\magnification=1200\vsize=20cm\hsize=13.2cm\parindent=0mm
\parskip=7pt plus 3pt minus 2pt \def\\{\hfil\break}

\centerline{\bf
Sur l'enseignement des Math\'ematiques et des Sciences}
\centerline{\bf au Lyc\'ee et \`a l'Universit\'e: un cri d'alarme}
\vskip20pt
\centerline{Jean-Pierre Demailly}
\centerline{Professeur \`a l'Universit\'e de Grenoble I}
\centerline{Membre Correspondant de l'Acad\'emie des Sciences}
\vskip20pt

Le texte qui suit a pour but de faire \'etat de quelques observations et 
r\'eflexions sur l'enseignement des math\'ematiques et des sciences, suite 
aux \'evolutions d\'esastreuses inter\-venues ces der\-ni\`eres ann\'ees.
Ces r\'eflexions me sont propres, mais int\`egrent des discussions et des
\'echanges de vues avec de nombreux coll\`egues, chercheurs et enseignants
du sup\'erieur comme du secondaire. J'ai pu b\'en\'eficier par ailleurs 
d'informations privil\'egi\'ees gr\^ace \`a des r\'eflexions et discussions
men\'ees \`a l'Acad\'emie des Sciences.
\vskip20pt

{\bf Les besoins, face au discours politique actuel}
\vskip10pt
Contrairement \`a des affirmations du Ministre en charge de l'Education 
Nationale, parues dans quelques grands journaux (France-Soir du
23/11/99) et l\^ach\'ees sans doute dans l'effervescence de la
communication, les math\'ematiques ne sont pas une science en voie de
``d\'evaluation in\'eluctable'' et elles ne se r\'eduisent pas \`a la
``pratique de calculs'' et de ``trac\'es de courbes'' \`a l'aide
d'instruments de calcul. Ceux qui croient cela ont ou bien une vision
tr\`es parcellaire et d\'eform\'ee de ce que sont les math\'ematiques,
ou ignorent tout du sujet. Les Math\'ematiques restent -- et resteront
pour longtemps -- un outil fondamental d'exploration de notre univers
physique et intellectuel. Pour ne citer que quelques exemples ayant
trait \`a la science fondamentale, les th\'eories physiques
contemporaines, cosmologie, th\'eorie des champs, m\'ecanique
quantique..., utilisent cons\-tamment les r\'esultats les plus pointus
de la g\'eom\'etrie et de l'analyse; la science de l'information est
en partie bas\'ee sont des concepts mis \`a jour par les progr\`es
r\'ecents de l'arithm\'etique et de l'algorithmique.

Une part consid\'erable de l'industrie de haute technologie repose de m\^eme
sur des moyens de production et de calcul dont la mise en oeuvre r\'eclame 
des math\'ematiques de technicit\'e \'elev\'ee.

Face \`a la tendance actuelle qui semble \^etre \`a une r\'eduction
syst\'ematique des horaires d'enseignement en math\'ematiques et des
moyens allou\'es \`a cette discipline, il y a donc lieu d'exprimer une
grande inqui\'etude.  Car, au del\`a des math\'ematiques, c'est toute
la fili\`ere de l'enseignement des sciences qui sera en p\'eril. Et
cela, \`a un moment o\`u la comp\'etition internationale exacerb\'ee
r\'eclame toujours plus de sp\'ecialistes, sur des sujets en constante
\'evolution, donc r\'eclamant un recul conceptuel important. Dans tous
les pays avanc\'es, la ma\^{\i}trise des savoirs techniques et
scientifiques est une pyramide o\`u l'\'equilibre entre les
diff\'erentes disciplines, la qualit\'e globale de l'enseignement,
jouent un r\^ole primordial.  La perte de la ma\^{\i}trise dans un
secteur donn\'e de la science ou de la technologie est souvent
irr\'eparable dans des d\'elais courts, et r\'eclame par la suite des
efforts d\'emesur\'es de remise \`a niveau.

Les propos tenus par le Ministre et rapport\'es dans un article du
journal Le Monde du 24 novembre 1999 ({\tt
http://www.lemonde.fr/article/0,2320,31922,00.html }) sont
objectivement scandaleux: ``Il n'y a pas eu de gestion
pr\'evisionnelle des emplois depuis des ann\'ees. Humainement parlant,
je ne peux pas mettre z\'ero poste de maths aux concours de
recrutement. Je ne peux que r\'eduire graduellement les postes mis aux
concours, par honn\^etet\'e vis-\`a-vis des \'etudiants qui
pr\'eparent ces concours et ont fait de gros sacrifices pour cela !'';
ils montrent \`a l'\'evidence que l'enseignement des Math\'ematiques
est en p\'eril dans notre pays. Il est difficile de savoir si le
Ministre a tenu des propos qui refl\`etent sa pens\'ee propre
(soulignant alors un grave manque de compr\'ehension du r\^ole crucial
des math\'ematiques dans le d\'eveloppement de la Science et de la
Technologie), s'il cherche plut\^ot -- selon une tactique qui semble
sienne -- \`a faire de la provocation pour voir comment le milieu
r\'eagira, ou enfin s'il se fait l'\'echo de voix mal inform\'ees et
mal inspir\'ees. Il est h\'elas possible que les trois ph\'enom\`enes
soient concomitants. Cela est tr\`es grave dans la mesure o\`u le
Ministre manifeste une tendance persistante \`a la prise de d\'ecision
impulsive, sans consultation des experts. La ``d\'evaluation
in\'eluctable'' des math\'ematiques constitue sans aucun doute une
``exception fran\c{c}aise'': la National Science Foundation
am\'ericaine, consid\'erant que les Math\'ematiques constituaient un
enjeu strat\'egique pour le d\'eveloppement de toutes les sciences,
vient d'augmenter sensiblement les moyens allou\'es \`a la recherche
fondamentale et appliqu\'ee dans cette discipline...  \vskip20pt

{\bf Un constat sur l'enseignement \`a l'universit\'e}
\vskip10pt
Il n'est pas exag\'er\'e de dire que l'Enseignement des Math\'ematiques
\`a l'Universit\'e, et plus g\'en\'eralement des sciences exactes,
est dans un \'etat tr\`es pr\'eoccupant. Cela est confirm\'e par beaucoup
d'indices et de t\'emoignages directs, m\^eme si le niveau des ``meilleurs'' 
\'etudiants -- th\'esards, futurs chercheurs, \'el\`eves des Grandes
\'Ecoles -- est rest\'e \`a peu pr\`es inchang\'e au fil des ans.

Ce qui est principalement en cause, me semble-t-il, c'est la formation
des \'etudiants qui se situent dans la moyenne des promotions de Premier
et de Second Cycle, et en particulier ceux qui se destinent \`a
l'Enseignement.

L'enseignement math\'ematique de DEUG est suppos\'e apporter aux
\'etudiants les outils conceptuels les plus basiques et affiner les
m\'ethodes de calcul (alg\'ebriques, analytiques, g\'eom\'etriques)
n\'ecessaires pour la pratique scientifique au sens large. Or, les
bacheliers qui entrent \`a l'Universit\'e paraissent tr\`es mal
pr\'epar\'es \`a cette \'epreuve; bien souvent, leur vision des
math\'ematiques au sortir du Lyc\'ee se r\'eduit \`a la pratique
aveugle de techniques st\'er\'eotyp\'ees et une vision ``fig\'ee'' des
math\'ematiques -- comme si jamais ils n'avaient eu l'occasion de se
rendre compte que les math\'ematiques sont avant tout la science du
raisonnement plut\^ot qu'une technologie des ``recettes de calcul''.

