{1} x^{2n−4}(1 − x^{2})\frac{x^{2} ln x}{x^{2} − 1}dx

= ∫_{0}^{1}(−2x^{2n−2} ln x)dx Comme l’intégrale est convergente nous pouvons faire une intégration par parties:

= −[\frac{x^{2n−1} ln x}{2n − 1}]_{0}^{1} − ∫_{0}^{1} \frac{x^{2n−2}}{2n − 1}dx = \frac{1}{(2n − 1)^{2}}

Par conséquent a_{n} = \frac{1}{(2n − 1)^{2}} ∼ \frac{1}{n^{2}} , la série de terme général \frac{1}{n^{2}} converge par le critère de Riemann donc la série de terme général a_{n} converge.

b) f_{0} = (f_{0} − f_{2}) + (f_{2} − f_{4}) + … + (f_{2n−2} − f_{2n}) + f_{2n} Par linéarité de l’intégrale on aura:

∫_{0}^{1} f_{0} = ∫_{0}^{1}(f_{0} − f_{2}) + ∫_{0}^{1}(f_{2} − f_{4}) + … + ∫_{0}^{1}(f_{2n−2} − f_{2n}) + ∫_{0}^{1} f_{2n} i.e.

I = a_{1} + a_{2} + … + a_{n} + ∫_{0}^{1} f_{2n}

D’après 3-b) lim_{n→+∞} ∫_{0}^{1} f_{2n}(x)dx = 0 donc I = lim_{n→+∞} S_{n}

5- a) Les deux séries à droites de l’égalité sont convergentes donc on peut regrouper terme à terme et obtenir le membre de gauche.

La deuxième série à droite est égale à \frac{π^{2}}{24}, d’où (les séries étant convergentes) on a

I = \frac{π^{2}}{8}

4.3 Problème 3

D’après le CAPLP2 Concours Externe 1996

L’objet de ce problème est d’étudier la convergence d’une suite (I_{n}) définie par une intégrale et de trouver un équivalent de son terme général I_{n} lorsque n tend vers +∞.

Partie I

Dans cette partie, on étudie quelques résultats élémentaires sur la série harmonique. I-1

a. Montrer que, pour tout nombre entier n ≥ 1, \frac{1}{n + 1} ≤ ∫_{n}^{n+1} \frac{1}{t}dt ≤ \frac{1}{n}

b. En déduire que, pour tout nombre entier n ≥ 1, ln(n + 1) ≤ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}.

c. Montrer que la suite a_{n} définie par a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n} tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

I-2. Pour tout nombre entier on pose u_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n} − ln n.

a. Déduire de la question I-1.b que, pour tout nombre entier n ≥ 1, u_{n} ≥ 0.

b. Montrer que, pour tout nombre entier n ≥ 1, u_{n+1} − u_{n} = ϕ(\frac{1}{n}), où ϕ est la fonction définie sur l’intervalle [0; +∞[ par ϕ(x) = \frac{x}{1+x} − ln(1 + x).

Etudier le sens de variation de la fonction ϕ.

En déduire le signe de ϕ(x), pour x appartenant à [0; +∞[, puis la monotonie de la suite (u_{n}).

c. Prouver que la suite (u_{n}) est convergente. On note γ la limite de cette suite.

Partie II

Définition de la suite (I_{n}). Pour tout nombre entier naturel n, F_{n} désigne la fonction définie sur l’intervalle [0; 1[ par

F_{n}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{t^{n}dt}{\sqrt{1 − t}}

II-1.

a. Donner F′_{n}(x), pour tout nombre x appartenant à [0; 1[.

b. Montrer que la fonction F_{n} est croissante sur [0; 1[.

II-2.

a. Calculer ∫_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 − t}} pour tout nombre x appartenant à [0; 1[.

b. En déduire que, pour tout nombre x appartenant à [0; 1[, F_{n}(x) ≤ 2.

II-3. Prouver l’existence de la limite de F_{n}(x) lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures. On note I_{n} cette limite. II-4. Donner une autre méthode que la précédente pour prouver la convergence de l’intégrale

impropre ∫_{0}^{x} \frac{t^{n}dt}{\sqrt{1 − t}}.

Partie III

L’objectif de cette partie est de calculer I_{n}. Pour cela on établit d’abord une relation de recurrence entre deux termes consécutifs de la suite (I_{n}). III-1.

a. Vérifier que, pour tout nombre entier n ≥ 1 et pour tout x appartenant à [0; 1[, F_{n}(x) −

F_{n−1}(x) = − ∫_{0}^{x} t^{n}\sqrt{1 − t}dt.

b. A l’aide d’une intégration par parties, prouver que, pour tout nombre entier n ≥ 1 et pour tout x appartenant à [0; 1[, F_{n}(x) = −2x^{n}\sqrt{1 − x} + 2n ∫_{0}^{x} t^{n}\sqrt{1 − t}dt.

c. Montrer que, pour tout nombre entier n ≥ 1 et pour tout x appartenant à [0; 1[, (2n + 1)F_{n}(x) = −2x^{n}\sqrt{1 − x} + 2nF_{n−1}(x).

III-2.

a. Déduire de la quetion précédente que, pour tout nombre entier n ≥ 1, (2n + 1)I_{n} = 2nI_{n−1}.

b. Calculer I_{0}, I_{1}, I_{2} et I_{3}. c. Montrer que, pour tout nombre entier n ≥ 1, I_{n} = \frac{2^{2n+1}(n!)^{2}}{(2n + 1)!} .

Partie IV

On aborde ici l’étude de la convergence de la suite (I_{n}) et la recherche d’un équivalent de I_{n} lorsque n tend vers +∞ IV-1.

a. A l’aide de l’égalité obtenue à la fin de la partie III, montrer que, pour tout nombre entier n ≥ 1, ln I_{n} = ln2 − ∑_{k=1}^{n} ln(1 + \frac{1}{2k}).

b. Montrer que ln(1 + x) ≥ x/2 pour tout x ∈ [0; 1].

En déduire la limite de ln I_{n} quand n tend vers +∞. (Indication : Utiliser I-1.c).

c. Etablir la convergence de la suite (I_{n}).

IV-2.

a. Pour tout nombre entier n ≥ 1, on pose ν_{n} = ∑_{k=1}^{n}(\frac{1}{2k} − ln(1 + \frac{1}{2k})).

En réalisant un développement limité de x − ln(1 + x) au voisinage de 0, montrer que

\frac{1}{2k} − ln(1 + \frac{1}{2k}) est équivalent à \frac{1}{8k^{2}} los que k tend vers +∞.

Etablir la convergence de la suite (ν_{n}). On note ν sa limite.

b. Vérifier que pour tout nombre entier n ≥ 1, ln I_{n} = ν_{n} − \frac{1}{2}u_{n} + ln 2 − \frac{1}{2} ln n, où u_{n} est le terme général de la suite introduite à la question I-2.

En déduire que I_{n} = \frac{2}{\sqrt{n}}e^{ν_{n}− \frac{1}{2} u_{n}}.

c. Montrer qu’il existe un nombre réel K constant, que l’on exprimera en fonction de ν et γ (γ étant la limite de la suite u_{n} introduite à la question I-2.c), tel que I_{n} est équivalent à \frac{K}{\sqrt{n}} lorsque n tend vers +∞.

