Un théorème de Lichnerowicz (1958) indique que pour les variétés Riemanniennes en dimension $n$ dont la courbure de Ricci est minorée par $n-1$, la plus petite valeur propre positive du Laplacien vérifie $\lambda \ge n$. Cette borne est optimale, car il y a égalité pour la sphère. Elle a depuis été étendue au cadre des espaces métriques mesurés à courbure positive. Dans cet exposé, je présenterai un résultat de stabilité : si la plus petite valeur propre est proche de $n$, alors la mesure image du volume par une fonction propre normalisée est proche d’une loi beta de paramètre $n/2$, avec une borne optimale en distance de transport optimal $L^1$. Travail en collaboration avec I. Gentil et J. Serres.