La structure des DEUG ne fait rien pour arranger la situation. L\`a o\`u il
faudrait que les \'etudiants essaient de se concentrer sur un petit nombre
de sujets bien structur\'es, on voit fleurir dans beaucoup d'universit\'es
une organisation des enseignements en petits modules \'epars cens\'es
faciliter l'acquisition des connaissances et la r\'eussite aux examens.
L'objectif est sans doute atteint pour le deuxi\`eme point (gr\^ace \`a
de savants algorithmes de ``compensation'' et ``d'am\'elioration'' des
notes entre les diff\'erents mo\-dules, \'eventuellement d'une ann\'ee sur 
l'autre) mais c'est une faillite assez marqu\'ee en ce qui concerne le 
premier. Les moyens allou\'es \`a l'enseignement sont tout simplement 
insuffisants ou inadapt\'es: les cours magistraux en grand amphi (qui
sont encore le lot quotidien de la grande majorit\'e des \'etudiants) sont, 
on le sait, tr\`es peu profitables \`a des \'etudiants dont l'autonomie est 
encore peu d\'evelopp\'ee. L'insuffisance des horaires de travaux dirig\'es,
le manque d'investissement des \'etudiants face \`a une mati\`ere qui leur 
parait d\'epersonnalis\'ee et inaccessible, la pratique insuffisante 
du travail personnel dans les livres et les documents \'ecrits,
sont l\`a encore des handicaps r\'edhibitoires.
Bien s\^ur, des moyens mat\'eriels et humains consid\'erables seraient
n\'ecessaires pour r\'esoudre ces probl\`emes. Une plus grande flexibilit\'e
-- permettant aux \'etudiants de s'orienter davantage en fonction de leurs 
go\^uts et de leurs aptitudes -- serait tout aussi n\'ecessaire, en
conjonction avec de meilleures proc\'edures d'orientation et un plus 
grand s\'erieux dans les proc\'edures d'\'evaluation.

A l'arriv\'ee en Second Cycle, les lacunes sont telles que l'objectif
d'atteindre le niveau suppos\'e des concours de recrutement au CAPES
ou \`a l'Agr\'egation restera la plupart du temps une pure fiction. 
(Il est de notori\'et\'e publique que les re\c{c}us en queue de liste aux 
concours de recrutement le sont sur la base de r\'esultats tr\`es faibles 
aux \'epreuves \'ecrites). C'est inqui\'etant pour la p\'erennit\'e \`a long
terme du syst\`eme \'educatif, car il est difficile d'\^etre un bon enseignant
sans un minimum de recul sur la discipline que l'on enseigne...
\vskip20pt

{\bf
Sur l'enseignement au Lyc\'ee}
\vskip10pt
Les objectifs fondamentaux de l'enseignement des math\'ematiques au niveau
du Lyc\'ee nous paraissent \^etre 

1) l'apprentissage des bases du raisonnement\\
2) l'acquisition de quelques techniques fondamentales de calcul (alg\'ebrique,
   analytique)\\
3) le d\'eveloppement de la perception g\'eom\'etrique\\
4) la compr\'ehension de quelques exemples simples de mod\'elisation\\
5) l'usage raisonn\'e des outils de calcul (calculettes, micro-ordinateurs)

L'observation de quelques manuels \'edit\'es dans les derni\`eres
ann\'ees fait malheureusement appara\^{\i}tre que la tendance est \`a
une vision assez descriptive des math\'ematiques, o\`u le raisonnement
et la construction logique ont peu de place. En d\'epit d'une
pr\'esentation soign\'ee et haute en couleurs, les r\'esultats
math\'ematiques sont pr\'esent\'es comme des ``catalogues de recettes''
qui ne re\c{c}oivent presque jamais de justification, m\^eme dans les
cas o\`u de simples raisonnements de bon sens permettraient de les
atteindre. De longues suites d'exemples et d'exercices type sont l\`a
pour illustrer le cours, mais en l'absence de toute d\'emarche
d'abstraction ou de g\'en\'eralisation, on voit assez mal comment un fil
conducteur pourrait se d\'egager. Souvent, la profusion de couleurs, de
gadgets et de remarques ou distractions anecdotiques vient masquer
l'essentiel. Des observations analogues m'ont \'et\'e rapport\'ees par
des coll\`egues au sujet des enseignements de physique au Lyc\'ee (les
``manuels ne sont plus que des albums-photos''; ``je ne songe m\^eme
plus \`a proposer les manuels fran\c{c}ais r\'ecents de Physique \`a nos
partenaires des pays en voie de d\'eveloppement, ils auraient un effet
toxique'').

Or c'est dans la capacit\'e d'abstraire et de mod\'eliser que se situe la
pierre angulaire de l'enseignement des math\'ematiques. Comme il a \'et\'e
dit plus haut, les ``lacunes'' des \'etudiants (du moins, d'une grande
majorit\'e d'\'etudiants) lorsqu'ils arrivent \`a l'universit\'e sont h\'elas
telles que toute tentative de faire coller ces \'etudiants \`a des
programmes cens\'es correspondre \`a leur niveau d'\'etudes reste souvent
vaine ou fictive. Cela est particuli\`erement pr\'eoccupant pour les
\'etudiants qui s'orientent ensuite vers le professorat. Il faut compter
en effet avec un temps de maturation des notions qui se chiffre en
ann\'ees pour des notions fondamentales telles que la continuit\'e, la
g\'eom\'etrie vectorielle, les transformations, la lin\'earit\'e,
l'appr\'ehension de la notion de probabilit\'e... Il faut donc qu'une
premi\`ere approche de ces notions un peu conceptuelles ait lieu \`a des 
moments qui ne soient pas trop tardifs dans la scolarit\'e de l'\'el\`eve. 
A cel\`a doit correspondre n\'ecessairement une organisation des \'etudes
susceptible de r\'epondre aux imp\'eratifs de qualit\'e de
l'enseignement. L'insuffisance de la diversification des fili\`eres
(notamment de la fili\`ere scientifique), la tendance \`a la baisse
uniforme des horaires de l'enseignement des math\'ematiques nous
paraissent \^etre des contraintes incompatibles avec un enseignement
math\'ematique et scientifique de qualit\'e. 

La d\'emographie de la population lyc\'eenne a certes
consid\'erablement \'evolu\'e depuis une vingtaine d'ann\'ees, et il
est \'evident que des ajustements importants du syst\`eme \'educatif
\'etaient n\'ecessaires.  Or, quelle a \'et\'e l'\'evolution
constat\'ee? Face \`a un public fatalement plus h\'et\'erog\`ene
qu'autrefois, le syst\`eme \'educatif a r\'epondu par une plus {\it
grande uniformisation} (i.e.\ une plus grande rigidit\'e) des
fili\`eres menant aux \'etudes longues: cr\'eation de la Seconde
indiff\'erenci\'ee, unification des fili\`eres C, D, E en une unique
fili\`ere scientifique baptis\'ee S, en Premi\`ere et Terminale. Il ne
faut pas \^etre grand clerc pour voir qu'une telle strat\'egie ne
pouvait mener qu'\`a un nivellement par le bas. Il para\^{\i}t en
effet inconcevable d'imposer le ``m\^eme menu'' \`a des \'el\`eves qui
ont des go\^uts, des aptitudes et peut-\^etre d\'ej\`a des vocations
diff\'erentes. Au contraire, il faudrait valoriser chez chaque
\'el\`eve ce pour quoi son go\^ut commence \`a s'affirmer (que ce soit
en lettres, en sciences, en art, en sport...), en lui permettant de
concentrer ses efforts sur les mati\`eres pour lesquelles il se sent
une vocation. Le grand tort des anciennes fili\`eres C, D, E a \'et\'e
d'instituer un syst\`eme de s\'election par les sciences (et, en
l'occurrence par les math\'ematiques), qui a \'et\'e ressenti par
beaucoup comme une dictature des math\'ematiques sur l'ensemble des
autres disciplines -- y compris les autres disciplines
scientifiques. Le moyen radical trouv\'e pour supprimer cette
``dictature'' a \'et\'e de nier les diff\'erences individuelles et le
jeu de balance possible entre les disciplines. C'est tout simplement
inacceptable et cela a conduit en fait \`a un syst\`eme encore plus
in\'egalitaire qu'autrefois, o\`u seuls les \'etudiants les plus
favoris\'es et/ou b\'en\'eficiant d'un soutien appropri\'e peuvent
tirer leur \'epingle du jeu.