Solution

I-1

a. La fonction t ↦ \frac{1}{t} est continue et décroissante sur ]0; +∞[. Pour t dans l’intervalle

[n, n + 1] on aura \frac{1}{n + 1} ≤ \frac{1}{t} ≤ \frac{1}{n}, l’intégrale respecte l’ordre donc:

∫_{n}^{n+1} \frac{1}{n + 1}dt ≤ ∫_{n}^{n+1} \frac{1}{t}dt ≤ ∫_{n}^{n+1} \frac{1}{n}dt

d’où

\frac{1}{n + 1} ≤ ∫_{n}^{n+1} \frac{1}{t}dt ≤ \frac{1}{n}

b. La fonction ln est une primitive de la fonction t ↦ \frac{1}{t} sur ]0; +∞[, donc pour n ≥ 1

∫_{1}^{n+1} \frac{1}{t}dt = ln(n + 1) − ln 1 = ln(n + 1). D’autre part par la relation de Chasles et la question a. :

ln(n + 1) = ∫_{1}^{n+1} \frac{1}{t}dt = ∫_{1}^{2} \frac{1}{t}dt + ∫_{2}^{3} \frac{1}{t}dt + … + ∫_{n}^{n+1} \frac{1}{t}dt
≤ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}

c. Nous savons que ln n tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞, cette suite minore la suite a_{n} donc la suite a_{n} tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

I-2

a. La fonction ln est croissante donc

ln n ≤ ln(n + 1) ≤ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n},

d’où u_{n} ≥ 0pour tout n ≥ 1.

b.

u_{n+1} − u_{n} = \frac{1}{n + 1} − ln(n + 1) + ln n
= \frac{1}{n + 1} − ln(\frac{n + 1}{n})
= \frac{1/n}{1 + 1/n} − ln(1 + 1/n)

ϕ est une fonction dérivable et ϕ′(x) = −\frac{x}{1 + x^{2}} , ϕ′ est négative donc ϕ est décroissante

sur [0; +∞[. ϕ(0) = 0 donc par le théorème des valeurs intermédiares ϕ est négative sur [0; +∞[. On en déduit que pour tout n ≥ 1, u_{n+1} − u_{n} ≤ 0 et par conséquent la suite (u_{n}) est décroissante.

c La suite (u_{n}) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers un nombre réel noté γ, et appelé la constante d’Euler.

II-1. a. La fonction t ↦ \frac{t^{n}}{\sqrt{1−t}}dt est continue sur [0; 1[ donc F_{n} est dérivable et F′_{n}(x) = \frac{x^{n}}{\sqrt{1−x}}. b. F′_{n} est positive donc F_{n} est croissante sur [0; 1[ II-2. a.

∫_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 − t}} = [ − 2\sqrt{1 − t}]_{0}^{x} = 2 − 2\sqrt{1 − x} ≤ 2

car \sqrt{1 − x} ≥ 0 b Pour t ∈ [0; x] ⊂ [0; 1[ nous avons t^{n} ≤ 1, donc puisque l’intégrale respecte l’ordre :

F_{n} = ∫_{0}^{x} \frac{t^{n}dt}{\sqrt{1 − t}} ≤ ∫_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 − t}} ≤ 2.

II-3. F_{n} est croissante et majorée par 2, donc la limite de F_{n}(x) lorsque x tend vers 1^{−}, existe et lim_{x→1^{−}} F_{n}(x) ≤ 2. II-4. Au voisinage de t = 1 la fonction t ↦ \frac{t^{n}}{\sqrt{1 − t}} est équivalente à la fonction t ↦ \frac{1}{\sqrt{1 − t}}

et l’intégrale ∫_{0}^{1} \frac{t^{n}dt}{\sqrt{1 − t}} converge par le critère de Riemann. III-1. a.

F_{n}(x) − F_{n−1}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{t^{n}dt}{\sqrt{1 − t}} − ∫_{0}^{x} \frac{t^{n−1}dt}{\sqrt{1 − t}}
= ∫_{0}^{x} \frac{t^{n−1}(t − 1)dt}{\sqrt{1 − t}}
= − ∫_{0}^{x} t^{n}\sqrt{1 − t}dt

b. Posons u = t^{n}, dv = \frac{dt}{\sqrt{1−t}} donc du = nt^{n−1}, v = −2\sqrt{1 − t}. Remarquons que u, v sont des fonctions de classe C^{1}. L’intégration par parties nous donne :

F_{n}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{t^{n}dt}{\sqrt{1 − t}} = [ − 2t^{n}\sqrt{1 − t}]_{0}^{x} + ∫_{0}^{x} 2nt^{n−1}\sqrt{1 − t}
= −2x^{n}\sqrt{1 − x} + 2n ∫_{0}^{x} nt^{n−1}\sqrt{1 − t}

4.3. PROBLÈME 3 73

c. D’après a.

F_{n}(x) = −2x^{n}\sqrt{1 − x} − 2n(F_{n}(x) − F_{n−1}(x))

d’où

(2n + 1)F_{n}(x) = −2x^{n}\sqrt{1 − x} + 2nF_{n−1}(x)

III-2. a. Soit n ≥ 1. Par passage à la limite sachant que lim_{x→1^{−}} 2x^{n}\sqrt{1 − x} = 0 et que lim_{x→1^{−}} F_{n}(x) =

I_{n}, nous avons :

(2n + 1)I_{n} = 2nI_{n−1}

b.

∫_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 − t}} = [ − 2\sqrt{1 − t}]_{0}^{x} = 2 − 2\sqrt{1 − x}

, donc F_{0}(x) = 2 − 2\sqrt{1 − x} et on déduit que I_{0} = lim_{x→1^{−}} F_{0}(x) = 2; puis par la formule trouvée ci-dessus nous avons

I_{1} = \frac{4}{3}; I_{2} = \frac{4 × 4}{3 × 5}; I_{3} = \frac{4 × 4 × 6}{3 × 5 × 7}

c. Montrons la formule par récurrence sur n. Par le calcul de b. nous avons que I_{1} = \frac{2^{3}}{3!} ,

supposons donc que I_{n} = \frac{2^{2n+1}(n!)^{2}}{(2n + 1)!} , et montrons que I_{n+1} = \frac{2^{2(n+1)+1}((n + 1)!)^{2}}{(2(n + 1) + 1)!} .

En effet :

I_{n+1} = \frac{2n + 2}{2n + 3}I_{n}
= \frac{2n + 2}{2n + 3} × \frac{2^{2n+1}(n!)^{2}}{(2n + 1)!}
= \frac{(2n + 2)^{2}2^{2n+1}(n!)^{2}}{(2n + 3)!}
= \frac{2^{2n+3}((n + 1)!)^{2}}{(2n + 3)!}
= \frac{2^{2(n+1)+1}((n + 1)!)^{2}}{(2(n + 1) + 1)!}

Partie IV

74 CHAPITRE 4. PROBLÈMES a.

ln I_{n} = (2n + 1)ln2 + 2 ln(n!) − ln(2n + 1)!
= (2n + 1)ln2 + 2[ ∑_{k=1}^{n} ln k] − [ ∑_{k=1}^{2n+1} ln k]
= (2n + 1)ln2 + 2[ ∑_{k=1}^{n} ln k] − [ ∑_{k=1}^{n} ln(2k + 1)] − [ ∑_{k=1}^{n} ln(2k)]
= ln2 + 2[ ∑_{k=1}^{n} ln 2] + 2[ ∑_{k=1}^{n} ln k] − [ ∑_{k=1}^{n}(ln(2k) + ln(1 + \frac{1}{2k})] − [ ∑_{k=1}^{n} ln(2k)]
= ln2 + 2[ ∑_{k=1}^{n}(ln 2 + ln k)] − ∑_{k=1}^{n} ln(2k) − ∑_{k=1}^{n} ln(1 + \frac{1}{2k}) − ∑_{k=1}^{n} ln(2k)
= ln2 − ∑_{k=1}^{n} ln(1 + \frac{1}{2k})

b. Soit f la fonction définie sur ] − 1; +∞[ par f(x) = ln(1 + x) − x/2, f est dérivable et f′(x) = \frac{1 − x}{2(1 + x)}, on en déduit que f′(x) ≥ 0 sur [0; 1], f est croissante sur [0; 1] et f(0) = 0 donc par le théorème des valeurs intermédiares f ≥ 0 sur [0; 1]. D’où ln(1 + x) ≥ x/2 pour tout x ∈ [0; 1]. D’après b. ln(1 + \frac{1}{2k} ≥ \frac{1}{4k} pour k ≥ 1. et

∑_{k=1}^{n} ln(1 + \frac{1}{2k}) ≥ \frac{1}{4} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{1}{4}a_{n}

et d’après I-1.c. lim_{n→+∞} a_{n} = +∞, donc

lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{n} ln(1 + \frac{1}{2k}) = +∞.

