avec un potentiel périodique V(x) admettant un unique minimum non dégénéré par cellule de périodicité. Nous avions alors montré que cette bande était de taille exponentiellement petite, comme dans le cas de l'opérateur de Schrödinger.
Une des spécificités de l'opérateur de Dirac en dimension 3 est l'existence d'un opérateur antilinéaire (l'opérateur de Kramers) qui commute avec l'opérateur de Dirac lorsque le champ magnétique est nul, ce qui entraine que les valeurs propres sont de multiplicité paire (dans la théorie non relativiste, on rend compte du phénomène en définissant le ``spin'' de l'électron et en ajoutant un terme d'interaction du spin avec le champ magnétique). La question naturelle qui se pose dans le cas d'une bande du spectre continu est donc la multiplicité de valeurs propres de Floquet qui parcourent cette bande.
Dans [2], nous avons montré qu'à chaque valeur propre double En(h) du problème à un puits (i.e. l'opérateur obtenu en ``bouchant'' convenablement tous les puits du potentiel sauf un) correspondent deux valeurs propres de l'opérateur de Floquet, dont on peut calculer le développement asymptotique (cf. infra):
où:
,
est le vecteur reliant les deux puits les plus proches au sens
de la distance d'Agmon,
est la phase de Berry d'un sous-fibré de rang deux
du fibré trivial de fibre 
au-dessus de la trajectoire.
.
On démontre ce résultat en construisant des approximations
BKW des fonctions propres de l'opérateur de Floquet et on
détermine ainsi a(h) et 
. On prouve ainsi que
a(h) est un symbole elliptique. Dans [2], nous
n'arrivions pas à contruire un exemple de potentiel tel que
ne soit pas un multiple de 
pour tout h assez petit.
La question (posée par B. Helffer) de savoir si semi-classiquement
les valeurs propres étaient ou non doubles n'était pas résolue.
Ici nous montrons que l'on peut calculer
de manière très explicite le symbole principal du développement
BKW d'un quasi-mode le long d'une géodésique d'Agmon planaire,
ce calcul fait l'objet de la section 2.
Lorsque la géodésique reliant les
deux puits les plus voisins est planaire, nous donnons à la section
5 un calcul explicite de la phase , plus
précisément nous montrons que:
où 
désigne la courbure euclidienne de la géodésique,
V le potentiel et ds l'élément de longueur euclidienne.
En particulier, si la géodésique minimale est rectiligne,
.
Pour répondre à la question de la multiplicité des valeurs
propres, il suffit alors de construire un potentiel V tel que
la géodésique minimale reliant deux puits soit planaire et tel
que ne soit pas un multiple de 
. Ici, il faut
insister sur le fait que des exemples à variables séparées ne
peuvent convenir, car ils donnent lieu à des géodésiques minimales
rectilignes ( 
donc ).
Nous avons d'abord cherché à construire
un potentiel dont la géodésique soit convexe, ce
qui assurerait que la fonction à intégrer garde un signe constant (puisque
le terme (1+V)/2V est positif: nous rappellerons plus loin qu'un
puits ponctuel de l'opérateur de Dirac d'énergie nulle est
un point où le potentiel vaut -1 dans des unités convenables,
le décalage de 1 est l'énergie de masse de la particule).
Malheureusement, bien qu'intuitivement on imagine très bien l'existence
de tels potentiels, nous n'avons pas réussi à en construire. Nous nous
sommes donc attachés à montrer la non-nullité générique
globale
de l'intégrale, c'est l'objet du théorème 7 que
l'on montre en plusieurs étapes:
est planaire mais non rectiligne,
dont les
géodésiques issues du puits O ont le même support géométrique
que celles de V, et tel que la phase 
correspondante ne soit pas un multiple de .
Enfin, la dernière section de cet article est consacrée à une autre application de la construction BKW le long d'une géodésique planaire: il s'agit d'une petite amélioration du résultat du deuxième auteur ([4]) sur l'étude de l'effet d'Aharonov-Bohm sur un état borné de l'opérateur de Dirac.