Venons-en concr\`etement aux grandes tendances, telles qu'elles
semblent se des\-siner pour l'enseignement des
math\'ematiques et de l'informatique au Lyc\'ee. Ces tendances
r\'esultent de nombreux facteurs: directives minist\'erielles,
propositions du CNP (Comit\'e National des Programmes), travaux des GTD
(Groupes techniques Disciplinaires), et enfin, \'evidemment
interpr\'etation de ces diff\'erentes orientations par les auteurs
de manuels et par le corps enseignant. Il est donc difficile de
d\'em\^eler l'influence et les cons\'equences exactes des d\'ecisions
prises, mais je vais n\'eanmoins essayer de me livrer \`a une analyse
des tendances, dans un contexte de r\'eduction continue des horaires
consacr\'es \`a l'enseignement de Math\'ematiques depuis plusieurs
ann\'ees. 
\vskip20pt

{\bf Sur le Comit\'e National des Programmes}
\vskip10pt
Le r\^ole du Comit\'e National des Programmes (CNP) est de
r\'efl\'echir aux grandes orientations des programmes d'enseignement,
en amont des travaux des groupes techniques disciplinaires.  J'ai peu
d'\'el\'ements concernant les d\'ebats internes au CNP, si ce n'est
des informations rapport\'ees par notre coll\`egue Michel Brou\'e qui
repr\'esentait les Math\'ematiques au sein du CNP depuis 1995. Le
Pr\'esident du CNP, Luc Ferry, a affirm\'e publiquement et \`a plusieurs
occasions qu'il n'a toujours pas \'et\'e convaincu, qu'il n'est pas
convaincu, ``de la l\'egitimit\'e de l'enseignement des
math\'ematiques dans le secondaire'' [non pas de la l\'egitimit\'e
d'enseigner telle ou telle part des math\'ematiques, ou de les
enseigner de telle ou telle fa\c{c}on, mais bien de la l\'egitimit\'e
d'enseigner les math\'ematiques tout court]. Ce faisant, il a
exprim\'e une opinion qui est tr\`es largement r\'epandue dans les
``cercles dirigeants'' (journalistes, voire politiciens),
singuli\`erement chez ceux qui n'ont eu aucune formation scientifique.
Ceci pose le probl\`eme de savoir si le CNP, par sa composition 
m\^eme, \'etait en mesure d'\'evaluer les grands enjeux concernant
l'enseignement des sciences. Il semble en la circonstance que la 
l\'egitimit\'e des Math\'ematiques ait \'et\'e jaug\'ee au travers de 
ses seules applications, et singuli\`erement par ses applications aux 
sciences sociales et humaines. Or les Math\'ematiques, qui sont 
historiquement une des disciplines majeures de l'esprit,
se justifient d\'ej\`a tr\`es bien, comme les autres sciences, par 
leur probl\'ematique interne et leur pouvoir d'explication de notre 
univers. S'il fallait encore chercher des justifications au travers des
applications, ce serait \'evidemment plut\^ot du c\^ot\'e des sciences
exactes qu'il faudrait regarder... En tout cas, il est difficile de 
mesurer quelle a \'et\'e l'influence du CNP dans les r\'ecentes 
d\'ecisions et orientations minist\'erielles. Malheureusement pour 
notre pays et pour l'enseignement des sciences en g\'en\'eral, on constate
une nette r\'egression des horaires et une baisse de la perception
des math\'ematiques comme outil fondamental de r\'eflexion au service
du citoyen.
\vskip20pt

{\bf Sur les programmes actuels et les propositions du GTD}
\vskip10pt
Compte tenu de ce qui pr\'ec\`ede, il est clair que les conditions
dans lesquelles s'est effectu\'e le travail du GTD (Groupe Technique 
Disciplinaire) charg\'e de l'\'elaboration des nouveaux programmes \'etaient 
tr\`es difficiles. Le GTD a sans doute essay\'e de parer au plus press\'e,
mais les propositions de programmes qui ressortent des documents 
disponibles (cf.\ {\tt 
http://www.cndp.fr/lycee/maths/default.htm })
peuvent susciter bien des interrogations.

Evoquons d'abord le contenu. Les programmes actuels, il faut le signaler,
n'ont pas \'et\'e \'elabor\'es par le pr\'ed\'ecesseur du pr\'esent 
GTD, mais directement par l'inspection g\'en\'erale suite \`a la
suppression des groupes techniques disciplinaires par Fran\c{c}ois
Bayrou. Dans une lettre dat\'ee du 21 octobre 1998, Michel Brou\'e exprimait
l'opinion suivante: ``{\it les probl\`emes que posent les programmes actuels
me semblent \'evidents~: Affaiblissement de la formation au raisonnement, au
profit d'apprentissages d'automatismes pas toujours significatifs;
Incompr\'ehension croissante, de la part des \'el\`eves, des
enjeux et de l'utilit\'e de ce qui leur est enseign\'e.}'' Or
il semble que plut\^ot que de s'attaquer au coeur de ces probl\`emes,
la tendance soit \`a essayer de les contourner en augmentant 
encore la place des aspects technologiques et applicatifs.  
Il n'est pas condamnable en soi que les math\'ematiques s'ouvrent aux 
applications, c'est m\^eme tr\`es souhaitable, mais lorsque cette vision 
est pouss\'ee trop loin, il y a un danger certain que la plus 
grande partie du temps qui devrait \^etre normalement utilis\'e \`a 
l'acquisition des concepts de base le soit pour faire tout autre chose
que des math\'ematiques, surtout dans un contexte o\`u les horaires
sont en r\'eduction. On risque en effet de cultiver le papillonnage sur 
des sujets relativement ``annexes'', et qui souvent, pour une
compr\'ehension r\'eelle des ph\'enom\`enes mis en jeu,
r\'eclameraient des connaissances math\'ematiques exc\'edant largement
les possibilit\'es des \'el\`eves.  Ce n'est donc pas de
math\'ematiques dont il s'agira. Ainsi, l'utilisation de tableurs pour
analyser des tableaux de chiffres peut se concevoir dans la
perspective d'une formation professionnelle courte d\'ebouchant sur
l'\'economie ou la compta\-bilit\'e, mais elle n'a gu\`ere sa place
dans un tronc commun de math\'ematique \`a vocation
g\'en\'eraliste. Il y a quelques math\'ematiques non triviales \`a
l'oeuvre dans les tableurs, comme le difficile concept de lin\'earit\'e,
mais ces logiciels ne sont pas (et de loin) les plus pertinents pour 
illustrer les math\'ematiques en question. Les informaticiens eux-m\^emes,
qui sont \'evidemment tr\`es concern\'es par l'introduction de concepts 
d'informatique au Lyc\'ee, semblent avoir sur la question un avis sans 
\'equivoque (voir le texte tr\`es int\'eressant de Bernard Lang,\\ 
{\tt http://pauillac.inria.fr/\~{}lang/ecrits/ailf/} )