Il en suit que lim_{n→+∞} ln I_{n} = −∞. c. La fonction exp est continue donc lim_{n→+∞} ln I_{n} = −∞ entraîne lim_{n→+∞} I_{n} = 0. a. Nous avons

ln(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + x^{2}ε(x)

avec lim_{x→0} ε(x) = 0, d’où

x − ln(1 + x) = \frac{x^{2}}{2} + x^{2}ε(x)

4.3. PROBLÈME 3 75

Il en suit que

\frac{1}{2k} − ln(1 + \frac{1}{2k}) ≃ \frac{\frac{1}{2k} 2}{2} = \frac{1}{8k^{2}}

et le terme général de la série ν_{n} est équivalent à \frac{1}{8k^{2}} , la série ν_{n} converge par le critère de Riemann.

b. Calculons :

ν_{n} − \frac{1}{2}u_{n} + ln 2 − \frac{1}{2} ln n =
= ∑_{k=1}^{n}(\frac{1}{2k} − ln(1 + \frac{1}{2k})) − \frac{1}{2} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2} ln n + ln 2 − \frac{1}{2} ln n
= ln 2 − ∑_{k=1}^{n} ln(1 + \frac{1}{2k})
= ln I_{n}

Nous en déduisons que

I_{n} = exp(ν_{n} − \frac{1}{2}u_{n} + ln 2 − \frac{1}{2} ln n)
= \frac{2}{\sqrt{n}} e^{ν_{n}− \frac{1}{2} u_{n}}

c. Nous avons que lim_{n→+∞} e^{ν_{n}− \frac{1}{2} u_{n}} = e^{ν− \frac{1}{2} γ}, car l’exponentielle est continue. il en suit que

si l’on pose K = 2e^{ν− \frac{1}{2} γ} alors e^{ν_{n}− \frac{1}{2} u_{n}} ≃ \frac{K}{2} ≠ 0 et par conséquent

I_{n} ≃ \frac{K}{\sqrt{n}}.

76 CHAPITRE 4. PROBLÈMES

Séries

5.1 Propriétés générales d’une série.

Definition 15 Soit (u_{n})_{n∈IN} une suite de nombres réels, à cette suite on peut lui associer une nouvelle suite (s_{n})_{n∈IN} définie par

s_{n} = u_{0} + u_{1} + … + u_{n}

La suite (s_{n})_{n∈IN} est appelée série de terme général u_{n}, et est aussi notée par ∑ u_{n}. On dit que la série ∑ u_{n} converge si la suite (s_{n})_{n∈IN} converge vers un nombre réel s. Dans

ce cas on dit aussi que s est la somme de la série et on pose ∑_{n=0}^{+∞} u_{n} = s.

Dans tous les autres cas on dit que la série ∑ u_{n} diverge.

Remarque 15 La nature d’une série ne change pas si l’on modifie un nombre fini de ses termes.

Exemple 18 Soit q ∈ IR, et u_{n} = q^{n} pour n ∈ IN, la série de terme générale q^{n} est appelée la série géométrique de raison q. Nous avons

s_{n} = 1 + q + q^{2} + … + q^{n}

et d’après la formule remarquable

(1 − x)(1 + x + x^{2} + … + x^{n}) = 1 − x^{n+1} ∀x ∈ IR, ∀n ∈ IN

nous obtenons que si q ≠ 1 alors

s_{n} = 1 + q + q^{2} + … + q^{n} = \frac{1 − q^{n+1}}{1 − q}

et si q = 1 alors s_{n} = n + 1 et lim_{n→+∞} s_{n} = +∞. Par ailleurs

lim_{n→+∞} q^{n+1} = \{ \begin{matrix}0 & si | q |< 1 \\ diverge & si q ≤ −1 \\ +∞ & si q > 1 \end{matrix}

En conclusion la série géométrique de raison q converge si et seulement si | q |< 1, dans ce cas nous avons

∑_{n=0}^{+∞} q^{n} = \frac{1}{1 − q} pour | q |< 1

Exemple 19 Soit s_{n} la série de terme général u_{n} = \frac{1}{n(n − 1)}, n ≥ 2.

D’après la décomposition en éléments simples d’une fraction rationelle nous avons

\frac{1}{x(x − 1)} = \frac{1}{x − 1} − \frac{1}{x}

en particulier pour n ≥ 2 nous aurons

\frac{1}{n(n − 1)} = \frac{1}{n − 1} − \frac{1}{n}

il en suit que

s_{n} = \frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + … + \frac{1}{(n − 1)n}
= (1 − \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} − \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} − \frac{1}{4}) + … + (\frac{1}{n − 1} − \frac{1}{n})
= 1 − \frac{1}{n}

D’où la série ∑ \frac{1}{n(n − 1)} converge et

∑_{n=2}^{+∞} \frac{1}{n(n − 1)} = 1

Proposition 29 Si la série (s_{n}) de terme général u_{n} converge alors la suite (u_{n}) converge vers 0.

Preuve .-Si la suite (s_{n}) converge vers le nombre réel s alors la suite (s_{n−1}) converge aussi vers le nombre réel s, d’ou u_{n} = s_{n} − s_{n−1} converge vers s − s = 0 Remarque 16 Si la suite (s_{n}) converge vers le nombre réel s alors la suite (s_{2n}) converge aussi vers le nombre réel s, d’ou s_{2n} − s_{n} est une suite convergente vers 0.

Remarque 17 La proposition et la remarque précédente sont surtout utilisées pour montrer la divergence d’une série.

Exemple 20 La série harmonique de terme général u_{n} = \frac{1}{n} diverge. Soit donc

s_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}

Nous aurons :

s_{2n} − s_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2n}
> n(\frac{1}{2n})
= \frac{1}{2}

car

\frac{1}{n + 1} > \frac{1}{2n}, \frac{1}{n + 2} > \frac{1}{2n}, ...

d’où en déduit que la série ∑ \frac{1}{n} diverge car si la suite (s_{n}) converge vers le nombre réel s

alors le calcul ci-dessus montrerait que lim_{n→+∞} s_{2n} − s_{n} ≥ \frac{1}{2}, ce qui est en contradiction avec la remarque précédente.

Remarquez toutefois que lim_{n→+∞} \frac{1}{n} = 0 et que la série ∑ \frac{1}{n} diverge.

