Michelle Bucher

Il est dorénavant bien connu qu'il existe, à un multiple près, une unique fonction mesurable $f:\mathbb{C}\setminus\{0,1\} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfaisant la fameuse équation à $5$ termes

$$f(x)-f(y)+f\left( \frac{y}{x}\right) - f\left(   \frac{1-y}{1-x}    \right) + f\left( \frac{x}{y}\cdot \frac{1-y}{1-x}   \right) =0.$$ 

En effet, une telle fonction est nécessairement un multiple du dilogarithme de Bloch-Wigner. Dans le cadre de fonctions lisses ($\mathcal{C}^2$ suffit), il est relativement facile de montrer ceci avec quelques d\'erivations. Pour des fonctions mesurables, la preuve de Bloch repose sur une identification avec la cohomologie mesurable en degr\'e $3$ de $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$, et se résume à l'affirmation -- qui sera détaillée dans l'exposé -- que la cohomologie mesurable de $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ se calcule à partir de la cohomologie des cochaines $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-invariantes sur $P^1(\mathbb{C})$.

 

Dans cette exposé  nous nous intéresserons aux possibles generalisation de cette affirmation, en remplaçant $ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ par un groupe de Lie semisimple, connexe, de centre fini $G$, et $P^1(\mathbb{C})$ par le bord de Furstenberg $G/P$ (o\`u $P$ est un sous-groupe parabolique minimal). Nous verrons en particulier que l'etude du cas $G= \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})\times \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ mène à  l'existence de fonctions $f:(\mathbb{C}\setminus\{0,1\})^2\rightarrow \mathbb{R}$,  dont l'interprétation géométrique demeure mystérieuse, satisfaisant l'equation à $5$ termes correspondante sans être une combinaison linéaire des dilogarithmes de Bloch-Wigner sur les deux facteurs de $(\mathbb{C}\setminus\{0,1\})^2$.

 

Nous explorerons aussi les propriétés de régularité de telles fonctions (mesurables vs continues) pour en déduire la validité de nouveaux cas d'une conjecture de Nicolas Monod de 2004 sur la cohomologie bornée. 

 

Travail en commun avec Alessio Savini.