Venons-en \`a la question cruciale, qui est celle de savoir quel sens
les \'el\`eves peuvent trouver \`a l'enseignement qui leur sera
dispens\'e. Nous prendrons l'exemple des Statistiques, sur lesquelles
les programmes actuels (et leurs successeurs potentiels) semblent
insister de fa\c{c}on un peu ``obsessionnelle'' (il est pr\'evu un
enseignement de statistiques d\`es la 6\`eme, repris chaque ann\'ee
jusqu'en Terminale). Je ne sais pas si cela est en rapport avec la
mode actuelle de pratiquer des sondages en toute occasion pour un oui
ou pour un non. Mais, si j'interpr\`ete bien les projets actuels, les
statistiques semblent devoir occuper une place assez
disproportionn\'ee par rapport \`a leur importance dans le contexte
des math\'ematiques en tant que science (\`a la diff\'erence
peut-\^etre des math\'ematiques ``ressenties'' par le citoyen \`a
l'\'ecoute des grands media). En tout cas, il est pr\'evu de donner
aux \'el\`eves une id\'ee de la mod\'elisation statistique en la 
justifiant au travers de la th\'eorie des probabilit\'es. C'est une 
bonne chose si ces notions interviennent seulement en fin de Lyc\'ee
et si le programme en reste \`a la compr\'ehension des 
concepts de base autour des probabilit\'es. Mais il semblerait 
qu'il soit pr\'evu de parler de densit\'es de probabilit\'e 
continues et de la loi normale comme approximation de lois discr\`etes 
portant sur de grands \'echantillons. L\`a, il me semble qu'on d\'epasse 
les bornes. En effet, il serait impensable de faire comprendre aux
\'el\`eves les math\'ematiques qui expliquent ces subtils ph\'enom\`enes de
convergence, comme le th\'eor\`eme central limite, totalement hors 
de port\'ee \`a ce niveau (et il faut noter \`a ce propos que les 
programmes encore en vigueur ont gravement sap\'e la 
partie concernant le concept ``banal'' de limite d'une suite ou d'une 
fonction, jug\'e trop difficile!) Il risque donc de s'agir plut\^ot
de recettes de calcul du type de ceux qui interviennent dans la pratique 
des sondages, et qui ne pourront pas \^etre vraiment justifi\'es sur un
plan math\'ematique, ou alors il s'agira d'une approche principalement 
descriptive.

Quoi qu'il en soit, la combinaison d'horaires insuffisants, de manque
de diversification des fili\`eres, les pressions ambiantes
pour introduire de multiples aspects ``applicatifs'' ou ``technologiques'', 
la necessit\'e de maintenir simultan\'ement un certain niveau th\'eorique 
et de pr\'eparer convenablement de futurs enseignants et de futurs 
scientifiques constitue un cocktail hautement contradictoire. Il ne faudra pas 
s'\'etonner des r\'esultats (et le GTD ne saurait en \^etre tenu pour 
responsable, ni critiqu\'e pour des arbitrages effectu\'es dans des 
conditions d\'efavorables dont il n'a pas la ma\^{\i}trise).
\vskip20pt

{\bf Organisation pratique des enseignements et TPE}
\vskip10pt

L'organisation des enseignements telle qu'elle semble \^etre
con\c{c}ue pour la prochaine rentr\'ee scolaire me para\^{\i}t aussi
comporter des risques de d\'erapage importants. Ainsi il est pr\'evu
d'introduire des heures de Travaux Personnels Encadr\'es (TPE), 
durant lesquelles les \'el\`eves devront mettre en pratique leur connaissances 
th\'eoriques. C'est sans doute une tr\`es bonne id\'ee si les TPE 
sont faits en relation \'etroite avec le cours fondamental correspondant.
Ce serait une occasion fort judicieuse de mettre les \'el\`eves face
\`a des probl\`emes ouverts, pour lesquels la solution n'est pas
connue d'avance mais r\'eclame au contraire une d\'emarche  
``exp\'erimentale'', un questionnement sur les m\'ethodes \`a utiliser,
une progression pas \`a pas et par t\^atonnements successifs
(\'evi\-dem\-ment, le niveau de ces probl\`emes doit \^etre en rapport 
avec celui des \'el\`eves, ce n'est pas ici de ``probl\`emes r\'eels''
de la recherche contemporaine dont il s'agit...).

Malheureusement, les modalit\'es pratiques de mise en place des TPE,
telles qu'elles sont d\'efinies dans les textes officiels,
introduisent des contraintes pour le moins \'etranges et \`a mon avis
n\'efastes.  D'une part -- mais ce n'est sans doute pas le point le
plus s\'erieux -- les TPE sont multi-disciplinaires et la
d\'elimitation entre les horaires des diff\'erentes disciplines n'est
pas clairement d\'efinie; il risque donc d'y avoir des variations
consid\'erables d'un \'etablissement \`a un autre en fonction des
disponibilit\'es des enseignants, des emplois du temps des classes,
etc. Mais ce qui me para\^{\i}t nettement plus inqui\'etant, c'est la
directive suivant laquelle les TPE doivent avoir en quelque sorte une
``vocation culturelle'', sur des th\`emes en constant renouvellement
(qui ne sont pas laiss\'es \`a l'appr\'eciation des enseignants et
changent chaque ann\'ee). Outre la difficult\'e pratique d'\'evaluer
de telles activit\'es, on risque de nouveau d'aboutir \`a un plus
grand morcellement des activit\'es p\'edagogiques, \`a la difficult\'e
de g\'erer des publics d'\'el\`eves qui auront re\c{c}u des
connaissances h\'et\'erog\`enes, d\'eflorant des sujets trait\'es dans
les ann\'ees sui\-vantes et/ou dans d'autres disciplines -- et donc
non op\'erationnels. Il aurait sans doute \'et\'e beaucoup
plus sage d'introduire les TPE dans le cadre des horaires de chaque 
discipline, en insistant sur le r\^ole fondamental
de ``l'exp\'erimentation personnelle'' pour l'acquisition des
connaissances, et non pas de r\'eduire de nouveau les horaires des
disciplines pour introduire d'autres activit\'es qui n'ont pas
avec celles-ci un rapport clair, direct et soigneusement d\'elimit\'e.

Je suis convaincu que les principales disciplines doivent
\^etre avant tout au service d'elles m\^emes, et lorsque c'est utile,
faire appara\^{\i}tre les ponts interdisciplinaires qui les servent --
pas l'inverse. Ainsi, la meilleure fa\c{c}on d'illustrer les
math\'ematiques est de les mettre en oeuvre dans des situa\-tions
concr\`etes proches de l'environnement quotidien des \'el\`eves, mais
id\'ealis\'ees pour faire abstraction des difficult\'es inh\'erentes
\`a d'autres probl\'ematiques.  Pour apprendre l'analyse combinatoire, 
on peut utiliser avec profit des situations g\'eom\'etriques qui 
interviennent dans les puzzles, les jeux, etc... m\^eme s'il ne s'agit 
pas d'objets d'\'etude ``savants'' li\'es \`a d'autres disciplines.  
De m\^eme l'apprentissage de l'analyse et de la g\'eom\'etrie peut 
donner lieu \`a d'innombrables exercices en liaison avec l'observation 
de notre environnement.
\vskip20pt

{\bf
Sur l'enseignement de l'informatique dans le Secondaire}
\vskip10pt
Il y a une forte volont\'e gouvernementale pour l'introduction de
l'informatique \`a l'\'Ecole, au Coll\`ege et au Lyc\'ee. Cette
volont\'e est justifi\'ee dans son principe -- au moins pour ce qui
concerne le Coll\`ege et le Lyc\'ee.  Mais l\`a encore, il ne faut pas
se tromper de cible ni d'informatique. Il ne semble pas qu'il y ait de 
de menaces tr\`es pr\'ecises de ce c\^ot\'e, mais on observe
des d\'erives \'etranges dans la pratique \'educative, en particulier
autour des programmes de math\'ematiques. D'autre part, compte tenu des 
propos irr\'efl\'echis tenus par le Ministre devant les media, il me
semble utile de pr\'eciser un certain nombre de points; je voudrais 
aussi profiter de l'occasion pour parler de la question importante
des logiciels libres, qui pourrait (et devrait \`a mon sens) avoir 
des retomb\'ees \'educatives consid\'erables.