Proposition 30 (Linéarité des séries convergentes) Si les séries de terme général u_{n}, v_{n}, n ∈ IN convergent alors pour tout α, β ∈ IR la série de terme général αu_{n} + βv_{n} converge et nous avons :

∑_{n=0}^{+∞} αu_{n} + βv_{n} = ∑_{n=0}^{+∞} αu_{n} + ∑_{n=0}^{+∞} βv_{n}

5.2 Séries à termes positifs, Critères

Proposition 31 Pour que la série à termes positifs ∑ u_{n} soit convergente il faut et il suffit que la suite des sommes partielles s_{n} soit majorée.

Preuve .-Par hypothèse u_{n} ≥ 0 pour tout n, donc s_{n+1} = s_{n} + u_{n} ≥ s_{n}, la suite (s_{n}) est donc croissante, un théorème nous dit qu’une suite croissante est convergente vers un nombre réel si et seulement si elle est majorée.

Proposition 32 (Critère par comparaison) Soient ∑ u_{n}, ∑ v_{n} deux séries à termes positifs tels que u_{n} ≤ v_{n} à partit d’un certain rang. Alors :

• 1) Si la série ∑ v_{n} converge alors la série ∑ u_{n} converge et de plus si u_{n} ≤ v_{n} pour

tout n ∈ IN alors ∑_{n=0}^{+∞} u_{n} ≤ ∑_{n=0}^{+∞} v_{n}.

• 2) Si la série ∑ u_{n} diverge alors la série ∑ v_{n} diverge.

Exemple 21 Etudier la convergence de la série de terme général \frac{1}{n^{2}} , n ≥ 1.

Nous avons n^{2} > n(n − 1) > 0 donc \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n − 1)} pour n ≥ 2 et nous avons établi que

la série de terme général \frac{1}{n(n − 1)} est convergente et que ∑_{n=2}^{+∞} \frac{1}{n(n − 1)} = 1. Il en suit que

la série de terme général \frac{1}{n^{2}} converge et ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} ≤ 2

Corollaire 6 Considérons deux séries de terme général positif u_{n}, v_{n}, n ≥ 1, supposons que lim_{n→+∞} \frac{u_{n}}{v_{n}} = l et l ∈ IR, l ≠ 0 alors les deux séries ∑ u_{n}, ∑ v_{n} sont de même nature.

Preuve .-En effet si lim_{n→+∞} \frac{u_{n}}{v_{n}} = l avec l ∈ IR, l ≠ 0, d’après la définition de limite on aura:

pout tout ε > 0 il existe N tel que si n ≥ N alors | \frac{u_{n}}{v_{n}} − l |< ε.

Prenons ε = \frac{l}{2} (l > 0 car u_{n}, v_{n} sont positifs, et on peut aussi supposer que u_{n}, v_{n} sont

strictements positifs), la définition de limite nous donne que si n ≥ N alors −\frac{l}{2} < \frac{u_{n}}{v_{n}} −l < \frac{l}{2},

ce qui équivaut à \frac{l}{2} < \frac{u_{n}}{v_{n}} < \frac{3l}{2}, d’où nous obtenons les relations

u_{n} < \frac{3l}{2}v_{n}, v_{n} < \frac{2}{l}u_{n}

pour n assez grand. Par la proposition précédente nous avons que la série ∑ u_{n} converge si et seulement si la série ∑ v_{n} converge.

Corollaire 7 ( Critère par équivalence ) Etant donné deux suites à termes positifs (u_{n}), (v_{n}) tels que u_{n} ∼ v_{n}, alors les séries ∑ u_{n}, ∑ v_{n} sont de même nature.

5.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS, CRITÈRES 81 Exemple 22 Soit u_{n} = \frac{1}{n^{2} + e^{n}} , v_{n} = \frac{1}{e^{n}}, alors

lim_{n→+∞} \frac{u_{n}}{v_{n}} = lim_{n→+∞} \frac{e^{n}}{n^{2} + e^{n}}
= lim_{n→+∞} \frac{1}{\frac{n^{2}}{e^{n}} + 1}
= 1

où nous avons utilisé le théorème de la croissance comparée.

D’autre part la série ∑ \frac{1}{e^{n}} est une série géométrique de raison \frac{1}{e} < 1 donc convergente, il en suit que la série ∑ \frac{1}{n^{2} + e^{n}} converge. Exemple 23 Soit u_{n} = \frac{1}{n^{2} + e^{−n}} , v_{n} = \frac{1}{n^{2}} , alors

lim_{n→+∞} \frac{u_{n}}{v_{n}} = lim_{n→+∞} \frac{n^{2}}{n^{2} + e^{−n}}
= lim_{n→+∞} \frac{1}{\frac{e^{−n}}{n^{2}} + 1}
= 1

or la série ∑ \frac{1}{n^{2}} est une série convergente, donc la série ∑ \frac{1}{n^{2} + e^{−n}} converge. Exemple 24 Soit u_{n} = \frac{1}{n − e^{−n}} , v_{n} = \frac{1}{n}, alors

lim_{n→+∞} \frac{u_{n}}{v_{n}} = lim_{n→+∞} \frac{n}{n − e^{−n}}
= lim_{n→+∞} \frac{1}{1 − \frac{e^{−n}}{n}}
= 1

or la série ∑ \frac{1}{n} est une série divergente, donc la série à termes positifs ∑ \frac{1}{n − e^{−n}} diverge.

5.2.1 Règles de Cauchy et de D’Alembert

Théorème 2 ( Théorème de Cauchy ) Soit une série à terme général positif u_{n}, n ≥ 1, et k ∈ IR.

• Si ^{n} \sqrt{u_{n}} ≤ k < 1 pour n ≥ N alors la série ∑ u_{n} converge.

82 CHAPITRE 5. SÉRIES

• Si ^{n} \sqrt{u_{n}} ≥ 1 pour n ≥ N alors la série ∑ u_{n} diverge. Preuve .-

• Si ^{n} \sqrt{u_{n}} ≤ k < 1 pour n ≥ N alors 0 ≤ u_{n} ≤ k^{n} pour tout n ≥ N, d’où par le critère de comparaison avec la série géométrique ∑ k^{n} de raison k < 1qui converge nous aurons que la série ∑ u_{n} converge.

• Si ^{n} \sqrt{u_{n}} ≥ 1 pour n ≥ N alors u_{n} ≥ 1 pour n ≥ N et la limite de la suite (u_{n}) dans le

cas où elle existe ne peut être nulle, on en déduit que la série ∑ u_{n} diverge. Théorème 3 (Règle de Cauchy ) Soit une série à terme général positif u_{n}, n ≥ 1.

• Si ^{n} \sqrt{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l < 1 alors la série ∑ u_{n} converge.

• Si ^{n} \sqrt{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l > 1 alors la série ∑ u_{n} diverge.

• Si ^{n} \sqrt{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l = 1 il faut décider avec d’autres méthodes. Preuve .-

• Si ^{n} \sqrt{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l < 1 alors d’après la définition de limite pour tout ε > 0 il existe N tel que si n ≥ N alors | ^{n} \sqrt{u_{n}} − l |< ε , ou encore que si n ≥ N alors l − ε < ^{n} \sqrt{u_{n}} < l + ε, nous prenons ε = \frac{1 − l}{2} > 0, on en déduit que

pour tout n ≥ N ^{n} \sqrt{u_{n}} < \frac{1 + l}{2} < 1

nous appliquons alors le théorème de Cauchy avec k = \frac{1 + l}{2} < 1 et la série ∑ u_{n} converge.

• La preuve du cas où ^{n} \sqrt{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l > 1 est analogue au cas

précédent et laissée en exercice. Exemple 25 Considérons la série ∑(1 + \frac{1}{n})^{−n^{2}}, alors

n \sqrt{(1 + \frac{1}{n})^{−n^{2}}} = (1 + \frac{1}{n})^{−n}

et

lim_{n→+∞}(1 + \frac{1}{n})^{−n} = \frac{1}{e} < 1

donc la série ∑(1 + \frac{1}{n})^{−n^{2}} est convergente. On rappelle que lim_{n→+∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} = e.

