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Phénomène de Gibbs

Les graphes des fonctions SF(f )n possède un maximum ayant comme coordonnées xn, yn. Pour la fonction f définie par

f (x) = x pour x $\displaystyle \in$ ] - $\displaystyle \pi$; $\displaystyle \pi$[,    f ($\displaystyle \pi$) = 0

quand n tend vers + $ \infty$, on va montrer que :

xn $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle \pi$,    yn $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle \alpha$ = 2$\displaystyle \int_{0}^{\pi}$$\displaystyle {\frac{\sin(t)}{t}}$dt

Le calcul approché de $ \alpha$ (cf exercice 3) montre que $ \alpha$ > 3.7 > $ \pi$. Ces ''bosses'' au voisinage du point de discontinuité s'appellent le phénomène de Gibbs.

Exercice 2 (à rendre à la fin du TP)
Observation du phénomène de façon empirique: déterminer les coordonnées xn, yn du maximum de :
SF(f )n(x) = $ \sum_{k=0}^{n}$ak(f )cos(kx) + bk(f )sin(kx) pour n=1, 2, 3, 4, 5, 6.

Exercice 3 (à faire ou à préparer en TD)
On cherche la limite de yn = SF(f )n(xn) quand n tend vers + $ \infty$ de façon théorique

  1. Montrer que :

    SF(f )n(x) = 2$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}$ (- 1)k + 1$\displaystyle {\frac{\sin(kx)}{k}}$

  2. Montrer que :
    2 sin($\displaystyle {\frac{x+\pi}{2}}$)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}$(- 1)k + 1cos(kx) = -2 sin($\displaystyle {\frac{x+\pi}{2}}$)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}$cos(k(x + $\displaystyle \pi$))  
      = sin($\displaystyle {\frac{x+\pi}{2}}$) - sin($\displaystyle {\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2}}$)  

    et en déduire que :

    SF(f )n'(x) = $\displaystyle {\frac{\sin(\frac{x+\pi}{2})- \sin(\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2})}{\sin(\frac{x+\pi}{2})}}$

  3. En déduire que :

    SF(f )n(x) = x - $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \int_{\pi}^{x}$$\displaystyle {\frac{\sin(\frac{(t+\pi)(2n+1)}{2})}{\sin(\frac{t+\pi}{2})}}$dt

  4. En faisant un changement de variables montrer que :

    SF(f )n(x) = x - $\displaystyle \pi$ + 2$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi-x}{2}}$$\displaystyle {\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}}$dt

  5. Prouver que :

    yn = SF(f )n(xn) = - $\displaystyle {\frac{\pi}{n+1}}$ + 2$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2n+2}}$$\displaystyle {\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}}$dt

  6. On définit la fonction g par :

    g(0) = 0,    g(x) = $\displaystyle {\frac{1}{\sin(x)}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{x}}$

    Montrer que g est continue, en déduire :

    $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}^{}$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2n+2}}$sin((2n + 1)t)($\displaystyle {\frac{1}{\sin(t)}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{t}}$)dt

  7. Montrer que yn tend vers $ \alpha$ = 2$ \int_{0}^{\pi}$$ {\frac{\sin(t)}{t}}$dt quand n tend vers + $ \infty$.

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Bernard Parisse 2004-06-04