Tout d'abord, l'informatique est une science autonome qui a ses
propres m\'ethodes, son propre cheminement conceptuel. Et cela m\^eme si
l'informatique est un science qui s'est d\'evelopp\'ee historiquement en
osmose \'etroite avec les math\'ematiques.  C'est un leurre de croire que
l'on assurera une quelconque formation \`a l'informatique en int\'egrant
dans le cours de math\'ematiques (ou de physique...) une pratique 
extensive des instruments de calcul. On ne fera en effet au mieux 
qu'enseigner l'usage d'une ``quincaillerie'' au service des math\'ematiques
ou de la physique -- usage que les \'el\`eves acqui\`erent par ailleurs 
assez facilement eux-m\^emes sur le tas compte tenu du niveau de 
diffusion maintenant \'elev\'e des outils de calcul. Il me para\^{\i}t assez 
vain, pour une formation \`a vocation g\'en\'erale, de passer un temps 
important \`a apprendre l'usage de logiciels ``tout pr\^ets'' pour des 
besoins techniques pr\'ecis (tableurs, traitements de texte, logiciels 
de pr\'esentation de donn\'ees, logiciels de cr\'eation de sites...)
Surtout quand la dur\'ee de vie des techniques et des logiciels est \`a 
l'\'echelle de l'ann\'ee ou du petit nombre d'ann\'ees. C\'eder \`a 
la mode Internet et vouloir faire ``surfer'' les \'el\`eves sans 
justification p\'edagogique serait absurde. Il serait bien
plus utile que les \'el\`eves acqui\`erent, dans des enseignements
sp\'ecifiques bien cibl\'es, quelques concepts fondamentaux et
universels de la programmation ou de la structuration des donn\'ees
(boucles it\'eratives, proc\'edures de rangement, r\'ecursivit\'e,
concepts s\'emantiques...), ind\'ependamment des techniques
contingentes du moment. Signalons qu'il y a eu des exp\'eriences
r\'eussies -- m\^eme \`a un niveau \'el\'ementaire -- avec des
langages bien adapt\'es comme le Logo (un peu oubli\'e, mais toujours
d'actualit\'e). Savoir si l'on doit introduire des heures sp\'ecifiques
d'enseignement informatique ``v\'eritable'' au Lyc\'ee est un vaste d\'ebat 
qui m\'eriterait une r\'eflexion approfondie et auquel je ne veux pas 
apporter de r\'eponse ici -- mon sentiment est qu'il le faudrait, au moins en
fin de Lyc\'ee et dans le cadre d'une diversification plus grande de la
fili\`ere scientifique.

En direction inverse, remplacer les cours de math\'ematiques par des
cours d'utilisation de calculettes sous pr\'etexte que les calculettes
ont maintenant des capacit\'es notables de calcul formel et peuvent
donc suppl\'eer \`a la compr\'ehension des \'el\`eves est totalement
absurde. La compr\'ehension doit accompagner -- ou mieux encore
pr\'ec\'eder, et l'usage de l'outil de calcul sera l\'egitime si la
p\'enibilit\'e des t\^aches calculatoires que doit effectuer
l'\'el\`eve s'en trouve all\'eg\'ee, si sa capacit\'e \`a
appr\'ehender le champ disciplinaire concern\'e s'en trouve
accrue. 
\vskip20pt

{\bf
Enseignement de l'informatique et logiciels libres}
\vskip10pt
Les efforts effectu\'es dans des tentatives d'enseignement de
l'informatique ne sont pas r\'ecents, et, dans la d\'ecennie
\'ecoul\'ee, un grand nombre d'enseignants tr\`es motiv\'es ont
pass\'e un temps consid\'erable \`a \'elaborer des s\'equences
d'enseignement et des donn\'ees p\'edagogiques.  Malheureusement, ces
efforts ont souvent port\'e sur des techniques et des environnements
tellement ferm\'es que leur travail s'est trouv\'e rapidement
p\'erim\'e et perdu (l'un des probl\`emes les plus s\'erieux \'etant
la non p\'erennit\'e des formats de donn\'ees dans les environnements
commerciaux les plus r\'epandus).  Bien s\^ur, les outils qui aident
\`a la compr\'ehension des disciplines fondamentales (ou\-tils de
calcul formel, de g\'eom\'etrie dynamique, de simulation
m\'ecanique...) sont les bienvenus et peuvent entrer naturellement
dans le cadre du travail disciplinaire.  Un souci l\'egitime est de
veiller \`a la durabilit\'e des proc\'edures et des outils
utilis\'es. Dans ce cadre, l'usage de logiciels libres serait un atout
consid\'erable, car l'environnement de travail y est beaucoup plus
propice \`a l'apprentissage des concepts et des principes g\'en\'eraux
-- de m\^eme qu'y sont essentiellement r\'esolus les probl\`emes de
p\'erennit\'e des donn\'ees, et que l'acc\`es libre et gratuit \`a
l'information scientifique devient possible. Tous les besoins
essentiels sont largement couverts par les logiciels libres, avec de
nombreux outils de programmation (environnements performants pour tous
les langages existants), de calcul num\'erique (scilab, octave), de
calcul formel (pari, drgenius), de g\'eom\'etrie dynamique (drgeo), de
repr\'esentations de donn\'ees (gnuplot, geg), de m\^eme que les
logiciels \`a vocation plus technologique (tableur Gnumeric, CAO avec
QCad...). Malheu\-reusement l'infrastructure et la formation des
personnels \`a l'usage des logiciels libres est encore tr\`es
insuffisante.  Il faudrait donc ne pas mettre la charrue avant les
boeufs, et pr\'evoir dans ce domaine des actions tr\`es substantielles
de formation \`a l'intention des personnels enseignants concern\'es.
\vskip5pt

Pour beaucoup plus de d\'etails sur ces questions, on pourra  consulter 
le site de l'AFUL:\\
{\tt http://www.aful.org , http://www.aful.org/education}

Informations sur les ressources \'educatives libres:\\
{\tt http://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/\~{}demailly/exp${}_{}$linux/exp.html}

Sites du CARMI Internet Grenoble:\\
(Liens http) {\tt http://www.ac-grenoble.fr/carmi-internet/ge/liens.php}\\
(Site FTP)\kern8pt {\tt ftp://ftp.ac-grenoble.fr/ge}
\vskip20pt

{\bf
Annexe: propositions concr\`etes de programmes de math\'ematiques}
\vskip10pt

Nous avons voulu donner une forme concr\`ete aux id\'ees
pr\'ec\'edentes en proposant une architecture de programme pour les
deux derni\`eres ann\'ees du Lyc\'ee. Le programme propos\'e
ci-dessous ne pr\'etend pas \^etre mat\'eriellement r\'ealisable avec
les contraintes actuellement en vigueur au niveau des horaires et de
la r\'epartition des fili\`eres. Nous avons simplement voulu d\'egager
ce qui nous para\^{\i}t \^etre le ``minimum vital'' de connaissances
indispensable pour des \'etudiants qui souhaitairaient s'engager
ensuite dans une fili\`ere scientifique o\`u les math\'ematiques, la
physique ou la m\'ecanique seront des parties pr\'edominantes.  Le
programme propos\'e demanderait sans doute des adaptations importantes
pour de futurs \'etudiants dans d'autres sciences comme la biologie,
la chimie la g\'eologie ou l'informatique. L\`a encore, une plus grande
souplesse et une plus grande diversification des fili\`eres -- en
particulier en classe Terminale -- nous appara\^{\i}t particuli\`erement
souhaitable. Il devrait peut \^etre m\^eme \^etre envisag\'e d'en revenir 
\`a une diversification partielle d\`es la classe de Seconde, avec une 
forte valorisation disciplinaire (et sans exclusive au niveau des
disciplines).
\vskip20pt

{\bf
Propositions pour les programmes de Math\'ematiques de fin de Lyc\'ee}
{\bf (fili\`ere Math/Physique/M\'ecanique)}
\vskip10pt

{\bf
Principes de base}
\vskip10pt

Il est \'evidemment hors de question au niveau secondaire de mettre en
place un enseignement formalis\'e et axiomatique, qui pr\'etendrait
tout d\'emontrer \`a partir des axiomes de base de la th\'eorie des
ensembles -- l'exp\'erience a \'et\'e tent\'ee il y a 25 ans et elle
n'a pas \'et\'e concluante!