Théorème 4 ( Théorème de D’Alembert ) Soit une série à terme général positif u_{n}, n ≥ 1, et k ∈ IR.

• Si \frac{u_{n+1}}{u_{n}} ≤ k < 1 pour n ≥ N alors la série ∑ u_{n} converge.

• Si \frac{u_{n+1}}{u_{n}} ≥ 1 pour n ≥ N alors la série ∑ u_{n} diverge.

Preuve .-

• Si \frac{u_{n+1}}{u_{n}} ≤ k < 1 pour n ≥ N alors

0 ≤ u_{n+1} ≤ ku_{n} ≤ k^{2}u_{n−1} ≤ … ≤ k^{n−N+1}u_{N}

pour tout n ≥ N, or la série ∑ k^{n−N+1} pour n ≥ N est une série géométrique (multipliée par une constante) de raison k < 1, d’où par le critère de comparaison nous aurons que la série ∑ u_{n} converge.

• Si \frac{u_{n+1}}{u_{n}} ≥ 1 pour n ≥ N alors u_{n+1} ≥ u_{n} ≥ … ≥ u_{N} pour n ≥ N et la limite de la

suite (u_{n}) dans le cas où elle existe serait ≥ u_{N} > 0, donc non nulle. On en déduit que la série ∑ u_{n} diverge. Remarquer que u_{N} > 0 de manière implicite puisque dans les hypothèses on peut diviser par u_{N}.

Théorème 5 (Règle de D’Alembert ) Soit une série à terme général positif u_{n}, n ≥ 1.

• Si \frac{u_{n+1}}{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l < 1 alors la série ∑ u_{n} converge.

• Si \frac{u_{n+1}}{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l > 1 alors la série ∑ u_{n} diverge.

• Si \frac{u_{n+1}}{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l = 1 il faut décider avec d’autres méthodes.

Preuve .-

• Si \frac{u_{n+1}}{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l < 1 alors d’après la définition de limite pour tout

ε > 0 il existe N tel que si n ≥ N alors | \frac{u_{n+1}}{u_{n}} − l |< ε , ou encore que si n ≥ N alors

l − ε < \frac{u_{n+1}}{u_{n}} < l + ε, nous prenons ε = \frac{1 − l}{2} > 0, on en déduit que

pour tout n ≥ N \frac{u_{n+1}}{u_{n}} < \frac{1 + l}{2} < 1

nous appliquons alors le théorème de D’Alembert avec k = \frac{1 + l}{2} < 1 et la série ∑ u_{n} converge.

84 CHAPITRE 5. SÉRIES

• La preuve du cas où \frac{u_{n+1}}{u_{n}} admet une limite l ∈ IR et l > 1 est analogue au cas

précédent et laissée en exercice. Exemple 26 Etudier la convergence de la série à terme général u_{n} = \frac{1}{n!}. C’est une série à termes positifs donc on peut appliquer la règle de D’Alembert :

lim_{n→+∞} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = lim_{n→+∞} \frac{n!}{(n + 1)!} = lim_{n→+∞} \frac{1}{n + 1} = 0.

Donc la série ∑ \frac{1}{n!} converge.

5.2.2 Comparaison avec une intégrale

Théorème 6 Soit f une fonction positive décroissante sur [1; +∞[. Alors la série ∑ f(n) et l’intégrale ∫_{1}^{+∞} f(x)dx sont de même nature. Preuve .-la suite (s_{n})_{n≥1} est donnée par

s_{n} = f(1) + f(2) + … + f(n)

D’autre part l’intégrale ∫_{1}^{n} f(x)dx se décompose par la relation de Chasles en :

∫_{1}^{n} f(x)dx = ∫_{1}^{2} f(x)dx + ∫_{2}^{3} f(x)dx + … + ∫_{n−1}^{n} f(x)dx

la fonction f est décroissante sur [i, i + 1] pour tout entier i ≥ 1. donc

f(i + 1) ≤ f(x) ≤ f(i)pour x ∈ [i, i + 1]

et l’intégrale conserve l’ordre, donc

∫_{i}^{i+1} f(i + 1)dx ≤ ∫_{i}^{i+1} f(x)dx ≤ ∫_{i}^{i+1} f(i)dx

d’où

f(i + 1) ≤ ∫_{i}^{i+1} f(x)dx ≤ f(i)

Nous avons donc les inégalités :

f(2) ≤ ∫_{1}^{2} f(x)dx ≤ f(1)
f(3) ≤ ∫_{2}^{3} f(x)dx ≤ f(2)
…
f(n) ≤ ∫_{n−1}^{n} f(x)dx ≤ f(n − 1)

et sommant terme à terme nous obtenons :

∑_{i=2}^{n} f(i) ≤ ∫_{1}^{n} f(x)dx ≤ ∑_{i=1}^{n} f(i)

s_{n} − f(1) ≤ ∫_{1}^{n} f(x)dx ≤ s_{n}  (1)

Considérons la suite v_{n} = ∫_{1}^{n} f(x)dx, v_{n}, s_{n} sont des suites croissantes (car f est une

fonction positive). D’après l’inégalité (1) si la suite s_{n} converge vers le nombre réel s alors la suite v_{n} sera croissante et majorée par s. De même si la suite v_{n} converge vers le nombre réel v alors la suite s_{n} sera croissante et majorée par v+f(1). En conclusion la série ∑ f(n)

et la suite v_{n} = ∫_{1}^{n} f(x)dx sont de même nature.

Montrons maintenant que la suite v_{n} = ∫_{1}^{n} f(x)dx converge si et seulement si l’intégrale

∫_{1}^{+∞} f(x)dx converge.

Tout d’abord soit F (t) = ∫_{1}^{t} f(x)dx, si l’intégrale ∫_{1}^{+∞} f(x)dx converge vers l ∈ IR alors

lim_{x→+∞} F (t) = l, il découle que lim_{n→+∞} F (n) = l, donc la suite v_{n} = ∫_{1}^{n} f(x)dx converge vers l.

Supposons maintenant que la suite v_{n} = ∫_{1}^{n} f(x)dx converge vers l ∈ IR, ce qui signifie par définition que:

∀ε > 0, ∃N > 0 tel que si n ≥ N alors | ∫_{1}^{n} f(x)dx − l |> ε

ou sous forme déployée :

∀ε > 0, ∃N > 0 tel que si n ≥ N alors l − ε < ∫_{1}^{n} f(x)dx < l + ε  (2)

Or pour tout x ≥ 1 nous avons que [x] ≤ x ≤ [x] + 1 et puisque f est une fonction positive nous avons:

∫_{1}^{[x]} f(x)dx ≤ ∫_{1}^{x} f(x)dx ≤ ∫_{1}^{[x]+1} f(x)dx  (3)

Nous en déduisons de (2) et (3) que si x ≥ N alors :

l − ε < ∫_{1}^{[x]} f(x)dx ≤ ∫_{1}^{x} f(x)dx ≤ ∫_{1}^{[x]+1} f(x)dx < l + ε

86 CHAPITRE 5. SÉRIES d’où, si x ≥ N alors :

l − ε < ∫_{1}^{x} f(x)dx < l + ε

et sous forme compacte :

si x ≥ N, alors | ∫_{1}^{x} f(x)dx − l |< ε

et montre que l’intégrale ∫_{1}^{+∞} f(x)dx converge vers l. Definition 16 Soit α ∈ IR_{+}^{∗} la série ∑ \frac{1}{n^{α}}, n ≥ 1, est appelée la série de Riemann. Théorème 7 Soit α ∈ IR_{+}^{∗} la série de Riemann ∑ \frac{1}{n^{α}} converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1. Preuve .-Soit α ∈ IR_{+}^{∗}, la fonction f: x ↦ \frac{1}{x^{α}} est positive et décroissante sur [1; +∞[ donc d’après le théorème précédent la série ∑ \frac{1}{n^{α}} est de même nature que l’intégrale ∫_{1}^{+∞} \frac{1}{x^{α}} dx. Nous savons aue cette dernière intégrale est convergente pour α > 1 et divergente si α ≤ 1.