Le point important nous para\^{\i}t \^etre l'acquisition du {\it sens
sous-jacent} aux principales notions. Or ce sens ne peut se d\'egager
sans que les hypoth\`eses de d\'epart soient clairement \'enonc\'ees,
et dans tous les cas o\`u un raisonnement {\it simple et intuitif}
permet d'aboutir \`a des r\'esultats cl\'es, ce raisonnement doit
\^etre explicit\'e en d\'etail -- m\^eme s'il faut y consacrer du
temps. En math\'ematiques, le corpus de connaissances actuel montre
qu'il est possible de d\'ecrire une m\^eme ``th\'eorie'' en empruntant
des chemins fort diff\'erents. Il est \'evident que pour un enseignement
destin\'e au plus grand nombre, c'est le chemin qui correspond \`a la
vision {\it la plus intuitive} et la plus proche du sens commun qui
doit \^etre privil\'egi\'e. Une piste claire est fournie par l'analyse
suivante due \`a Laurent Schwartz: ``{\it Une math\'ematique est riche
si elle introduit peu de concepts et de structures, et beaucoup
de th\'eor\`emes \`a leur sujet [...] Le but des math\'ematiques n'est pas
de d\'emontrer rigoureusement des choses que tout le monde voit; il est
de trouver des r\'esultats riches, et, pour en \^etre s\^ur, de les 
d\'emontrer.}''

L'accumulation de r\'esultats anecdotiques ou trop technologiques nous
para\^{\i}t donc contraire \`a la n\'ecessit\'e d'un certain recul
conceptuel dans l'enseignement \`a vocation g\'en\'eraliste. L'usage
des outils de calculs doit aussi \^etre temp\'er\'e pour tenir compte
de cette n\'ecessit\'e et de l'\'evolution de la technique, qui rend
obsol\`etes les outils mis sur le march\'e au bout de quelques
ann\'ees seulement. Ne plus enseigner l'arithm\'etique parce que ``les
machines savent faire'' serait absurde; il en serait de m\^eme de ne
plus enseigner les concepts sous-jacents \`a l'analyse et l'\'etude
des fonctions sous pr\'etexte que les calculettes graphiques mettent
instantan\'ement le graphe et les variations d'une fonction sous les
yeux des \'el\`eves...  
\vfill\eject

{\bf
Proposition pour le programme de 1\`ere}

Le programme se compose d'une liste de points qui seront trait\'es non
pas comme des faits isol\'es, mais avec le souci de mettre en \'evidence
leurs relations mutuelles, et chaque fois que cela est possible,
de d\'eduire explicitement les cons\'equences des r\'esultats qui
les pr\'ec\`edent ou les motivent.

{\it 1. Logique, combinatoire et probabilit\'es}

a. Langage des ensembles: appartenance, inclusion, intersection, 
r\'eunion, compl\'e\-mentaire; exemple des ensembles de nombres
(intervalles ouverts, ferm\'es, etc...);
lien avec les connecteurs logiques ``et'', ``ou'', ``n\'egation'',
``implication''. Ensemble des parties d'un ensemble, d\'enombrement 
de cet ensemble [Ces points seront trait\'es en liaison avec la
combinatoire et le langage des probabilit\'es; on les illustrera
par des probl\`emes concrets: nombre de fa\c{c}on d'asseoir des 
convives autour d'une table...]. 

b. Applications, injections, surjections, bijections. Permutations 
d'un ensemble, factorielles. Arrangements avec r\'ep\'etitions (formule
$n^p$). Utilisation d'arbres pour aboutir au d\'enom\-brement.

c. Ev\`enements, probabilit\'es, \'equiprobabilit\'e. Notion d'\'ev\`enements 
ind\'ependants. Exem\-ples simples [Lancers de d\'es, tirages de cartes...
Si le temps et le mat\'eriel le permettent, simulations num\'eriques].
\medskip

{\it 2. Alg\`ebre}

a. Polyn\^omes du premier et du second degr\'e, r\'esolution d'\'equations
et d'in\'equations polynomiales.

b. Algorithme de division des polyn\^omes (sur des exemples de bas degr\'e),
factorisation des polyn\^omes (degr\'es 2 ou 3,4 avec racines ``\'evidentes'').

{\it 3. Analyse}

a. Etude des suites. Suites arithm\'etiques et g\'eom\'etriques, notion de
limite d'une suite\footnote*{On donnera la d\'efinition rigoureuse,
mais on ne cherchera pas \`a travailler sur les $\epsilon$ autrement
que par des exp\'erimentations num\'eriques \`a l'aide de calculettes, ou
dans des cas pour lesquels l'erreur est facilement calculable de
mani\`ere explicite.}.

b. G\'en\'eralit\'es sur les fonctions: fonctions monotones, z\'eros, extrema, 
exemples pour lesquels on sait calculer les z\'eros ou les extrema 
``\`a la main''.

c. Notion de limite (\`a droite, \`a gauche) d'une fonction en un point
(m\^eme commentaire que pour les suites). Th\'eor\`emes fondamentaux sur les 
limites (somme, produit, quotient, gendarmes -- admis).

d. Fonctions continues. Exemples de fonctions discontinues (fonction
caract\'eristique d'un intervalle, partie enti\`ere).
Th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires (admis), existence d'extrema sur un
segment (admis).

d. D\'eriv\'ee (comme limite du taux d'accroissement), \'equation de
la tangente, interpr\'etation de la d\'eriv\'ee comme pente de la
tangente.  Premiers exemples (polyn\^omes) et contre-exemples
(fonction racine carr\'ee en z\'ero). La d\'erivabilit\'e implique la
continuit\'e, mais l'inverse est faux.

e. Signe de la d\'eriv\'ee des fonctions monotones. Annulation de la
d\'eriv\'ee en un extremum. Monotonie (admise) des fonctions ayant une
d\'eriv\'ee de signe constant. Application \`a l'\'etude de la
variation des fonctions et \`a la recherche
d'in\'egalit\'es. Utilisation de calculettes graphiques pour cet
usage.  
\medskip

{\it 4. G\'eom\'etrie}
\font\tenBbb=msbm10\font\sevenBbb=msbm7 \font\fiveBbb=msbm5
\newfam\Bbbfam \textfont\Bbbfam=\tenBbb\scriptfont\Bbbfam=\sevenBbb 
\scriptscriptfont\Bbbfam=\fiveBbb \def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb}
\def\bC{{\Bbb C}}\def\bN{{\Bbb N}}\def\bR{{\Bbb R}}\def\bZ{{\Bbb Z}}

a. Concept d'espace euclidien de dimension $n=1,2,3$\footnote*{Une
fois la d\'efinition donn\'ee, on se travaillera pour l'essentiel
d'abord en dimension~2.  On ne cherchera pas \`a pr\'esenter des
``axio\-matiques'' qui dissocieraient les aspects affines des aspects
m\'etriques. On cherchera cependant \`a adopter une d\'emarche un tant
soit peu d\'eductive, rendue particuli\`erement simple dans l'approche
sugg\'er\'ee ici. On introduira syst\'ematiquement les concepts \`a
partir de leur d\'efinition intrins\`eque plut\^ot que par le calcul
en coordonn\'ees (qui, dans la mesure du possible, ne viendra
qu'ult\'erieurement).  Il pourra \^etre utile de signaler -- de
fa\c{c}on purement descriptive et sur un dessin ou une photo -- qu'il
existe des g\'eom\'etries non euclidiennes, par exemple la surface
d'un terrain avec une colline centrale o\`u il peut y avoir deux
chemins diff\'erents de longueur minimale entre 2 points situ\'es de
part et d'autre de la colline.}: c'est un ensemble $E$ d'\'el\'ements
appel\'es points, muni d'une application $d:(M,M')\mapsto d(M,M')$ de
$E\times E$ dans les r\'eels postifs ou nuls, appel\'ee distance, pour
lequels la propri\'et\'e de base suivante est v\'erifi\'ee: il existe
une bijection
$$
M\mapsto\hbox{coord}(M)=(x_1,\ldots,x_n)
$$ 
de $E$ dans $\bR^n$, appel\'ee application coordonn\'ees, telle que pour tout
couple de points $(M,M')$ de $E$ on ait
$$
d(M,M')=\sqrt{(x_1-x_1')^2+\ldots+(x_n-x_n')^2}.
$$