5.3 Séries à termes réels quelconques

Definition 17 ( bf Séries absolument convergentes. Une série ∑ u_{n}, n ≥ 0, est dite absolument convergente si la série ∑ | u_{n} |, n ≥ 0, est convergente. Théorème 8 Une série ∑ u_{n}, n ≥ 0, absolument convergente est convergente. Autrement dit si la série ∑ | u_{n} |, n ≥ 0, converge alors la série ∑ u_{n}, n ≥ 0 converge. Exemple 27 La série ∑ \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} , n ≥ 1 est absolument convergente. Exemple 28 La série ∑ \frac{(−1)^{n}}{3^{n}}, n ≥ 1 est absolument convergente. Exemple 29 La série ∑ sin(nπ + \frac{1}{n^{2}} ), n ≥ 1 est absolument convergente. En effet

sin(nπ + \frac{1}{n^{2}} ) = sin(nπ) cos(\frac{1}{n^{2}} ) + cos(nπ) + sin(\frac{1}{n^{2}} ) = (−1)^{n} sin(\frac{1}{n^{2}} )

La série ∑ sin(\frac{1}{n^{2}} ) converge car lorsque x tend vers zéro par valeurs positives sin x ≤ x d’où la série (à termes positifs) ∑ sin(\frac{1}{n^{2}} ) est majorée par la série ∑ \frac{1}{n^{2}} qui converge.

5.3. SÉRIES À TERMES RÉELS QUELCONQUES 87 Definition 18 ( bf Séries alternées. Une série ∑ u_{n}, n ≥ 0, est dite alternée si u_{n} prend alternativement des valeurs positives et négatives. Cela signifie que u_{n} = (−1)^{n}v_{n} où v_{n} ≥ 0 Théorème 9 Considérons une série alternée ∑(−1)^{n}v_{n}, n ≥ 0, où v_{n} ≥ 0. Si la suite v_{n} ≥ 0 est décroissante et lim_{n→+∞} v_{n} = 0 alors la série alternée ∑(−1)^{n}v_{n}, converge.

De plus si s_{n} = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}v_{k} et s = ∑_{k=0}^{+∞}(−1)^{k}v_{k} alors

∀n ≥ 0 | s − s_{n} |< v_{n+1}

(Cette relation permet de donner une valeur approchée de s avec une précision voulue.

Preuve .-Soit s_{n} = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}v_{k}. Nous allons montrer que les sous suites (s_{2n}), (s_{2n+1}) sont adjacentes. En effet :

• La suite (s_{2n+1}) est croissante,

s_{2n+1} − s_{2n−1} = ∑_{k=0}^{2n+1}(−1)^{k}v_{k} − ∑_{k=0}^{2n−1}(−1)^{k}v_{k} = v_{2n} − v_{2n+1} ≥ 0

car la suite (v_{k}) décroît.

• La suite (s_{2n}) est décroissante

s_{2n+2} − s_{2n} = ∑_{k=0}^{2n+2}(−1)^{k}v_{k} − ∑_{k=0}^{2n}(−1)^{k}v_{k} = v_{2n+2} − v_{2n+1} ≤ 0

car la suite (v_{k}) décroît. •

s_{2n+2} − s_{2n+1} = v_{2n+2}

et

lim_{n→+∞} v_{n} = 0

On en déduit que les suites (s_{2n}), (s_{2n+1}) ont une limite commune s et que pour toutn ≥ 1, s_{2n−1} ≤ s ≤ s_{2n} d’où d’après la définition de limite on déduit que la suite s_{n} admet pour limite s et aussi :

0 ≤ s − s_{2n−1} ≤ s_{2n} − s_{2n−1} = v_{2n}

et

0 ≤ s_{2n} − s ≤ s_{2n} − s_{2n+1} = v_{2n+1}

ce qui démontre le théorème.

Exemple 30 La série ∑ \frac{(−1)^{n}}{n}, n ≥ 1 est convergente.

En effet la suite \frac{1}{n} est décroissante et lim_{n→+∞} \frac{1}{n} = 0.

Exemple 31 Calculer à 10^{−2} près la somme de la série

1 − \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} − \frac{1}{4^{3}} + … + \frac{(−1)^{n+1}}{n^{3}} + …

Pour n ≥ 0, on pose u_{n} = (\frac{(−1)^{n}}{(n + 1)^{3}} ). La suite v_{n} = (\frac{1}{(n + 1)^{3}} ) est décroissante et

lim_{n→+∞} \frac{1}{(n + 1)^{3}} = 0. D’autre part \frac{1}{n^{3}} < 10^{−2} si n^{3} > 100, i.e. si n ≥ 5. D’après le

théorème si

s_{n} = 1 − \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} − \frac{1}{4^{3}} + … + \frac{(−1)^{n}}{(n + 1)^{3}}

alors

0 < s − s_{3} << \frac{1}{5^{3}} < 10^{−2}

or un calcul rapide nous donne que s_{3} = 0, 8964 d’où 0,89 est une valeur approchée de s à 10^{−2} près.

5.4 Exercices

1) Etudier la convergence des séries ∑ u_{n} définies par les termes généraux suivants (On pourra déterminer un équivalent de chaque suite) :

i) u_{n} = \frac{1}{n(n + ln n^{4})}  ii) \frac{1}{n + (−1)^{n+1}\sqrt{n}}  iii) sin(\frac{1}{3^{n}})
iv) ln(\frac{1 + tan \frac{1}{n}}{1 − tan \frac{1}{n}})  v) Arc tan \frac{2n − 7}{5n^{2} − 3}

2) En utilisant divers critères, étudier la convergence des séries ∑ u_{n} définies par les termes généraux suivants :

i)  \frac{n!}{n^{n}}  ii)\frac{1}{\sqrt{n + 1}}  iii) sin^{2} π(\frac{n}{n^{2} + 1})
iv)  \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}  v) \frac{n^{2}}{4^{n} + 3n}  vi) (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}}e^{−n}

vii) \frac{n^{n}}{(n + 1)(n + 2)...(2n)}

3) Soient a, b, s, t des nombres réels strictements positifs. Discuter suivant la valeur de s, t

la convergence de la série de terme général u_{n} = \frac{a + n^{s}}{b + n^{t}}

4) Soit α un nombre réel strictement positif. Par le critère de comparaison avec une

intégrale, indiquer la nature de la série de terme général: u_{n} = \frac{1}{n(ln n)^{α}}, n ≥ 2

5) Etudier la nature (convergence, divergence, convergence absolue), des séries définies par les termes généraux suivants:

i) \frac{(−1)^{n}}{2n + cos nπ}  ii)\frac{(−1)^{n} ln n}{n}  iii) \frac{cos(nα)}{n^{2}}

6) a) (Question préliminaire) Soit (u_{n})_{n≥1} une suite de nombres réels, et s_{n}, n ≥ 1 la série de terme général u_{n} − u_{n+1}, calculer la somme partielle s_{n}, pour n ≥ 1 et démontrer que la série s_{n}, n ≥ 1 converge si et seulement si la suite (u_{n})_{n≥1} converge.

Dans ce qui suit on pose u_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} − ln n .

b) Déterminer un équivalent de u_{n} − u_{n+1} et en déduire la convergence de la série s_{n}, n ≥ 1 de terme général u_{n} − u_{n+1}. Conclure que la suite (u_{n})_{n≥1} converge. On appelera γ sa limite.

c) Montrer que \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} ≤ ∫_{1}^{n} \frac{1}{x}dx ≤ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n − 1}

d) Conclure que γ est compris entre 0 et 1. (Le nombre γ est appelée la constante de Euler et par des méthodes numériques on trouve que γ = 0, 5772...)

e) Soit a un nombre réel strictement positif et n ≥ 1 un entier naturel, on pose

v_{n} = a^{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n}}

Déterminer à l’aide de la suite u_{n} et de γ, un équivalent de v_{n}. Discuter la convergence de la série ∑ v_{n} suivant la valeur de a.

IUFM de Lyon  4msp1  1995-1996

1) Soit a ∈]0, π/2] et u_{n} = \frac{2^{n}}{n^{2}} sin^{2n} a. Discuter suivant la valeur de a, la convergence de la série (u_{n}).

2) i) Soit a ∈]0, π/2[, θ un nombre réel positif ou nul et u_{n} = tan^{n} (a + \frac{θ}{n}). Discuter suivant la valeur de a et θ, la convergence de la série de terme général u_{n}.

ii) Discuter suivant la valeur de a, θ et α > 0, la convergence de la série de terme général

v_{n} = tan^{n} (a + \frac{θ}{n^{α}} ).

3 Déterminer un équivalent de u_{n} = n( ^{n^{2}} \sqrt{2} − 1) − ln (1 + \frac{ln 2}{n}). En déduire la nature de la série (u_{n}).

4 Déterminer un équivalent de u_{n} = ^{3} \sqrt{n^{3} + 2n} − ^{2} \sqrt{n^{2} − 1}. En déduire la nature de la série (u_{n}).

5 i) Déterminer un équivalent de u_{n} = 2^{\frac{1}{2n−1}} − 2^{\frac{1}{2n+1}} et montrer la convergence de la série (u_{n}).

ii) Calculer la somme de la série (u_{n}), (n ≥ 1).(Ind. calculer les sommes partielles).

6 i) Déterminer un équivalent des suites u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n}, v_{n} = Arc tan \frac{1}{n^{2} + n + 1} et

montrer la convergence des séries (u_{n}) et (v_{n}).

ii) Calculer la somme de la série (u_{n}), (n ≥ 1).

iii) a) Montrer que \frac{1}{n^{2} + n + 1} = \frac{\frac{1}{n(n+1)}}{1 + \frac{1}{n(n+1)}} .

b) Utiliser la relation Arc tan \frac{p − q}{1 + pq} = Arc tan p − Arc tan q pour calculer la somme de

la série (v_{n}), (n ≥ 1).(Ind. calculer les sommes partielles).

7 i) Déterminer un équivalent de la suite u_{n} = ln \frac{(n + 1)^{2}}{n(n + 2)}, où n ≥ 1 et montrer la

convergence de la série (u_{n}).

iii) calculer les sommes partielles de la série (u_{n}) et calculer la somme de la série (u_{n}), (n ≥ 1).

Séries de Fourier

6.1 Théorème de Dirichlet.

Definition 19 Soit f une fonction définie sur IR, périodique de période 2π, continue par morceaux sur ] − π, π]. La série de Fourier associée à f est par définition la série de somme partielle:

S_{n}(f)(x) = a_{0} + (a_{1} cos x + b_{1} sin x) + … + (a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx))

où

a_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)dx
a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) cos(nx)dx (n ≥ 1)
b_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) sin(nx)dx (n ≥ 1)

Remarquez que S_{n}(f) est une fonction définie sur IR pour tout n ≥ 0,. S_{n}(f) est appelé polynôme trigonométrique d’ordre n, ou polynôme de Fourier d’ordre n de la fonction f. a_{0} est la valeur moyenne de f sur une période. a_{1} cos x + b_{1} sin x est le fondamental a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx) est l’harmonique de rang n.

Definition 20 Une fonction définie sur [a, b] est de classe C^{1} par morceaux si f est continue par morceaux sur [a, b] et f est dérivable sur [a, b] sauf en un nombre fini de points de [a, b], auxquels points la dérivée admet une limite à gauche et à droite.

Théorème 10 ( Théorème de Dirichlet.) Soit f une fonction définie sur IR, périodique de période 2π, de classe C^{1} par morceaux sur [−π, π]. Alors pour tout x ∈ IR la série de Fourier converge. Plus précisement:

Si f est continue en x alors

lim_{n→+∞} S_{n}(f)(x) = f(x)

Si f n’est pas continue en x alors

lim_{n→+∞} S_{n}(f)(x) = \frac{f(x_{−}) + f(x_{+})}{2}

Remarque 18 Soit f une fonction définie sur IR, périodique de période 2π, et P : −π = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = π , n ∈ IN^{∗} une partition de [−π, π] Si pour tout i = 0, …, n − 1, f = f_{i} sur ]a_{i}, a_{i+1}[ et f_{i} est une fonction de classe C^{1} sur un intervalle ouvert contenant a_{i}, a_{i+1} alors f est de classe C^{1} par morceaux sur [−π, π].

Propriétés : Soit f une fonction vérifiant les hypothèses du théorème de Dirichlet :

1 Si f est une fonction paire sur ] − π, π[, alors b_{n} = 0 pour tout n ≥ 1.

En effet, dans ce cas la fonction x ↦ f(x) sin(nx) est impaire sur ] − π, π[ pour tout

n ≥ 1 et b_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) sin(nx)dx = 0

2 Si f est une fonction impaire sur ] − π, π[, alors a_{n} = 0 pour tout n ≥ 0.

En effet, dans ce cas la fonction x ↦ f(x) cos(nx) est impaire sur ] − π, π[ pour tout

n ≥ 0 et ∫_{−π}^{π} f(x) cos(nx)dx = 0, d’où a_{n} = 0.

3 Formule de Parseval

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f^{2}(x)dx = a_{0}^{2} + \frac{1}{2} ∑_{p=1}^{+∞}(a_{p}^{2} + b_{p}^{2})

Le nombre E = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f^{2}(x)dx est appelé l’energie moyenne transportée par le signal

de fonction f sur une période. Dans les cas où le calcul de cette intégrale n’est pas possible directement on utilise la formule de Parseval pour donner une approximation.