b. (R\'evisions) Milieu $I$ d'un bipoint $(A,B)$ (unique point tel que
$d(A,I)=d(I,B)={1\over 2}d(A,B)$, l'unicit\'e \'etant justifi\'ee plus
tard), coordonn\'ees du milieu. Parall\'elogramme $ABCD$ (d\'ef:
m\^eme milieux des diagonales $(A,C)$ et $(B,D)$), bipoints
\'equipollents, carac\-t\'e\-risation en termes de
coordonn\'ees. Concept de vecteur, ensemble $\overrightarrow{E}$ des
vecteurs associ\'e \`a l'espace euclidien $E$, formule de Chasles,
addition et produit d'un vecteur par un scalaire (surtout en dimension
$2$, uniquement rep\'erage et calculs de coordonn\'ees en dimension
$3$).

c. Segments, droites, demi-droites, vecteurs colin\'eaires,
d\'efinitions intrins\`eques et carac\-t\'e\-risations en
coordonn\'ees. Vecteurs directeurs et \'equations para\-m\'etriques
d'une droite dans un espace euclidien $E$ de dimension $2$.

d. Equation cart\'esienne d'une droite dans un plan. Intersections
de droites et r\'esolution des syst\`emes lin\'eaires $2\times 2$, formules
de Cramer. Droites parall\`eles; demi-plans, intersection de demi-plans,
r\'egionnement du plan.

e. Notion de base associ\'ee \`a un espace euclidien de dimension $2$
(syst\`eme de 2 vecteurs tel que tout vecteur est combinaison
lin\'eaire unique de ceux-ci). Rep\`eres (non n\'ecessairement
orthonorm\'es), coordonn\'ees associ\'ees. Barycentre d'un syst\`eme
de points pond\'er\'es.  Application \`a la r\'esolution de
probl\`emes \'el\'emen\-taires dans le plan (g\'eom\'etrie du
triangle, \'etude des polygones...) [Th\`eme possible: utilisation de 
logiciels de g\'eom\'etrie dynamique].

f. Produit scalaire. On pourra poser par d\'efinition
$\Vert\overrightarrow{AB}\Vert=d(A,B)$ et
$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=
{1\over 4}\Big(\Vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert^2-
\Vert\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\Vert^2\Big).
$$
Expression du produit scalaire dans les coordonn\'ees canoniques, puis 
dans une base quelconque,
en dimension $2$. Mise en \'evidence de la bilin\'earit\'e (sans expliciter
ce concept). Cas du plan, interpr\'etation analytique de la condition
\hbox{$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$} 
(d'abord dans le cas du plan,
si $\overrightarrow{u}$ est non nul de coordonn\'ees $(a,b)$, alors 
$\overrightarrow{v}$ est colin\'eaire au vecteur de coordonn\'ees $(b, -a)$), 
notion de vecteurs orthogonaux. Th\'eor\`eme de Pythagore, lien entre la 
d\'efinition initiale et la formule de la m\'ediane. Notion de base et de 
rep\`ere orthonorm\'e (et mise en \'evidence de la non unicit\'e de 
l'application coord dans la d\'efinition initiale d'un espace euclidien!). 

g. Cercle, \'equation du cercle. Cercle trigonom\'etrique, angle comme
longueur d'arc (l'existence de la longueur d'arc de cercle est admise --
\'etant suffisamment intuitive pour \^etre comprise sans justification...). 
Fonctions sinus, cosinus, tangente, cotangente, p\'eriodicit\'e, valeurs 
remarquables. Formules d'addition des angles (obtenues par changement 
de base orthonorm\'ee), d\'eriv\'ees des fonctions trigonom\'etriques 
(d\'eduites de la limite $\lim_{h\to 0}\sin h/h=1$ -- ce r\'esultat 
pourra par exemple \^etre justifi\'e par consid\'eration du cercle 
trigonom\'etrique et du rectangle de c\^ot\'es $\sin h$ et $1-\cos h$
contenant l'arc de cercle, la longueur $h$ de celui-ci \'etant minor\'ee par 
$s=\sin h$ et major\'ee par le demi-p\'erim\`etre 
$\sin h+(1-\cos h)=s+1-\sqrt{1-s^2}\le s+s^2$ en sorte que $\lim h/s=1$). 
Sens de variation et graphe des fonctions trigonom\'etriques. Formule de 
changement de rep\`ere orthonorm\'e dans le plan.

h. Projections et sym\'etries par rapport \`a une droite
parall\`element \`a une autre droite. Expression analytique en
coordonn\'ees. Cas des projections et sym\'etries
orthogonales. Expression analytique de la distance d'un point \`a une
droite. Rotations planes. Compos\'ees de rotations/sym\'etries
orthogonales, compos\'ees de rotations et de translations, de
sym\'etries et de translations.
\vfill\eject

{\bf
Proposition pour le programme de Terminale}

Le programme se compose d'une liste de points qui seront trait\'es non
pas comme des faits isol\'es, mais avec le souci de mettre en \'evidence
leurs relations mutuelles, et chaque fois que cela est possible,
de d\'eduire explicitement les cons\'equences des r\'esultats qui
les pr\'ec\`edent ou les motivent.

{\it 1. Arithm\'etique, combinatoire et probabilit\'es}

a. Raisonnement par r\'ecurrence, illustration sur des formules combinatoires
simples (somme des $n$ premiers entiers, des $n$ premiers carr\'es ou cubes,
sommes partielles de la s\'erie g\'eom\'etrique).

b. Nombres premiers, existence d'une infinit\'e de nombres
premiers. Algorithme d'Euclide, ppcm, pgcd, existence (et -- 
facultativement -- preuve de l'unicit\'e) de la d\'ecom\-position en facteurs 
premiers.
Preuve de l'irrationnalit\'e de $\sqrt{p}$, si $p$ est un nombre premier
(on pourra se limiter \`a $p=2$). Congruences, table de Pythagore des
``anneaux'' $\bZ_n$ (${}=\bZ/n\bZ$, notation qu'on \'evitera 
cependant d'introduire...) 
pour des exemples simples de valeurs de $n$,
premiers et non premiers (et bien entendu, il n'est pas question de d\'efinir
la notion g\'en\'erale d'anneau). Principe de la preuve par $9$ et par~$11$.
[Th\`eme possible: dans $\bZ_p$, la multiplication par une classe non nulle
induit une permutation; v\'erification avec calculettes programmables;
petit th\'eor\`eme de Fermat]. 

c. Combinaisons et arrangements. $C_n^p$, formule du bin\^ome (dans $\bR$,
puis dans $\bC$ lorsque les nombres complexes auront \'et\'e vus).

d. Variables al\'eatoires, variance, \'ecart-type (espaces
probabilis\'es toujours finis!). Tira\-ges r\'ep\'et\'es (avec
remise). Loi binomiale.  [Th\`eme possible: tirages r\'ep\'et\'es sans
remise, loi hyperg\'eom\'etrique, approximation par la loi binomiale,
application aux sondages].

e. Utilisation de calculettes et/ou de microordinateurs, et mise en
oeuvre d'algorithmes de programmation \'el\'ementaires (boucles
it\'eratives...)  illustrant a, b, c, d.