4 On peut étendre la définition de série de Fourier ainsi que le théorème de Dirichlet à une fonction f : IR → l C qui est périodique de période 2π, continue par morceaux sur ] − π, π] et dérivable sur ] − π, π] sauf en un nombre fini de points, auxquels points la dérivée admet une limite à gauche et à droite. Sous ces conditions les nombres

c_{n} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{inx}dx

sont bien définis, la série S(f)(x) = ∑_{−∞}^{+∞} c_{n}e^{inx} converge pour tout x ∈ IR et

S(f)(x) = f(x) si f est continue en x;

S(f)(x) = \frac{f(x_{−}) + f(x_{+})}{2} si f n’est pas continue en x;

Exemple 32 Soit f : IR → IR périodique de période 2π, définie sur ] − π, π] par f(x) = e^{x}. La fonction exponentielle est de classe C^{∞} sur IR, on en déduit que f est de classe C^{1} par morceaux [−π, π] et vérifie les hypothèses du théorème de Dirichlet. Les coefficients de la série de Fourier se calculent sans difficulté, par:

a_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{x}dx = \frac{1}{2π} (e^{π} − e^{−π})
a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} e^{x} cos(nx)dx = \frac{(−1)^{n}}{2π(n^{2} + 1)}(e^{π} − e^{−π}) (n ≥ 1)
b_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} e^{x} sin(nx)dx = −na_{n} (n ≥ 1)

D’où pour tout x ∈] − π, π[

e^{x} = \frac{e^{π} − e^{−π}}{π} [\frac{1}{2} + ∑_{n=1}^{+∞} \frac{(−1)^{n}(cos nx − n sin nx)}{n^{2} + 1}]

et

S(f)(π) = \frac{e^{π} + e^{−π}}{2} .

Posons dans la formule précédente x = 0, alors puisque sin 0 = 0, cos 0 = 1 nous aurons

∑_{n=1}^{+∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2} + 1} = \frac{1}{2} + \frac{π}{e^{π} − e^{−π}}

ou encore

∑_{n=1}^{+∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2} + 1} = \frac{1}{2}[1 + \frac{π}{sh (π)}]

et pour x = π :

∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{n^{2} + 1} = \frac{1}{2}[1 + \frac{πch π}{sh (π)}]

Exemple 33 Soit f : IR → IR périodique de période 2π, définie sur ] − π, π] par

f(x) = \{ \begin{matrix}−e^{−x} & si x ∈] − π; 0[ \\ e^{x} & si x ∈]0; π[ \\ 0 & si x = π \end{matrix}

La fonction exponentielle est de classe C^{∞} sur IR, on en déduit que f est de classe C^{1} par morceaux [−π, π] et vérifie les hypothèses du théorème de Dirichlet. D’autre part f est une fonction impaire. Cela implique que les coefficients a_{n} de la série de Fourier de f sont nuls pour tout n ≥ 0 et

b_{n} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} e^{x} sin(nx)dx

qui se calcule par une double intégration par parties ou en intégrant une fonction complexe, en effet soit g(x) = e^{x+inx} = e^{x(1+in)} donc

∫_{0}^{π} e^{x} sin(nx)dx = ℑ(∫_{0}^{π} e^{x(1+in)}dx) = ℑ(\frac{1}{1 + in}[e^{x(1+in)}]_{0}^{π}) = \frac{n}{1 + n^{2}} (1 + (−1)^{n+1}e^{π})

d’où

b_{n} = \frac{2n}{(1 + n^{2})π} (1 + (−1)^{n+1}e^{π})

et

S(f)(x) = \frac{2}{π} ∑_{n=1}^{+∞} \frac{n}{1 + n^{2}} (1 + (−1)^{n+1}e^{π}) sin nx

et d’après le théorème de Dirichlet

f(x) = \frac{2}{π} ∑_{n=1}^{+∞} \frac{n}{1 + n^{2}} (1 + (−1)^{n+1}e^{π}) sin nx

remarquez que f(0) = \frac{f(0_{−}) + f(0_{+})}{2}.

Prenant la valeur particulière x = \frac{π}{2} on a :

e^{\frac{π}{2}} = \frac{2(1 + e^{π})}{π} ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(−1)^{k}(2k + 1)}{1 + (2k + 1)^{2}}

6.2 Exercices.

1) Pour transmettre un signal S on envoie une suite périodique d’impulsions rectangulaires de durée π. On associe à ces impulsions une fonction périodique de période 2π, notée f, représentée ci-dessous.

[figure: \frac{−π}{2}; \frac{π}{2}; 2; \frac{3π}{2}; \frac{5π}{2}]

a. Expliciter cette fonction périodique. b. Montrer que f vérifie les hypothèses du théorème de Dirichlet. c. Calculer la valeur moyenne du signal (i.e. calculer a_{0}). d. Montrer que les coefficients du polynôme trigonométrique de Fourier associés à f sont

donnés par

a_{n} = \frac{4}{nπ} sin \frac{nπ}{4} , b_{n} = 0

e. Ecrire le polynôme trigonométrique d’ordre 3. calculer le nombre E_{1} = a_{0} + \frac{1}{2}(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}). De même calculer l’energie moyenne E transmise par le signal et la comparer avec E_{1}. .

f. Ecrire la série de Fourier associée à f et indiquer sa limite pour chaque nombre réel Les fonctions suivantes sont définies sur IR, périodiques de période 2π et définies sur ]−π; π] par : a.

f(x) = \{ \begin{matrix}cos x & si x ∈]\frac{−π}{2} , \frac{π}{2} [ \\ 0 & sinon \end{matrix}

b.

g(x) = \{ \begin{matrix}x & si x ∈] − π, π[ \\ 0 & sinon \end{matrix}

c.

h(x) = \{ \begin{matrix}a + \frac{a}{π} x & si x ∈] − π, π[ \\ 0 & sinon \end{matrix}

où a est un nombré réel strictement positif. d.

j(x) = \{ \begin{matrix}−π − x & si x ∈]\frac{π}{2} , π] \\ x & si x ∈]\frac{−π}{2} , \frac{π}{2} [ \\ π − x & si x ∈]\frac{π}{2} , π] \end{matrix}

Pour chacune de ces fonctions répondre aux questions suivantes :

1. Tracer son graphe sur un intervalle de longueur 3π

2. Démontrer que la fonction vérifie les hypothèses du théorème de Dirichlet

3. Calculer les coefficients de la série de de Fourier associé à la fonction.

4. Ecrire la série de Fourier associée à la fonction et indiquer sa limite pour chaque nombre réel.

2) Dans chacun des exercices suivants, les fonctions considérées sont 2π−périodiques. Tracer le graphe de la fonction sur un intervalle de longueur 4π, vérifier les hypothèses du théorème de Dirichlet, déterminer la série de Fourier correspondante et tracer le graphe de la somme de la série de Fourier.

a) f(x) = x^{2}, x ∈]−π, π]. Poser x = π dans la série de Fourier de f et en déduire la somme de la série ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} . Poser x = 0 dans la série de Fourier de f et en déduire la somme

de la série ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k^{2}} .

b) La fonction paire sur ] − π, π[, égale à x sur [0, π[

c) La fonction impaire sur ] − π, π[, égale à cos x sur ]0, π[

d) La fonction impaire sur ] − π, π[, égale à x sur [0, π[. En déduire la somme de la série

∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1}.

3)

a) Dévélopper la fonction x^{2} en série de sinus sur l’intervalle]0, π[

b) Dévélopper la fonction x^{2} en série de cosinus sur l’intervalle ]0, π[ c) Soit a ∈]0, π[ Dévélopper en série de cosinus la fonction f définie par:

f(x) = 1 si x ∈]0, a] et f(x) = 0 si x ∈]a, π]

Indication : Dans chacun des exercices il s’agit de définir une fonction sur l’intervalle ] − π, π],qui soit 2π−périodique et soit paire ou impaire sur ] − π, π[, suivant que l’on désire avoir une série de cosinus ou une série de sinus.

5) Soit a un nombre réel positif non entier, considérons la fonction f_{a}(x), 2π−périodique tel que f_{a}(x) = cos(ax) pour x ∈ [−π, π[.

i) Tracer pour a = 1/2 et a = 1/3 le graphe de la fonction f_{a} sur un intervalle de longueur 4π.

ii) Vérifier les hypothèses du théorème de Dirichlet e t