{\it 2. Analyse}

a. Majorants, minorants, borne sup\'erieure, borne inf\'erieure d'un
ensemble de nombres r\'eels; cas des intervalles et d'ensembles
simples du type $\{1/n,\,n\hbox{\ entier non nul}\}$ -- on se
contentera d'une approche descriptive de ces notions. Existence de la
limite d'une suite croissante major\'ee, \'egale au sup des
valeurs. D\'eveloppement illimit\'e d'un nombre r\'eel dans une base
$b$, d\'eveloppement d\'ecimal propre et impropre. Caract\'erisation
des rationnels par la p\'eriodicit\'e du d\'eveloppement dans une base
($b=10$). Existence d'une limite \`a droite et \`a gauche pour les
fonctions croissantes.

b. D\'erivation des fonctions compos\'ees. Approfondissement de la
technique du calcul des d\'eriv\'ees et des limites; Th\'eor\`eme de
Rolle pour une fonction d\'erivable sur $[a,b]$ (\`a partir du
th\'eor\`eme admis en 1\`ere sur l'existence des extrema d'une
fonction continue); formule des accroissements finis (prouv\'ee en
consid\'erant $g(x)=f(x)-(x-a){f(b)-f(a)\over b-a}$).  Justification
du fait que la postivit\'e de la d\'eriv\'ee entra\^{\i}ne la
croissance; utilisation pour l'obtention d'in\'egalit\'es telles que
$\sin x<x$ pour $0<x\le\pi/2$. Utilisation des d\'eriv\'ees pour
\'evaluer des limites. Comportement des fonctions \`a l'infini,
d\'eveloppement de la forme $ax+b+\varepsilon(x)$, asymptotes
``obliques''.  Utilisation des outils de calcul.

c. Notion d'aire d'un domaine du plan. On se limitera au cas o\`u le
domaine est limit\'e par le graphe de fonctions continues par
morceaux.  Exemples d'encadrement par des fonctions en escalier et
passage \`a la limite (on ne proc\'edera pas \`a une \'etude abstraite
g\'en\'erale, et on traitera uniquement des exemples simples:
fonctions affines, paraboles...; on pourra aussi ou alternativement
proc\'eder \`a des exp\'erimentations num\'eriques avec des
calculettes programmables ou des micro-ordinateurs). L'existence de
l'aire situ\'ee ``sous'' le graphe d'une fonction continue par
morceaux sera admise en g\'en\'eral. Concept d'aire
alg\'ebrique. Preuve, par encadrement, du fait que si $F(x)$ d\'esigne
l'aire alg\'ebrique situ\'ee sous la graphe d'une fonction
continue~$f$, alors $F$ est d\'erivable et de d\'eriv\'ee \'egale \`a
$f$. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle. Formule
fondamentale
$$
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a).
$$ 
Primitives des fonctions usuelles, application au calcul d'aires
(les techniques avanc\'ees de calcul int\'egral, changement de variable,
int\'egration par parties ne sont pas au programme).

d. Existence de la fonction r\'eciproque d'une fonction continue
strictement monotone sur un intervalle (en arguant du th\'eor\`eme des
valeurs interm\'ediaires et du fait admis que l'image d'un intervalle
est un intervalle; on travaillera cependant sur les contre-exemples
qui apparaissent lorsque les hypoth\`eses sont rel\^ach\'ees). 
D\'erivation d'une fonction r\'eciproque. Fonction logarithme comme
primitive de la fonction $x\mapsto 1/x$. Fonction exponentielle. 
Fonctions $x^y$, cas particulier de la fonction racine
$n$-i\`eme. Comportement \`a l'infini, d\'erivation des fonctions
logarithmes, exponentielles et puissances. Int\'egrales mettant en
oeuvre de telles fonctions (pas d'int\'egration par parties...).
[Th\`eme: r\'esolution de l'\'equation diff\'erentielle $y'=ay$ --
preuve en consid\'erant la fonction $u(x)=e^{-ax}y(x)$); applications:
pression barom\'etrique, d\'ecroissance radioactive...].

{\it 3. Alg\`ebre et g\'eom\'etrie}

a. Nombres complexes, d\'efinis comme couples de nombres r\'eels. Notation
$a+ib$. Conjugu\'e d'un nombre complexe. Module et argument. 
Structure de plan euclidien. R\'esolution de l'\'equation du second degr\'e
dans $\bC$. Formule de Moivre, racines $n$-i\`emes de l'unit\'e
[Th\`emes possibles: \'etude du pentagone r\'egulier,
Suite d\'efinie par une relation de r\'ecurrence de la forme 
$u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}$ dans $\bC$, utilisation de l'\'equation 
carac\-t\'eristique et de la lin\'earit\'e]. Similitudes directes et
transformations $z\mapsto az+b$. 

b. D\'ependance et ind\'ependance lin\'eaire de vecteurs en dimension
$3$.  Notions de base et de rep\`eres (non n\'ecessairement
orthonorm\'es) d'un espace de dimension $3$, en liaison avec la
r\'esolution des syst\`emes d'\'equations de 3 \'equations \`a 3
inconnues (m\'ethode pragmatique par combinaisons
lin\'eaires). Equations de plans, points coplanaires.  Produit
scalaire en dimension $3$, angle non orient\'e de vecteurs, plan
orthogonal \`a une droite, distance d'un point \`a un plan.
[Th\`emes: produit vectoriel, proc\'ed\'e d'orthogonalisation de
Schmidt pour un syst\`eme de $2$ ou $3$ vecteurs lin\'eairement
ind\'ependants; programmation et visualisation de l'algorithme; un
plan est en bijection avec $\bR^2$ en sorte que la distance y induit
une structure de ``sous-espace euclidien'']. Equations cart\'esiennes
et param\'etriques d'un plan dans l'espace de dimension $3$,
intersections de plans et syst\`emes lin\'eaires de $2$ ou $3$
\'equations \`a $3$ inconnues. Barycentres en dimension~$3$ [Th\`eme:
illustrations g\'eom\'etriques, par exemple, \'etude du
t\'etra\`edre].

c. Approfondissement de l'\'etude des transformations affines dans le
plan et dans l'espace: projections et sym\'etries sur un plan
parall\`element \`a une droite, calcul en coordonn\'ees, cas de
projections et de sym\'etries orthogonales. Rotation autour d'un axe,
compos\'ee de deux sym\'etries affines orthogonales par rapport \`a
des plans. Notion d'application affine $f:E\to E$ et d'application
lin\'eaire $\varphi:\overrightarrow{E}\to \overrightarrow{E}$: on dit
que $f$ est affine (resp.\ que $\varphi$ est lin\'eaire) si en
coordonn\'ees l'application s'\'ecrit $Y=AX+B$ (resp.\ $Y=AX$). On a
$\overrightarrow{f(M)f(N)}=\varphi(\overrightarrow{MN})$ si $\varphi$
est l'application lin\'eaire ``associ\'ee'' \`a~$f$, et $\varphi$
satisfait la propri\'et\'e de lin\'earit\'e fondamentale
$$
\varphi(\lambda_1\overrightarrow{v_1}
+\lambda_2\overrightarrow{v_2})=\lambda_1\varphi(\overrightarrow{v_1})
+\lambda_2\varphi(\overrightarrow{v_2}).
$$ 
[Th\`eme: reconnaissance d'une projection ou d'une sym\'etrie affine
par rapport \`a un plan parall\`element \`a une droite \`a partir de
l'\'etude des points invariants par $f$, des vecteurs annul\'es ou
transform\'es en leurs oppos\'es par $\varphi$.]
\vskip60pt

{\it Nota:} ce texte, dans ses diff\'erentes versions, a \'et\'e \'elabor\'e
uniquement \`a l'aide de logiciels libres (emacs, amaya, netscape, \TeX),
 sous un environnement GNU/Linux. 

\end
